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6.某工程需要运送的土石方总量为$10^6\ \mathrm{m}^3$，某运输公司承接了运送土石方的任务.
(1)完成运送任务所需时间为$t$(单位：天)，该公司平均每天运送的土石方量为$x$(单位：$\mathrm{m}^3$).求$t$关于$x$的函数解析式.
(2)若1辆卡车每天可运送土石方$100\ \mathrm{m}^3$，且这次运送任务要求在80天内完成，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车来运输？
(1)完成运送任务所需时间为$t$(单位：天)，该公司平均每天运送的土石方量为$x$(单位：$\mathrm{m}^3$).求$t$关于$x$的函数解析式.
(2)若1辆卡车每天可运送土石方$100\ \mathrm{m}^3$，且这次运送任务要求在80天内完成，则该公司至少要安排多少辆相同型号的卡车来运输？
答案
(1)$t$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $t=\frac{10^6}{x}$.
(2)$10^6÷ 80÷ 100=125$(辆).
因此,该公司至少要安排 125 辆相同型号的卡车来运输.
(2)$10^6÷ 80÷ 100=125$(辆).
因此,该公司至少要安排 125 辆相同型号的卡车来运输.
解析
【分析】
(1) 结合工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，本题中土石方总量是固定值$10^6\ \mathrm{m}^3$，将已知总量代入关系式，变形后即可得到t关于x的函数解析式，注意x表示每天运送量，取值必须为正。
(2) 要计算最少需要的卡车数量，首先求出80天内完成任务时每天至少需要运送的土石方总量，再用该总量除以单辆卡车的日运送量，即可得到所需卡车的最少数量，结果需取符合实际的正整数。
【解析】
(1) 由“工作总量=平均每天运送量×所需时间”可得：$x· t=10^6$，对式子变形得：$t=\frac{10^6}{x}$（$x＞0$）。
(2) 先计算80天完成任务时每天需要运送的土石方量：$\frac{10^6}{80}=12500\ \mathrm{m}^3$。
已知1辆卡车每天可运送$100\ \mathrm{m}^3$，因此所需卡车数量为：$12500÷100=125$（辆）。
【答案】
(1) $t=\frac{10^6}{x}$
(2) 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车来运输。
【知识点】
1. 反比例函数实际应用
2. 工程问题数量关系
3. 有理数运算
【点评】
本题结合实际运输场景考查基础知识的应用，解题的核心是熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，第二问求解时要注意结果需符合实际意义，取正整数。
【难度系数】
0.85
(1) 结合工程问题的基本数量关系：工作总量=工作效率×工作时间，本题中土石方总量是固定值$10^6\ \mathrm{m}^3$，将已知总量代入关系式，变形后即可得到t关于x的函数解析式，注意x表示每天运送量，取值必须为正。
(2) 要计算最少需要的卡车数量，首先求出80天内完成任务时每天至少需要运送的土石方总量，再用该总量除以单辆卡车的日运送量，即可得到所需卡车的最少数量，结果需取符合实际的正整数。
【解析】
(1) 由“工作总量=平均每天运送量×所需时间”可得：$x· t=10^6$，对式子变形得：$t=\frac{10^6}{x}$（$x＞0$）。
(2) 先计算80天完成任务时每天需要运送的土石方量：$\frac{10^6}{80}=12500\ \mathrm{m}^3$。
已知1辆卡车每天可运送$100\ \mathrm{m}^3$，因此所需卡车数量为：$12500÷100=125$（辆）。
【答案】
(1) $t=\frac{10^6}{x}$
(2) 该公司至少要安排125辆相同型号的卡车来运输。
【知识点】
1. 反比例函数实际应用
2. 工程问题数量关系
3. 有理数运算
【点评】
本题结合实际运输场景考查基础知识的应用，解题的核心是熟练掌握工作总量、工作效率、工作时间三者的数量关系，第二问求解时要注意结果需符合实际意义，取正整数。
【难度系数】
0.85
7.如图,双曲线型冷却塔的纵截面是轴对称图形,其中四边形ABCD是一个矩形.若以AB所在直线为x轴,AB的垂直平分线为y轴建立如图所示的平面直角坐标系,曲线DE,CF分别是两个反比例函数图象的一部分,已知AB=87 m,BC=20 m,EF=16 m,则整个冷却塔的高度为
$\frac{435}{4}$
m.答案
7.$\frac{435}{4}$
解析
【分析】
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用图形的轴对称性，确定点C和点F的横坐标；再根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，先代入已知坐标的点C求出反比例函数的比例系数k；最后将点F的横坐标代入解析式，求出的纵坐标就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=87m，BC=20m，图形以y轴为对称轴，
∴ 点C的横坐标为$\frac{87}{2}$，纵坐标为20，即$C(\frac{87}{2},20)$。
设第一象限内CF所在的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(\frac{87}{2},20)$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{\frac{87}{2}}$，解得$k=20×\frac{87}{2}=870$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{870}{x}$。
又
