10. 【提升题】某数学活动小组对多项式的乘法计算进行了如下探究：
①$(x+2)(x+3)=x^2+5x+6$；
②$(x-4)(x+1)=x^2-3x-4$；
③$(y-5)(y-3)=y^2-8y+15$。
通过以上计算发现，形如$(x+p)(x+q)$的两个多项式相乘，其结果一定为$x^2+(p+q)x+pq$（$p,q$为整数）。因为分解因式与整式乘法是方向相反的变形，所以一定有$x^2+(p+q)x+pq=(x+p)(x+q)$，即可将形如$x^2+(p+q)x+pq$的多项式分解因式为$(x+p)(x+q)$（$p,q$为整数）。
例如：$x^2+3x+2=x^2+(1+2)x+1×2=(x+1)(x+2)$。
(1)【初步应用】用上面的方法分解因式：$x^2+6x+8=$；
(2)【类比应用】若$x^2+mx+8$可用以上方法分解因式，则整数$m$的所有可能值是；
(3)【拓展应用】分解因式：$(x^2-4x)^2 -2(x^2-4x)-15$。

解：
(1) 因为$2+4=6$，$2×4=8$，所以$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$；
(2) 满足$pq=8$的整数$p,q$的所有组合为：
$\begin{cases}p=1\\q=8\end{cases}$，$\begin{cases}p=2\\q=4\end{cases}$，$\begin{cases}p=-1\\q=-8\end{cases}$，$\begin{cases}p=-2\\q=-4\end{cases}$
对应$m=p+q$的值分别为$9,6,-9,-6$，即整数$m$的所有可能值是$\pm9,\pm6$；
(3) 令$t=x^2-4x$，则原式可化为：
$t^2-2t-15$
因为$-5+3=-2$，$-5×3=-15$，所以：
$t^2-2t-15=(t-5)(t+3)$
将$t=x^2-4x$代回，得：
原式$=(x^2-4x-5)(x^2-4x+3)$
继续分解两个二次多项式：
$x^2-4x-5=(x-5)(x+1)$
$x^2-4x+3=(x-1)(x-3)$
因此原式$=(x-5)(x+1)(x-1)(x-3)$。

【分析】
本题围绕$x^2+(p+q)x+pq$型多项式的因式分解方法展开考查，解题思路如下：
(1) 初步应用直接寻找两个整数，满足两数之和为一次项系数6，两数之积为常数项8，代入对应分解公式即可；
(2) 先列出所有乘积为8的整数对，再计算每对整数的和，即为m的所有可能值，注意不要遗漏负整数组合；
(3) 拓展应用采用换元法，将$x^2-4x$看作整体设为t，先对关于t的二次多项式分解，再将t代回，对得到的两个二次多项式继续用十字相乘法分解，直到每个因式都不能再分解为止。
【解析】
(1) 观察常数项8，可得$2+4=6$，$2×4=8$，符合$x^2+(p+q)x+pq$的分解形式，因此：
$x^2+6x+8=(x+2)(x+4)$
(2) 要分解$x^2+mx+8$，需找整数p、q满足$pq=8$，所有整数对组合为：
$\begin{cases}p=1\\q=8\end{cases}$，$\begin{cases}p=2\\q=4\end{cases}$，$\begin{cases}p=-1\\q=-8\end{cases}$，$\begin{cases}p=-2\\q=-4\end{cases}$
对应$m=p+q$的值分别为$1+8=9$，$2+4=6$，$-1+(-8)=-9$，$-2+(-4)=-6$，因此m的所有可能值为$\pm9、\pm6$。
(3) 令$t=x^2-4x$，则原式转化为$t^2-2t-15$：
找整数满足和为-2，积为-15，可得$-5+3=-2$，$-5×3=-15$，因此$t^2-2t-15=(t-5)(t+3)$
将$t=x^2-4x$代回，得原式$=(x^2-4x-5)(x^2-4x+3)$
继续对两个二次多项式分解：
$x^2-4x-5$中，$-5+1=-4$，$-5×1=-5$，故分解为$(x-5)(x+1)$
$x^2-4x+3$中，$-1+(-3)=-4$，$-1×(-3)=3$，故分解为$(x-1)(x-3)$
因此最终分解结果为$(x-5)(x+1)(x-1)(x-3)$
【答案】
(1) $(x+2)(x+4)$；(2) $\pm9,\pm6$；(3) $(x-5)(x+1)(x-1)(x-3)$
【知识点】
十字相乘法因式分解，换元法，因式分解的彻底性
【点评】
本题由浅入深考查因式分解的应用，基础题直接套用十字相乘法即可解决，拓展部分使用换元法可大幅简化复杂多项式的分解难度，解题时要注意需将因式分解到每个因式都不能再分解为止，同时不要遗漏负整数的情况避免漏解。
【难度系数】
0.6

