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1. 下列结论中正确的是(
A.今天下雨,明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张照片看起来很像,则肯定照的是同一人
B
)。A.今天下雨,明天必然还下雨
B.三个连续整数的积一定能被6整除
C.小明在数学竞赛中一定能获奖
D.两张照片看起来很像,则肯定照的是同一人
答案
1. B
解析
【分析】
这道题需要判断每个结论是否必然成立，可采用逐个排查的思路：首先区分生活中的随机事件和必然成立的确定性结论，对涉及数学规律的选项再通过代数性质验证。第一步先分析生活类选项（A、C、D），判断是否存在反例，有反例的就是错误结论；第二步验证数学类选项B的正确性，结合连续整数的特征分析即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 今天下雨是已发生的事件，明天是否下雨是不确定的随机事件，不存在必然性，该结论错误；
B. 三个连续整数中，必然包含至少1个偶数（能被2整除），同时必然包含1个3的倍数（能被3整除），因此它们的乘积能同时被2和3整除，也就是能被2×3=6整除，该结论正确；
C. 数学竞赛获奖受实力、发挥等多种因素影响，是不确定的随机事件，不能说“一定能获奖”，该结论错误；
D. 两张照片看起来很像，存在是不同人的可能（比如长相相似的人、双胞胎等），不能肯定是同一人，该结论错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 事件的分类
2. 整数的整除性质
【点评】
本题既考查对随机事件和必然事件的区分能力，也结合了基础的数论性质，提醒我们判断结论不能仅凭直觉，要通过严谨的分析或举反例的方式验证。
【难度系数】
0.8
这道题需要判断每个结论是否必然成立，可采用逐个排查的思路：首先区分生活中的随机事件和必然成立的确定性结论，对涉及数学规律的选项再通过代数性质验证。第一步先分析生活类选项（A、C、D），判断是否存在反例，有反例的就是错误结论；第二步验证数学类选项B的正确性，结合连续整数的特征分析即可。
【解析】
我们逐一分析选项：
A. 今天下雨是已发生的事件，明天是否下雨是不确定的随机事件，不存在必然性，该结论错误；
B. 三个连续整数中，必然包含至少1个偶数（能被2整除），同时必然包含1个3的倍数（能被3整除），因此它们的乘积能同时被2和3整除，也就是能被2×3=6整除，该结论正确；
C. 数学竞赛获奖受实力、发挥等多种因素影响，是不确定的随机事件，不能说“一定能获奖”，该结论错误；
D. 两张照片看起来很像，存在是不同人的可能（比如长相相似的人、双胞胎等），不能肯定是同一人，该结论错误。
综上，正确选项是B。
【答案】
B
【知识点】
1. 事件的分类
2. 整数的整除性质
【点评】
本题既考查对随机事件和必然事件的区分能力，也结合了基础的数论性质，提醒我们判断结论不能仅凭直觉，要通过严谨的分析或举反例的方式验证。
【难度系数】
0.8
2. 下列问题用到推理的是(
A.根据$a=10,b=10$,得到$a=b$
B.观察得到三角形有三个内角
C.老师告诉我们周四要学习回顾与思考
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
A
)。A.根据$a=10,b=10$,得到$a=b$
B.观察得到三角形有三个内角
C.老师告诉我们周四要学习回顾与思考
D.由经验可知过两点有且只有一条直线
答案
2. A
解析
【分析】
首先明确推理的核心特征：推理是从已知的前提条件出发，通过逻辑推导得出新结论的思维过程，它和直接观察、他人告知、实践总结得到结论的方式有明显区别。解题时只需逐个判断每个选项获取结论的方式是否符合推理的特征即可，先分析每个选项的结论来源，判断是否存在逻辑推导过程，存在推导过程的即为正确选项。
【解析】
推理的定义：从已知判断出发，通过逻辑推导得到新结论的过程叫作推理。
对各选项逐一分析：
选项A：已知$a=10$，$b=10$，根据等量的基本性质，通过逻辑推导可得到$a=b$，符合推理的特征；
选项B：三角形有三个内角是通过直接观察得到的结论，没有逻辑推导过程，不属于推理；