∵ EF=16m，点F在第一象限，
∴ 点F的横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将$x=8$代入$y=\frac{870}{x}$，得$y=\frac{870}{8}=\frac{435}{4}$，
即整个冷却塔的高度为$\frac{435}{4}$m。
【答案】
$\frac{435}{4}$
【知识点】
反比例函数的实际应用，轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合冷却塔的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是找准反比例函数上的已知点坐标求出函数解析式，再利用所求点的横坐标计算对应纵坐标，计算过程难度不大，需注意坐标的准确性。
【难度系数】
0.7
本题是反比例函数在实际问题中的应用，解题思路如下：首先利用图形的轴对称性，确定点C和点F的横坐标；再根据反比例函数图象上的点满足函数解析式，先代入已知坐标的点C求出反比例函数的比例系数k；最后将点F的横坐标代入解析式，求出的纵坐标就是冷却塔的总高度。
【解析】
解：
∵ 四边形ABCD是矩形，AB=87m，BC=20m，图形以y轴为对称轴，
∴ 点C的横坐标为$\frac{87}{2}$，纵坐标为20，即$C(\frac{87}{2},20)$。
设第一象限内CF所在的反比例函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k≠0)$，
将点$C(\frac{87}{2},20)$代入解析式，得：
$20=\frac{k}{\frac{87}{2}}$，解得$k=20×\frac{87}{2}=870$，
∴ 反比例函数解析式为$y=\frac{870}{x}$。
又
∵ EF=16m，点F在第一象限，
∴ 点F的横坐标为$\frac{16}{2}=8$，
将$x=8$代入$y=\frac{870}{x}$，得$y=\frac{870}{8}=\frac{435}{4}$，
即整个冷却塔的高度为$\frac{435}{4}$m。
【答案】
$\frac{435}{4}$
【知识点】
反比例函数的实际应用，轴对称的性质，反比例函数图象上点的坐标特征
【点评】
本题结合冷却塔的实际场景考查反比例函数的应用，解题的核心是找准反比例函数上的已知点坐标求出函数解析式，再利用所求点的横坐标计算对应纵坐标，计算过程难度不大，需注意坐标的准确性。
【难度系数】
0.7
8. 某校对教室进行消毒.已知在消毒药释放过程中,教室内每立方米空气中的含药量$y$(单位:mg)与时间$x$(单位:min)成正比例关系;消毒药释放完毕后,$y$与$x$成反比例关系,根据$y$与$x$之间的函数关系绘制的图象如图所示.
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式,并写出对应的自变量取值范围.
(2)据测定,当教室内每立方米空气中的含药量低于3 mg时,对人体无害.从消毒药释放开始,有多长时间教室内含药量超标,学生不能待在教室?
(1)求正比例函数和反比例函数的解析式,并写出对应的自变量取值范围.
(2)据测定,当教室内每立方米空气中的含药量低于3 mg时,对人体无害.从消毒药释放开始,有多长时间教室内含药量超标,学生不能待在教室?
答案
(1)设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$.
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $8=\frac{k}{24}$.
解得 $k=192$.
$\therefore y=\frac{192}{x}$.
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $12=\frac{192}{x}$.
解得 $x=16$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥ 16)$.
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠ 0)$.
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$,得 $12=16n$.
解得 $n=\frac{3}{4}$.
$\therefore$ 正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤ x＜16)$.
(2)把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $3=\frac{192}{x}$.
解得 $x=64$.
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$,得 $3=\frac{3}{4}x$.
解得 $x=4$.
根据题图可得,当 $4≤ x≤ 64$ 时,$y≥ 3$.
$\because 64-4=60(\mathrm{min})$,
$\therefore$ 有 60 min 教室内含药量超标.
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $8=\frac{k}{24}$.
解得 $k=192$.
$\therefore y=\frac{192}{x}$.
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $12=\frac{192}{x}$.
解得 $x=16$.
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥ 16)$.
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠ 0)$.
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$,得 $12=16n$.
解得 $n=\frac{3}{4}$.
