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8. 在学习求代数式的值的内容时，小明发现：当$n=1,2,3$时，$n^2 -10n -1$的值都是负数，于是他猜想：当$n$为任意正整数时，$n^2 -10n -1$的值都是负数。
(1)当$n=1,2,3$时，分别求代数式$n^2 -10n -1$的值；
(2)判断小明的猜想是否正确，请举例说明。
(1)当$n=1,2,3$时，分别求代数式$n^2 -10n -1$的值；
(2)判断小明的猜想是否正确，请举例说明。
答案
8. 解:(1)当$n=1$时,原式$=1-10-1=-10$;
当$n=2$时,原式$=4-20-1=-17$;
当$n=3$时,原式$=9-30-1=-22$。
(2)小明的猜想错误,当$n=11$时,原式$=11^2-110-1=10＞0$。
当$n=2$时,原式$=4-20-1=-17$;
当$n=3$时,原式$=9-30-1=-22$。
(2)小明的猜想错误,当$n=11$时,原式$=11^2-110-1=10＞0$。
解析
【分析】
(1) 求指定n值对应的代数式的值，只需将n的取值分别代入代数式，按照先乘方、再乘法、最后加减的运算顺序计算结果即可。
(2) 判断小明的猜想是否正确，若猜想是错误的，只需找到一个满足条件（n为正整数）的例子，使得代数式的值不是负数，即可推翻该猜想。观察代数式可知，当n的取值足够大时，n²的结果会远大于10n+1的结果，此时代数式的值就会为正数，因此可尝试取大于10的正整数代入验证。
【解析】
(1) 当$n=1$时，$n^2 -10n -1=1^2 -10×1 -1=1-10-1=-10$；
当$n=2$时，$n^2 -10n -1=2^2 -10×2 -1=4-20-1=-17$；
当$n=3$时，$n^2 -10n -1=3^2 -10×3 -1=9-30-1=-22$。
(2) 小明的猜想错误。举例：当$n=11$时，$n^2 -10n -1=11^2 -10×11 -1=121-110-1=10＞0$，说明存在正整数n使得代数式的值为正数，因此猜想不成立。
【答案】
(1) 当n=1时值为-10，n=2时值为-17，n=3时值为-22；
(2) 小明的猜想错误，当n=11时，原式的值为10＞0。
【知识点】
代数式求值，反例的应用
【点评】
本题既考查代数式求值的基本运算能力，又考查逻辑推理能力，明确证明一个错误猜想只需举出一个符合条件的反例即可，是培养严谨数学思维的基础题型。
【难度系数】
0.9
(1) 求指定n值对应的代数式的值，只需将n的取值分别代入代数式，按照先乘方、再乘法、最后加减的运算顺序计算结果即可。
(2) 判断小明的猜想是否正确，若猜想是错误的，只需找到一个满足条件（n为正整数）的例子，使得代数式的值不是负数，即可推翻该猜想。观察代数式可知，当n的取值足够大时，n²的结果会远大于10n+1的结果，此时代数式的值就会为正数，因此可尝试取大于10的正整数代入验证。
【解析】
(1) 当$n=1$时，$n^2 -10n -1=1^2 -10×1 -1=1-10-1=-10$；
当$n=2$时，$n^2 -10n -1=2^2 -10×2 -1=4-20-1=-17$；
当$n=3$时，$n^2 -10n -1=3^2 -10×3 -1=9-30-1=-22$。
(2) 小明的猜想错误。举例：当$n=11$时，$n^2 -10n -1=11^2 -10×11 -1=121-110-1=10＞0$，说明存在正整数n使得代数式的值为正数，因此猜想不成立。
【答案】
(1) 当n=1时值为-10，n=2时值为-17，n=3时值为-22；
(2) 小明的猜想错误，当n=11时，原式的值为10＞0。
【知识点】
代数式求值，反例的应用
【点评】
本题既考查代数式求值的基本运算能力，又考查逻辑推理能力，明确证明一个错误猜想只需举出一个符合条件的反例即可，是培养严谨数学思维的基础题型。
【难度系数】
0.9
二、拓展性作业
9. 小明认为:从点 O 出发任意画四条射线 OA，OB，OC，OD，若有 $OA ⊥ OC$，$OB ⊥ OD$，则一定有 $∠ AOB = ∠ COD$。他的说法正确吗？
9. 小明认为:从点 O 出发任意画四条射线 OA，OB，OC，OD，若有 $OA ⊥ OC$，$OB ⊥ OD$，则一定有 $∠ AOB = ∠ COD$。他的说法正确吗？
答案
9. 解:不正确。
反例如答图7-1-1所示:
设$∠AOB=α$,则$∠COD=180°-α$。
当$α＜90°$时,$∠AOB＜∠COD$;
当$α=90°$时,$∠AOB=∠COD$;
当$α＞90°$时,$∠AOB＞∠COD$。
所以小明的说法不正确。
解析
【分析】
要判断小明的说法是否正确，首先明确：若要说明一个命题是假命题，只需举出一个不符合结论的反例即可。已知OA⊥OC、OB⊥OD，根据垂直的定义可得∠AOC=∠BOD=90°，观察给出的反例图形，四条射线的位置并非都处于相邻区域，此时可结合周角为360°推导∠AOB和∠COD的数量关系，再分情况讨论二者是否一定相等即可验证结论。