选项C：周四的学习内容是老师直接告知的信息，没有推导过程，不属于推理；
选项D：“过两点有且只有一条直线”是人们长期实践总结出的基本事实（公理），不需要经过逻辑推导得到，不属于推理。
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
推理的定义；数学结论的获取方式
【点评】
本题考查对推理概念的辨析，解题的关键是区分开推理、直接观察、他人告知、实践总结的公理这几种常见的结论获取方式，牢记推理必须包含逻辑推导的过程。
【难度系数】
0.8
首先明确推理的核心特征：推理是从已知的前提条件出发，通过逻辑推导得出新结论的思维过程，它和直接观察、他人告知、实践总结得到结论的方式有明显区别。解题时只需逐个判断每个选项获取结论的方式是否符合推理的特征即可，先分析每个选项的结论来源，判断是否存在逻辑推导过程，存在推导过程的即为正确选项。
【解析】
推理的定义：从已知判断出发，通过逻辑推导得到新结论的过程叫作推理。
对各选项逐一分析：
选项A：已知$a=10$，$b=10$，根据等量的基本性质，通过逻辑推导可得到$a=b$，符合推理的特征；
选项B：三角形有三个内角是通过直接观察得到的结论，没有逻辑推导过程，不属于推理；
选项C：周四的学习内容是老师直接告知的信息，没有推导过程，不属于推理；
选项D：“过两点有且只有一条直线”是人们长期实践总结出的基本事实（公理），不需要经过逻辑推导得到，不属于推理。
因此符合要求的是选项A。
【答案】
A
【知识点】
推理的定义；数学结论的获取方式
【点评】
本题考查对推理概念的辨析，解题的关键是区分开推理、直接观察、他人告知、实践总结的公理这几种常见的结论获取方式，牢记推理必须包含逻辑推导的过程。
【难度系数】
0.8
3. 某校八年级四个班的代表队准备举行篮球友谊赛。甲、乙、丙三位同学预测比赛的结果，甲说：“802班得冠军，804班得第三。”乙说：“801班得第四，803班得亚军。”丙说：“803班得第三，804班得冠军。”赛后得知，三人都只猜对了一半，则得冠军的是（
A.801班
B.802班
C.803班
D.804班
B
）。A.801班
B.802班
C.803班
D.804班
答案
3. B
解析
【分析】
这是一道半真半假型逻辑推理题，已知三位同学的预测都各对一半，我们采用假设法解题：先假设甲的某一句话为真，顺着推导其余两人的表述是否满足“一真一假”的条件，若推导过程出现矛盾则该假设不成立，反之假设成立，即可确定冠军班级。
【解析】
我们通过假设法分步推导：
1. 先假设甲说的前半句“802班得冠军”是真话，那么甲的后半句“804班得第三”为假话。
2. 因冠军是802班，所以丙说的“804班得冠军”是假话，那么丙的另一句话“803班得第三”必须是真话。
3. 因第三名是803班，所以乙说的“803班得亚军”是假话，那么乙的另一句话“801班得第四”必须是真话。
4. 此时排名可确定：冠军802班、亚军804班、季军803班、第四名801班，验证三人的预测都刚好各对一半，符合题意，假设成立。
5. 再验证反面假设：若甲说的“804班得第三”是真话，那么丙说的“803班得第三”为假，推出丙的另一句话“804班得冠军”为真，和“804班得第三”矛盾，该假设不成立。
综上，得冠军的是802班。
【答案】
B
【知识点】
逻辑推理，假设法验证
【点评】
本题是经典的逻辑推理题型，解题核心是通过假设切入，用矛盾排除错误情况，能有效锻炼逻辑推导能力，掌握假设法后这类题很容易求解。
【难度系数】
0.7
这是一道半真半假型逻辑推理题，已知三位同学的预测都各对一半，我们采用假设法解题：先假设甲的某一句话为真，顺着推导其余两人的表述是否满足“一真一假”的条件，若推导过程出现矛盾则该假设不成立，反之假设成立，即可确定冠军班级。
【解析】
我们通过假设法分步推导：
1. 先假设甲说的前半句“802班得冠军”是真话，那么甲的后半句“804班得第三”为假话。
2. 因冠军是802班，所以丙说的“804班得冠军”是假话，那么丙的另一句话“803班得第三”必须是真话。
3. 因第三名是803班，所以乙说的“803班得亚军”是假话，那么乙的另一句话“801班得第四”必须是真话。
4. 此时排名可确定：冠军802班、亚军804班、季军803班、第四名801班，验证三人的预测都刚好各对一半，符合题意，假设成立。