11. 提升题＞阅读下列材料.
材料一:若一个整数$m$能表示成$a^2 - b^2$($a,b$为整数)的形式,则称$m$为“完美数”.例如$3=2^2 -1^2$,$9=3^2 -0^2$,$12=4^2 -2^2$,则$3,9,12$都是“完美数”.再如$M=x^2 +2xy=(x+y)^2 - y^2$($x,y$是整数),所以$M$也是“完美数”.
材料二:任何一个正整数$n$都可以进行这样的分解:$n=pq$($p,q$是正整数,且$p≤q$).如果$p,q$在$n$的所有这种分解中两因数之差的绝对值最小,我们就称$pq$是$n$的最佳分解,并且规定$F(n)=\frac{p}{q}$.例如$18=1×18=2×9=3×6$,这三种分解中,$3$和$6$的差的绝对值最小,所以就有$F(18)=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$.
请解答下列问题:
(1)8 (填写“是”或“不是”)一个“完美数”,$F(8)=$;
(2)如果$m$和$n$都是“完美数”,试说明$mn$也是“完美数”.

解：
(1) 因为$8=3^2 - 1^2$，所以8是一个“完美数”；
8的所有正整数分解为$8=1×8$，$8=2×4$，其中两因数差的绝对值最小的是2和4，因此$F(8)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
答案依次为：是；$\frac{1}{2}$。
(2) 证明：
∵ $m$和$n$都是“完美数”，
∴ 可设$m=a^2 - b^2$，$n=c^2 - d^2$，其中$a,b,c,d$均为整数，
$\begin{aligned}mn&=(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)\\&=a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2\\&=(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)\\&=(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2\end{aligned}$
∵ $a,b,c,d$都是整数，
∴ $ac+bd$和$ad+bc$也都是整数，
∴ $mn$可以表示为两个整数的平方差的形式，因此$mn$也是“完美数”。

【分析】
（1）判断8是否为完美数，需紧扣“完美数”的定义，寻找两个整数a、b使得$a^2-b^2=8$：计算可得$3^2-1^2=9-1=8$，满足完美数的定义，因此8是完美数；求$F(8)$需先写出8的所有正整数分解（$p≤q$），再找到两因数差绝对值最小的分解，代入$F(n)=\frac{p}{q}$计算即可。
（2）要证明mn是完美数，需根据完美数的定义，将mn表示为两个整数的平方差形式。首先设$m=a^2-b^2$，$n=c^2-d^2$（a,b,c,d均为整数），再对两个平方差的乘积进行展开变形，通过添项凑完全平方的方式，将其整理为两个整式的平方差，结合整数的运算性质即可得证。
【解析】
(1) 因为$8=3^2 - 1^2$，符合完美数的定义，所以8是一个“完美数”；
将8分解为正整数乘积的形式（$p≤q$）：$8=1×8$，$8=2×4$，计算两种分解的因数差绝对值：$|1-8|=7$，$|2-4|=2$，其中2和4的差的绝对值最小，因此$F(8)=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
(2) 证明：
∵ $m$和$n$都是“完美数”，
∴ 可设$m=a^2 - b^2$，$n=c^2 - d^2$（$a,b,c,d$均为整数），
$\begin{aligned}mn&=(a^2 - b^2)(c^2 - d^2)\\&=a^2c^2 - a^2d^2 - b^2c^2 + b^2d^2\\&=(a^2c^2 + 2abcd + b^2d^2) - (a^2d^2 + 2abcd + b^2c^2)\\&=(ac + bd)^2 - (ad + bc)^2\end{aligned}$
∵ $a,b,c,d$都是整数，
∴ $ac+bd$和$ad+bc$也都是整数，
∴ $mn$可以表示为两个整数的平方差的形式，因此$mn$也是“完美数”。
【答案】
(1) 是；$\frac{1}{2}$
(2) mn是完美数，证明如上。
【知识点】
新定义问题，平方差公式，因式分解应用
【点评】
本题结合新定义考查代数公式的灵活运用能力，解题核心是准确理解新定义的含义，熟练掌握平方差公式和完全平方公式的变形技巧，对逻辑推理和代数运算能力有一定要求。
【难度系数】
0.6