$\therefore$ 正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤ x＜16)$.
(2)把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$,得 $3=\frac{192}{x}$.
解得 $x=64$.
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$,得 $3=\frac{3}{4}x$.
解得 $x=4$.
根据题图可得,当 $4≤ x≤ 64$ 时,$y≥ 3$.
$\because 64-4=60(\mathrm{min})$,
$\therefore$ 有 60 min 教室内含药量超标.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知，含药量y与时间x的函数为分段函数：0到消毒药释放完毕的时间段为正比例函数，释放完毕后为反比例函数，两段函数的交点为图像最高点，纵坐标为12。已知反比例函数过点(24,8)，因此先利用待定系数法求出反比例函数解析式；再将y=12代入反比例解析式，求出最高点的横坐标，即消毒药释放完毕的时间，该点同时在正比例函数上，代入即可求出正比例函数解析式，最后结合函数的实际意义写出两段函数对应的自变量取值范围。
(2) 含药量超标即y≥3，因此分别将y=3代入两个函数解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差就是含药量超标的总时长。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$，
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $8=\frac{k}{24}$，
解得 $k=192$，
$\therefore y=\frac{192}{x}$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$，得 $12=\frac{192}{x}$，
解得 $x=16$，即两段函数的交点为$(16,12)$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥ 16)$。
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠ 0)$，
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$，得 $12=16n$，
解得 $n=\frac{3}{4}$，
$\therefore$ 正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤ x＜16)$。
(2) 把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$，得 $3=\frac{192}{x}$，
解得 $x=64$。
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$，得 $3=\frac{3}{4}x$，
解得 $x=4$。
结合图像可得，当 $4≤ x≤ 64$ 时，$y≥ 3$，即含药量超标，
超标的时长为 $64-4=60(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 正比例函数：$y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$；反比例函数：$y=\frac{192}{x}(x≥16)$
(2) 60 min
【知识点】
正比例函数应用；反比例函数应用；分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题关键是先通过已知点求出两段函数的解析式，再根据函数值确定对应的自变量区间，侧重考查对函数图像的解读能力和基础计算能力，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知，含药量y与时间x的函数为分段函数：0到消毒药释放完毕的时间段为正比例函数，释放完毕后为反比例函数，两段函数的交点为图像最高点，纵坐标为12。已知反比例函数过点(24,8)，因此先利用待定系数法求出反比例函数解析式；再将y=12代入反比例解析式，求出最高点的横坐标，即消毒药释放完毕的时间，该点同时在正比例函数上，代入即可求出正比例函数解析式，最后结合函数的实际意义写出两段函数对应的自变量取值范围。
(2) 含药量超标即y≥3，因此分别将y=3代入两个函数解析式，求出对应的两个x值，两个x值的差就是含药量超标的总时长。
【解析】
(1) 设反比例函数的解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$，
把 $x=24,y=8$ 代入 $y=\frac{k}{x}$，得 $8=\frac{k}{24}$，
解得 $k=192$，
$\therefore y=\frac{192}{x}$。
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{192}{x}$，得 $12=\frac{192}{x}$，
解得 $x=16$，即两段函数的交点为$(16,12)$，
$\therefore$ 反比例函数的解析式为 $y=\frac{192}{x}(x≥ 16)$。
设正比例函数的解析式为 $y=nx(n≠ 0)$，
把 $x=16,y=12$ 代入 $y=nx$，得 $12=16n$，
解得 $n=\frac{3}{4}$，
$\therefore$ 正比例函数的解析式为 $y=\frac{3}{4}x(0≤ x＜16)$。
(2) 把 $y=3$ 代入 $y=\frac{192}{x}$，得 $3=\frac{192}{x}$，
解得 $x=64$。
把 $y=3$ 代入 $y=\frac{3}{4}x$，得 $3=\frac{3}{4}x$，
解得 $x=4$。
结合图像可得，当 $4≤ x≤ 64$ 时，$y≥ 3$，即含药量超标，
超标的时长为 $64-4=60(\mathrm{min})$。
【答案】
(1) 正比例函数：$y=\frac{3}{4}x(0≤x＜16)$；反比例函数：$y=\frac{192}{x}(x≥16)$
(2) 60 min
【知识点】
正比例函数应用；反比例函数应用；分段函数求解
【点评】
本题结合生活实际考查分段函数的应用，解题关键是先通过已知点求出两段函数的解析式，再根据函数值确定对应的自变量区间，侧重考查对函数图像的解读能力和基础计算能力，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