5. 再验证反面假设：若甲说的“804班得第三”是真话，那么丙说的“803班得第三”为假，推出丙的另一句话“804班得冠军”为真，和“804班得第三”矛盾，该假设不成立。
综上，得冠军的是802班。
【答案】
B
【知识点】
逻辑推理，假设法验证
【点评】
本题是经典的逻辑推理题型，解题核心是通过假设切入，用矛盾排除错误情况，能有效锻炼逻辑推导能力，掌握假设法后这类题很容易求解。
【难度系数】
0.7
4. 有一条线段AB长3 cm，另一条线段BC长2 cm，那么AC
≤
5 cm。（比较大小）答案
4. ≤
解析
【分析】
解题时首先要注意题目未明确A、B、C三点的位置关系，因此需要分类讨论所有可能的情况：①三点共线；②三点不共线。先分别计算两种情况下AC的长度范围，再综合判断AC和5cm的大小关系即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点在同一直线上时：
①若点C在线段AB的延长线上，此时AC = AB + BC = 3 + 2 = 5cm；
②若点C在线段AB上，此时AC = AB - BC = 3 - 2 = 1cm ＜ 5cm。
2. 当A、B、C三点不在同一直线上时，三点可构成△ABC，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，可得AC ＜ AB + BC = 5cm。
综合所有情况可知，AC的长度最大为5cm，其余情况都小于5cm，因此AC ≤ 5cm。
【答案】
≤
【知识点】
线段和差计算；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易默认三点共线且点C在AB延长线上，直接得出AC=5cm的结论，忽略其他位置情况。解题时遇到未明确点的位置关系的题目，要注意分类讨论所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
解题时首先要注意题目未明确A、B、C三点的位置关系，因此需要分类讨论所有可能的情况：①三点共线；②三点不共线。先分别计算两种情况下AC的长度范围，再综合判断AC和5cm的大小关系即可。
【解析】
我们分两种情况讨论：
1. 当A、B、C三点在同一直线上时：
①若点C在线段AB的延长线上，此时AC = AB + BC = 3 + 2 = 5cm；
②若点C在线段AB上，此时AC = AB - BC = 3 - 2 = 1cm ＜ 5cm。
2. 当A、B、C三点不在同一直线上时，三点可构成△ABC，根据三角形三边关系“三角形任意两边之和大于第三边”，可得AC ＜ AB + BC = 5cm。
综合所有情况可知，AC的长度最大为5cm，其余情况都小于5cm，因此AC ≤ 5cm。
【答案】
≤
【知识点】
线段和差计算；三角形三边关系；分类讨论思想
【点评】
本题易错点是容易默认三点共线且点C在AB延长线上，直接得出AC=5cm的结论，忽略其他位置情况。解题时遇到未明确点的位置关系的题目，要注意分类讨论所有可能性，避免漏解。
【难度系数】
0.7
5. 把正方形ABCD的各边长度都扩大为原来的两倍，得到正方形EFGH，则正方形EFGH的面积是正方形ABCD面积的两倍，这个判断对吗？说明理由。
答案
5. 解:这个判断不对。
理由:设正方形ABCD的边长是a,则它的面积是a²。
正方形ABCD的各边长度都扩大为原来的两倍,得到正方形EFGH,则正方形EFGH的边长是2a,面积是4a²,
所以正方形EFGH的面积是正方形ABCD的面积的4倍,所以这个判断不对。
理由:设正方形ABCD的边长是a,则它的面积是a²。
正方形ABCD的各边长度都扩大为原来的两倍,得到正方形EFGH,则正方形EFGH的边长是2a,面积是4a²,
所以正方形EFGH的面积是正方形ABCD的面积的4倍,所以这个判断不对。
解析
【分析】
要判断该说法是否正确，我们可以结合正方形的面积公式，通过设参数的方法分别计算原正方形和边长扩大后新正方形的面积，再对比两者的倍数关系就能得出结论。解题时不要仅凭直觉认为边长扩大的倍数和面积扩大的倍数一致，要通过严谨的计算验证结论。
【解析】
解：这个判断不对。