【解析】
解：小明的说法不正确，反例如答图7-1-1所示：
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°。
设∠AOB=α，结合周角为360°，可得：
$∠ COD = 360° - ∠ AOC - ∠ BOD - ∠ AOB = 360° - 90° - 90° - α = 180°-α$。
分情况讨论：
①当$α＜90°$时，$∠ AOB=α＜180°-α=∠ COD$；
②当$α=90°$时，$∠ AOB=90°=180°-90°=∠ COD$；
③当$α＞90°$时，$∠ AOB=α＞180°-α=∠ COD$。
因此∠AOB和∠COD不一定相等，小明的说法不正确。
【答案】
不正确。
反例如答图7-1-1所示:
设$∠AOB=α$,则$∠COD=180°-α$。
当$α＜90°$时,$∠AOB＜∠COD$;
当$α=90°$时,$∠AOB=∠COD$;
当$α＞90°$时,$∠AOB＞∠COD$。
所以小明的说法不正确。
【知识点】
1.垂直的定义
2.角的和差计算
3.假命题的判定
【点评】
本题考查命题真假的判断，解题核心是明确判断假命题只需举出一个反例即可，解题时要避免受“同角的余角相等”的思维定势影响，忽略射线的不同位置情况，需结合图形分类讨论角的数量关系。
【难度系数】
0.6
要判断小明的说法是否正确，首先明确：若要说明一个命题是假命题，只需举出一个不符合结论的反例即可。已知OA⊥OC、OB⊥OD，根据垂直的定义可得∠AOC=∠BOD=90°，观察给出的反例图形，四条射线的位置并非都处于相邻区域，此时可结合周角为360°推导∠AOB和∠COD的数量关系，再分情况讨论二者是否一定相等即可验证结论。
【解析】
解：小明的说法不正确，反例如答图7-1-1所示：
∵OA⊥OC，OB⊥OD，
∴∠AOC=∠BOD=90°。
设∠AOB=α，结合周角为360°，可得：
$∠ COD = 360° - ∠ AOC - ∠ BOD - ∠ AOB = 360° - 90° - 90° - α = 180°-α$。
分情况讨论：
①当$α＜90°$时，$∠ AOB=α＜180°-α=∠ COD$；
②当$α=90°$时，$∠ AOB=90°=180°-90°=∠ COD$；
③当$α＞90°$时，$∠ AOB=α＞180°-α=∠ COD$。
因此∠AOB和∠COD不一定相等，小明的说法不正确。
【答案】
不正确。
反例如答图7-1-1所示:
设$∠AOB=α$,则$∠COD=180°-α$。
当$α＜90°$时,$∠AOB＜∠COD$;
当$α=90°$时,$∠AOB=∠COD$;
当$α＞90°$时,$∠AOB＞∠COD$。
所以小明的说法不正确。
【知识点】
1.垂直的定义
2.角的和差计算
3.假命题的判定
【点评】
本题考查命题真假的判断，解题核心是明确判断假命题只需举出一个反例即可，解题时要避免受“同角的余角相等”的思维定势影响，忽略射线的不同位置情况，需结合图形分类讨论角的数量关系。
【难度系数】
0.6
10. 一个三位正整数,它的百位数字与个位数字相等,我们把这样的三位正整数叫作“对称数”,如101,232,555等都是“对称数”。
观察:$101-(1+0+1)=99=9×11$;
$232-(2+3+2)=225=9×25$;
$555-(5+5+5)=540=9×60$;
…
(1)猜想:将“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被
(2)验证:若一个“对称数”是979,请通过计算验证猜想;
(3)设一个对称数的百位数字与个位数字均为$a$,十位数字为$b$,请你通过推理说明猜想是正确的。
观察:$101-(1+0+1)=99=9×11$;
$232-(2+3+2)=225=9×25$;
$555-(5+5+5)=540=9×60$;
…
(1)猜想:将“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被
9
整除;(2)验证:若一个“对称数”是979,请通过计算验证猜想;
(3)设一个对称数的百位数字与个位数字均为$a$,十位数字为$b$,请你通过推理说明猜想是正确的。
答案
10. (1)9
(2)解:$979-(9+7+9)=954=9×106$,故将“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被9整除。
(3)解:$(100a + 10b + a) - (a + b + a) = 99a + 9b = 9(11a + b)$,
因为$a,b$为正整数,
所以$9(11a + b)$能被9整除,
所以“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被9整除。
