登录
11.【综合与实践】
图①是一个长为$a$、宽为$b$的长方形.现有相同的长方形若干个,进行如下操作:
(1)用4个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图②所示的正方形.请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法,直接写出代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的等量关系:.
(2)将6个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图③所示的长方形,通过不同方法计算阴影部分的面积,你能得到什么等式?请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立.
图①是一个长为$a$、宽为$b$的长方形.现有相同的长方形若干个,进行如下操作:
(1)用4个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图②所示的正方形.请利用图②中阴影部分面积的不同表示方法,直接写出代数式$(a+b)^2,(a-b)^2,ab$之间的等量关系:.
(2)将6个图①的小长方形不重叠地拼成一个如图③所示的长方形,通过不同方法计算阴影部分的面积,你能得到什么等式?请写出你的结论并用乘法法则证明这个等式成立.
答案
解：
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) 得到的等式为：$(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)$
证明：
左边展开：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + b) - 6ab&=2a^2 + 2ab + ab + b^2 - 6ab\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
右边展开：
$\begin{aligned}(2a - b)(a - b)&=2a· a - 2a· b - b· a + b· b\\&=2a^2 - 2ab - ab + b^2\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
左边=右边，故等式成立。
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) 得到的等式为：$(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)$
证明：
左边展开：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + b) - 6ab&=2a^2 + 2ab + ab + b^2 - 6ab\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
右边展开：
$\begin{aligned}(2a - b)(a - b)&=2a· a - 2a· b - b· a + b· b\\&=2a^2 - 2ab - ab + b^2\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
左边=右边，故等式成立。
解析
【分析】
(1) 解本题的思路是用两种方法表示图②中阴影部分的面积：首先，大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，大正方形面积减去周围4个小长方形的总面积（每个小长方形面积为$ab$，4个总面积为$4ab$），即可得到阴影部分面积；其次，阴影部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，根据两种方式表示的阴影面积相等，即可得到三个代数式的等量关系。
(2) 解本题先通过两种方法表示图③阴影部分的面积：方法一，先求大长方形的长为$2a+b$、宽为$a+b$，大长方形面积减去6个小长方形的总面积$6ab$，即为阴影面积；方法二，直接得出阴影部分的长为$2a-b$、宽为$a-b$，面积为$(2a-b)(a-b)$，根据两种方式表示的阴影面积相等得到等式，再利用多项式乘多项式的法则分别展开等式左右两边，验证化简后结果相等即可完成证明。
【解析】
(1) 图②中，大正方形面积为$(a+b)^2$，4个小长方形总面积为$4ab$，阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，根据“大正方形面积=阴影面积+4个小长方形面积”，可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 得到的等式为：$\boldsymbol{(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)}$
证明如下：
左边展开：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + b) - 6ab&=2a^2 + 2ab + ab + b^2 - 6ab\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
右边展开：
$\begin{aligned}(2a - b)(a - b)&=2a· a - 2a· b - b· a + b· b\\&=2a^2 - 2ab - ab + b^2\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
左边=右边，故该等式成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) 等式为$\boldsymbol{(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)}$，证明见解析。
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式乘多项式
3. 面积法推导代数恒等式
【点评】
本题以几何拼图为载体，考查数形结合思想的应用，既需要学生掌握几何图形面积的计算方法，也需要熟练掌握整式乘法的运算法则，能够很好地考查学生的逻辑推导能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
(1) 解本题的思路是用两种方法表示图②中阴影部分的面积：首先，大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，大正方形面积减去周围4个小长方形的总面积（每个小长方形面积为$ab$，4个总面积为$4ab$），即可得到阴影部分面积；其次，阴影部分是边长为$a-b$的正方形，面积为$(a-b)^2$，根据两种方式表示的阴影面积相等，即可得到三个代数式的等量关系。
(2) 解本题先通过两种方法表示图③阴影部分的面积：方法一，先求大长方形的长为$2a+b$、宽为$a+b$，大长方形面积减去6个小长方形的总面积$6ab$，即为阴影面积；方法二，直接得出阴影部分的长为$2a-b$、宽为$a-b$，面积为$(2a-b)(a-b)$，根据两种方式表示的阴影面积相等得到等式，再利用多项式乘多项式的法则分别展开等式左右两边，验证化简后结果相等即可完成证明。
【解析】
(1) 图②中，大正方形面积为$(a+b)^2$，4个小长方形总面积为$4ab$，阴影小正方形面积为$(a-b)^2$，根据“大正方形面积=阴影面积+4个小长方形面积”，可得：
$(a+b)^2=(a-b)^2+4ab$
(2) 得到的等式为：$\boldsymbol{(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)}$
证明如下：
左边展开：