理由：设正方形ABCD的边长是$a$，根据正方形面积公式，正方形ABCD的面积为$S_1=a× a=a^2$。
将正方形ABCD的各边长度扩大为原来的两倍后，得到的正方形EFGH的边长为$2a$，其面积为$S_2=2a×2a=4a^2$。
计算面积倍数关系：$\frac{S_2}{S_1}=\frac{4a^2}{a^2}=4$，即正方形EFGH的面积是正方形ABCD面积的4倍，因此原判断错误。
【答案】
这个判断不对，正方形EFGH的面积是正方形ABCD面积的4倍。
【知识点】
正方形面积公式，代数式运算，规律验证
【点评】
本题容易陷入“边长扩大几倍，面积就扩大相同倍数”的直觉误区，需要通过严谨计算求证，考查对基础公式的掌握和逻辑求证的意识。
【难度系数】
0.8
要判断该说法是否正确，我们可以结合正方形的面积公式，通过设参数的方法分别计算原正方形和边长扩大后新正方形的面积，再对比两者的倍数关系就能得出结论。解题时不要仅凭直觉认为边长扩大的倍数和面积扩大的倍数一致，要通过严谨的计算验证结论。
【解析】
解：这个判断不对。
理由：设正方形ABCD的边长是$a$，根据正方形面积公式，正方形ABCD的面积为$S_1=a× a=a^2$。
将正方形ABCD的各边长度扩大为原来的两倍后，得到的正方形EFGH的边长为$2a$，其面积为$S_2=2a×2a=4a^2$。
计算面积倍数关系：$\frac{S_2}{S_1}=\frac{4a^2}{a^2}=4$，即正方形EFGH的面积是正方形ABCD面积的4倍，因此原判断错误。
【答案】
这个判断不对，正方形EFGH的面积是正方形ABCD面积的4倍。
【知识点】
正方形面积公式，代数式运算，规律验证
【点评】
本题容易陷入“边长扩大几倍，面积就扩大相同倍数”的直觉误区，需要通过严谨计算求证，考查对基础公式的掌握和逻辑求证的意识。
【难度系数】
0.8
6. 对于任意的正整数$n$，是否都有$(n+1)^2 ＞ 2^n$？请说明理由。
答案
6. 解:不一定。
理由:当$n=1$时,$(1+1)^2＞2^1$;
当$n=2$时,$(2+1)^2＞2^2$;
当$n=3$时,$(3+1)^2＞2^3$;
当$n=4$时,$(4+1)^2＞2^4$;
当$n=5$时,$(5+1)^2＞2^5$;
当$n=6$时,$(6+1)^2＜2^6$;
…
继续下去,我们会发现$(n+1)^2＜2^n$,
所以对于任意的正整数$n$,不是都有$(n+1)^2＞2^n$。
理由:当$n=1$时,$(1+1)^2＞2^1$;
当$n=2$时,$(2+1)^2＞2^2$;
当$n=3$时,$(3+1)^2＞2^3$;
当$n=4$时,$(4+1)^2＞2^4$;
当$n=5$时,$(5+1)^2＞2^5$;
当$n=6$时,$(6+1)^2＜2^6$;
…
继续下去,我们会发现$(n+1)^2＜2^n$,
所以对于任意的正整数$n$,不是都有$(n+1)^2＞2^n$。
解析
【分析】要判断“对任意正整数n，$(n+1)^2 ＞ 2^n$”这个结论是否成立，只需找到1个使该不等式不成立的正整数n（即反例）就可以否定这个结论。我们可以从最小的正整数开始，依次代入计算不等式左右两边的值，比较大小验证是否存在反例。
【解析】解：不一定，理由如下：
当$n=1$时，$(1+1)^2=4$，$2^1=2$，$4＞2$，不等式成立；
当$n=2$时，$(2+1)^2=9$，$2^2=4$，$9＞4$，不等式成立；
当$n=3$时，$(3+1)^2=16$，$2^3=8$，$16＞8$，不等式成立；
当$n=4$时，$(4+1)^2=25$，$2^4=16$，$25＞16$，不等式成立；
当$n=5$时，$(5+1)^2=36$，$2^5=32$，$36＞32$，不等式成立；
当$n=6$时，$(6+1)^2=49$，$2^6=64$，$49＜64$，不等式不成立；
继续代入更大的正整数验证，会发现始终有$(n+1)^2＜2^n$，因此不是对所有正整数n都有$(n+1)^2 ＞ 2^n$。
【答案】不一定，存在正整数n（如n=6）使得$(n+1)^2＜2^n$，因此对于任意正整数n，不是都有$(n+1)^2 ＞ 2^n$。
【知识点】命题真假判断；举反例的应用；乘方运算
【点评】本题考查逻辑推理的严谨性，判断一个全称命题为假命题时，只需举出一个反例即可，不需要对所有情况逐一验证，这是判断假命题的常用方法，也体现了证明的必要性。