(2)解:$979-(9+7+9)=954=9×106$,故将“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被9整除。
(3)解:$(100a + 10b + a) - (a + b + a) = 99a + 9b = 9(11a + b)$,
因为$a,b$为正整数,
所以$9(11a + b)$能被9整除,
所以“对称数”减去其各位数字之和,所得结果能够被9整除。
解析
【分析】
（1）观察题目给出的3个“对称数”的计算结果，所得的差均为9乘某个整数，因此可猜想结果能被9整除；
（2）验证猜想时，直接按照题干给出的运算规则，先计算979的各位数字之和，再用979减去这个和，判断差是否为9的倍数即可；
（3）要证明猜想普遍成立，首先根据三位数的表示方法，用含a、b的代数式表示出这个对称数：百位数字a对应100a，十位数字b对应10b，个位数字a对应a，因此对称数为$100a+10b+a$；再表示出各位数字之和为$a+b+a$，将两式作差，通过整式加减化简，观察化简结果是否含有因数9，若含有则可证明该结果能被9整除。
【解析】
(1) 观察示例中所有差均为9的倍数，因此猜想所得结果能够被9整除；
(2) 先计算979的各位数字之和：$9+7+9=25$，再作差：$979-25=954$，由于$954=9×106$，说明差是9的倍数，符合猜想；
(3) 首先用代数式表示该对称数为$100a+10b+a$，其各位数字之和为$a+b+a$，作差化简：
$\begin{aligned}&(100a + 10b + a) - (a + b + a)\\=&101a+10b-2a-b\\=&99a+9b\\=&9(11a+b)\end{aligned}$
因为a、b为正整数，所以$11a+b$是整数，因此$9(11a+b)$是9的整数倍，即结果能被9整除，猜想成立。
【答案】
(1)9
(2)$979-(9+7+9)=954=9×106$，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除。
(3)$(100a + 10b + a) - (a + b + a) = 99a + 9b = 9(11a + b)$，因为$a,b$为正整数，所以$9(11a + b)$能被9整除，所以“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除。
【知识点】
新定义运算、整式的加减、整除判定
【点评】
本题以新定义“对称数”为载体，考查了从特殊到一般的数学推理思想，解题核心是正确用代数式表示三位数，通过整式化简验证规律，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
（1）观察题目给出的3个“对称数”的计算结果，所得的差均为9乘某个整数，因此可猜想结果能被9整除；
（2）验证猜想时，直接按照题干给出的运算规则，先计算979的各位数字之和，再用979减去这个和，判断差是否为9的倍数即可；
（3）要证明猜想普遍成立，首先根据三位数的表示方法，用含a、b的代数式表示出这个对称数：百位数字a对应100a，十位数字b对应10b，个位数字a对应a，因此对称数为$100a+10b+a$；再表示出各位数字之和为$a+b+a$，将两式作差，通过整式加减化简，观察化简结果是否含有因数9，若含有则可证明该结果能被9整除。
【解析】
(1) 观察示例中所有差均为9的倍数，因此猜想所得结果能够被9整除；
(2) 先计算979的各位数字之和：$9+7+9=25$，再作差：$979-25=954$，由于$954=9×106$，说明差是9的倍数，符合猜想；
(3) 首先用代数式表示该对称数为$100a+10b+a$，其各位数字之和为$a+b+a$，作差化简：
$\begin{aligned}&(100a + 10b + a) - (a + b + a)\\=&101a+10b-2a-b\\=&99a+9b\\=&9(11a+b)\end{aligned}$
因为a、b为正整数，所以$11a+b$是整数，因此$9(11a+b)$是9的整数倍，即结果能被9整除，猜想成立。
【答案】
(1)9
(2)$979-(9+7+9)=954=9×106$，故将“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除。
(3)$(100a + 10b + a) - (a + b + a) = 99a + 9b = 9(11a + b)$，因为$a,b$为正整数，所以$9(11a + b)$能被9整除，所以“对称数”减去其各位数字之和，所得结果能够被9整除。
【知识点】
新定义运算、整式的加减、整除判定
【点评】
本题以新定义“对称数”为载体，考查了从特殊到一般的数学推理思想，解题核心是正确用代数式表示三位数，通过整式化简验证规律，能有效锻炼学生的逻辑推理能力和代数运算能力。
【难度系数】
0.8