$\begin{aligned}(2a + b)(a + b) - 6ab&=2a^2 + 2ab + ab + b^2 - 6ab\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
右边展开：
$\begin{aligned}(2a - b)(a - b)&=2a· a - 2a· b - b· a + b· b\\&=2a^2 - 2ab - ab + b^2\\&=2a^2 - 3ab + b^2\end{aligned}$
左边=右边，故该等式成立。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(a+b)^2=(a-b)^2+4ab}$
(2) 等式为$\boldsymbol{(2a + b)(a + b) - 6ab = (2a - b)(a - b)}$，证明见解析。
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 多项式乘多项式
3. 面积法推导代数恒等式
【点评】
本题以几何拼图为载体，考查数形结合思想的应用，既需要学生掌握几何图形面积的计算方法，也需要熟练掌握整式乘法的运算法则，能够很好地考查学生的逻辑推导能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.7
12. 提升题 学习了公式法 $a^2 \pm 2ab + b^2=(a\pm b)^2$ 后，老师向同学们提出了如下问题：
①将多项式 $x^2+4x+3$ 分解因式；
解：$x^2+4x+3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)$。
②求多项式 $x^2+4x+3$ 的最小值。
解：由①，得 $x^2+4x+3=(x+2)^2 -1$，
$\because (x+2)^2≥0$，
$\therefore (x+2)^2 -1≥ -1$。
$\therefore$当 $x=-2$ 时，$x^2+4x+3$ 的值最小，且最小值为$-1$，
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式 $x^2+4x-12$ 分解因式；
(2)求多项式 $m^2+8m-9$ 的最小值。
①将多项式 $x^2+4x+3$ 分解因式；
解：$x^2+4x+3=x^2+4x+4-1=(x+2)^2-1=(x+2+1)(x+2-1)=(x+3)(x+1)$。
②求多项式 $x^2+4x+3$ 的最小值。
解：由①，得 $x^2+4x+3=(x+2)^2 -1$，
$\because (x+2)^2≥0$，
$\therefore (x+2)^2 -1≥ -1$。
$\therefore$当 $x=-2$ 时，$x^2+4x+3$ 的值最小，且最小值为$-1$，
请你运用上述方法解决下列问题：
(1)将多项式 $x^2+4x-12$ 分解因式；
(2)求多项式 $m^2+8m-9$ 的最小值。
答案
解：
(1)
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2)
$m^2+8m-9$
$=m^2+8m+16-25$
$=(m+4)^2-25$
$\because (m+4)^2\ge0$
$\therefore (m+4)^2-25\ge-25$
$\therefore$ 当$m=-4$时，$m^2+8m-9$的值最小，最小值为$-25$。
(1)
$x^2+4x-12$
$=x^2+4x+4-16$
$=(x+2)^2-4^2$
$=(x+2+4)(x+2-4)$
$=(x+6)(x-2)$
(2)
$m^2+8m-9$
$=m^2+8m+16-25$
$=(m+4)^2-25$
$\because (m+4)^2\ge0$
$\therefore (m+4)^2-25\ge-25$
$\therefore$ 当$m=-4$时，$m^2+8m-9$的值最小，最小值为$-25$。
解析
【分析】
本题可参照题干给出的配方法思路求解：
(1) 分解因式时，先对多项式中含二次项、一次项的部分配完全平方，将原式变形为平方差的形式，再利用平方差公式分解即可。具体来说，$x^2+4x$可以配成$(x+2)^2$，需要加4，为了保证式子恒等变形，需要再减4，结合原式的常数项$-12$，即可得到$(x+2)^2 - 16$，再套用平方差公式分解。
(2) 求多项式最小值时，同样先对多项式配方，将其转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方式的非负性，当完全平方式为0时，整个多项式取得最小值，最小值就是后面的常数项。
【解析】
(1) 分解因式$x^2+4x-12$：
$\begin{aligned}x^2+4x-12&=x^2+4x+4-16\\&=(x+2)^2-4^2\\&=(x+2+4)(x+2-4)\\&=(x+6)(x-2)\end{aligned}$
(2) 求多项式$m^2+8m-9$的最小值：
先对多项式配方：
$\begin{aligned}m^2+8m-9&=m^2+8m+16-25\\&=(m+4)^2-25\end{aligned}$
$\because (m+4)^2\ge0$，
$\therefore (m+4)^2-25\ge-25$，
$\therefore$当$m=-4$时，$m^2+8m-9$的值最小，最小值为$-25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+6)(x-2)}$；
(2) 最小值为$\boldsymbol{-25}$。
【知识点】
1. 配方法
2. 平方差公式
3. 完全平方式的非负性
【点评】
本题属于方法迁移类题目，解题的核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方过程中要保证式子恒等变形，同时要熟练运用平方差公式和完全平方式的性质，既能解决因式分解问题，也能快速求解多项式的最值。
【难度系数】
0.7
本题可参照题干给出的配方法思路求解：
(1) 分解因式时，先对多项式中含二次项、一次项的部分配完全平方，将原式变形为平方差的形式，再利用平方差公式分解即可。具体来说，$x^2+4x$可以配成$(x+2)^2$，需要加4，为了保证式子恒等变形，需要再减4，结合原式的常数项$-12$，即可得到$(x+2)^2 - 16$，再套用平方差公式分解。
(2) 求多项式最小值时，同样先对多项式配方，将其转化为“完全平方式+常数”的形式，根据完全平方式的非负性，当完全平方式为0时，整个多项式取得最小值，最小值就是后面的常数项。
【解析】
(1) 分解因式$x^2+4x-12$：
$\begin{aligned}x^2+4x-12&=x^2+4x+4-16\\&=(x+2)^2-4^2\\&=(x+2+4)(x+2-4)\\&=(x+6)(x-2)\end{aligned}$
(2) 求多项式$m^2+8m-9$的最小值：
先对多项式配方：
$\begin{aligned}m^2+8m-9&=m^2+8m+16-25\\&=(m+4)^2-25\end{aligned}$
$\because (m+4)^2\ge0$，
$\therefore (m+4)^2-25\ge-25$，
$\therefore$当$m=-4$时，$m^2+8m-9$的值最小，最小值为$-25$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{(x+6)(x-2)}$；
(2) 最小值为$\boldsymbol{-25}$。
【知识点】
1. 配方法
2. 平方差公式
3. 完全平方式的非负性
【点评】
本题属于方法迁移类题目，解题的核心是掌握配方法的操作步骤，注意配方过程中要保证式子恒等变形，同时要熟练运用平方差公式和完全平方式的性质，既能解决因式分解问题，也能快速求解多项式的最值。
【难度系数】
0.7