【难度系数】0.7
【解析】解：不一定，理由如下：
当$n=1$时，$(1+1)^2=4$，$2^1=2$，$4＞2$，不等式成立；
当$n=2$时，$(2+1)^2=9$，$2^2=4$，$9＞4$，不等式成立；
当$n=3$时，$(3+1)^2=16$，$2^3=8$，$16＞8$，不等式成立；
当$n=4$时，$(4+1)^2=25$，$2^4=16$，$25＞16$，不等式成立；
当$n=5$时，$(5+1)^2=36$，$2^5=32$，$36＞32$，不等式成立；
当$n=6$时，$(6+1)^2=49$，$2^6=64$，$49＜64$，不等式不成立；
继续代入更大的正整数验证，会发现始终有$(n+1)^2＜2^n$，因此不是对所有正整数n都有$(n+1)^2 ＞ 2^n$。
【答案】不一定，存在正整数n（如n=6）使得$(n+1)^2＜2^n$，因此对于任意正整数n，不是都有$(n+1)^2 ＞ 2^n$。
【知识点】命题真假判断；举反例的应用；乘方运算
【点评】本题考查逻辑推理的严谨性，判断一个全称命题为假命题时，只需举出一个反例即可，不需要对所有情况逐一验证，这是判断假命题的常用方法，也体现了证明的必要性。
【难度系数】0.7
7. 你的眼睛可信吗？
(1)比较图7-1-1①中线段a和b的大小；
(2)图7-1-1②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
(1)比较图7-1-1①中线段a和b的大小；
(2)图7-1-1②中由粗线围成的四边形是正方形吗？
答案
7. 解:(1)通过度量可得,a=b。
(2)通过测量角度和边长,根据正方形的定义可得,由粗线围成的四边形是正方形。
(2)通过测量角度和边长,根据正方形的定义可得,由粗线围成的四边形是正方形。
解析
【分析】
这道题的设计目的是让我们感知视觉判断存在误差，不能仅靠肉眼观察得到准确结论，需要通过严谨的测量验证来解题。第(1)问先观察两条线段，视觉上容易认为竖直的线段a更长，我们可以借助刻度尺分别测量两条线段的长度再比较大小；第(2)问背景的同心圆会干扰视觉，容易觉得四边形的边是弯曲的，我们可以先测量四边形四条边的长度，再测量四个角的度数，结合正方形的定义来判断。
【解析】
(1) 拿出刻度尺，将刻度0分别对齐线段a和b的一端，读取另一端对应的刻度值，经测量得到线段a和线段b的长度相等，因此a=b。
(2) 先用刻度尺测量粗线围成四边形的四条边，测得四条边长度均相等；再用量角器测量该四边形的四个内角，测得每个内角都为90°，根据“四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形”的定义，可判定该四边形是正方形。
【答案】
(1)a=b；
(2)由粗线围成的四边形是正方形。
【知识点】
线段的度量、正方形的判定
【点评】
本题通过两个易产生视觉误差的图形，让我们认识到直观判断不一定准确，要得到正确的几何结论，需要经过实际测量或者严谨的推理论证，避免被视觉错觉误导。
【难度系数】
0.9
这道题的设计目的是让我们感知视觉判断存在误差，不能仅靠肉眼观察得到准确结论，需要通过严谨的测量验证来解题。第(1)问先观察两条线段，视觉上容易认为竖直的线段a更长，我们可以借助刻度尺分别测量两条线段的长度再比较大小；第(2)问背景的同心圆会干扰视觉，容易觉得四边形的边是弯曲的，我们可以先测量四边形四条边的长度，再测量四个角的度数，结合正方形的定义来判断。
【解析】
(1) 拿出刻度尺，将刻度0分别对齐线段a和b的一端，读取另一端对应的刻度值，经测量得到线段a和线段b的长度相等，因此a=b。
(2) 先用刻度尺测量粗线围成四边形的四条边，测得四条边长度均相等；再用量角器测量该四边形的四个内角，测得每个内角都为90°，根据“四条边相等且四个角都是直角的四边形是正方形”的定义，可判定该四边形是正方形。
【答案】
(1)a=b；
(2)由粗线围成的四边形是正方形。
【知识点】
线段的度量、正方形的判定
【点评】
本题通过两个易产生视觉误差的图形，让我们认识到直观判断不一定准确，要得到正确的几何结论，需要经过实际测量或者严谨的推理论证，避免被视觉错觉误导。
【难度系数】
0.9
