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9.某蔬菜生产基地用装有恒温系统的大棚栽培新品种蔬菜.某天恒温系统从开启到关闭后,大棚内的温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与时间$x$(单位:h)的函数关系如图所示,其中线段$AB$,$BC$表示的是恒温系统开启阶段,双曲线的一部分$CD$表示的是恒温系统关闭阶段.请根据图中信息解答下列问题.
(1)求$y$关于$x(10≤ x≤24)$的函数解析式.
(2)大棚里栽培的某种蔬菜在$12\ °\mathrm{C}$到$20\ °\mathrm{C}$的条件下最适合生长,那么这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是多少?
(1)求$y$关于$x(10≤ x≤24)$的函数解析式.
(2)大棚里栽培的某种蔬菜在$12\ °\mathrm{C}$到$20\ °\mathrm{C}$的条件下最适合生长,那么这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是多少?
答案
(1)设 $y$ 关于 $x(10≤ x≤ 24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{k}{x}(k≠ 0)$.
把 $x=10,y=20$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $20=\frac{k}{10}$.
解得 $k=200$.
因此,$y$ 关于 $x(10≤ x≤ 24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{200}{x}(10≤ x≤ 24)$.
(2)设线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠ 0,0≤ x≤ 5)$.
把 $\begin{cases}x=0,\\ y=10,\end{cases}\begin{cases}x=5,\\ y=20\end{cases}$ 分别代入 $y=mx+n$,得
$\begin{cases}n=10,\\ 5m+n=20.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2,\\ n=10.\end{cases}$
因此,线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=2x+10(0≤ x≤ 5)$.
把 $y=12$ 代入 $y=2x+10$,得 $12=2x+10$.
解得 $x=1$.
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{200}{x}$,得 $12=\frac{200}{x}$.
解得 $x=\frac{50}{3}$.
$\because \frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是 $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$.
把 $x=10,y=20$ 代入 $y=\frac{k}{x}$,得 $20=\frac{k}{10}$.
解得 $k=200$.
因此,$y$ 关于 $x(10≤ x≤ 24)$ 的函数解析式为 $y=\frac{200}{x}(10≤ x≤ 24)$.
(2)设线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=mx+n(m≠ 0,0≤ x≤ 5)$.
把 $\begin{cases}x=0,\\ y=10,\end{cases}\begin{cases}x=5,\\ y=20\end{cases}$ 分别代入 $y=mx+n$,得
$\begin{cases}n=10,\\ 5m+n=20.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}m=2,\\ n=10.\end{cases}$
因此,线段 $AB$ 对应的函数解析式为 $y=2x+10(0≤ x≤ 5)$.
把 $y=12$ 代入 $y=2x+10$,得 $12=2x+10$.
解得 $x=1$.
把 $y=12$ 代入 $y=\frac{200}{x}$,得 $12=\frac{200}{x}$.
解得 $x=\frac{50}{3}$.
$\because \frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$,
$\therefore$ 这种蔬菜在这一天内最适合生长的时长是 $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$.
解析
【分析】
(1) 观察图像可知，$10\le x\le24$区间的函数为反比例函数，使用待定系数法求解：先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，再将已知点$C(10,20)$代入计算参数$k$，即可得到该段的函数解析式。
(2) 要求温度在$12℃$到$20℃$之间的生长时长，需分两部分计算：首先求升温段$AB$的一次函数解析式，代入$y=12$求出升温过程中温度首次达到$12℃$对应的$x$值；再将$y=12$代入(1)中求出的反比例函数解析式，得到降温过程中温度降至$12℃$对应的$x$值；两个$x$的差值就是总适宜时长，且$BC$段恒温$20℃$属于适宜温度，包含在上述两个$x$的区间内。
【解析】
(1) 当$10\le x\le24$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$。
把$x=10,y=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{10}$，解得$k=200$。
因此$10\le x\le24$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{200}{x}(10\le x\le24)$。
(2) 设线段$AB$对应的函数解析式为$y=mx+n(m\ne0,0\le x\le5)$。
把$\begin{cases}x=0\\y=10\end{cases}$和$\begin{cases}x=5\\y=20\end{cases}$分别代入解析式，得$\begin{cases}n=10\\5m+n=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=2\\n=10\end{cases}$。
即线段$AB$的函数解析式为$y=2x+10(0\le x\le5)$。
把$y=12$代入$y=2x+10$，得$12=2x+10$，解得$x=1$，即第1小时温度首次达到$12℃$。
把$y=12$代入$y=\frac{200}{x}$，得$12=\frac{200}{x}$，解得$x=\frac{50}{3}$，即第$\frac{50}{3}$小时温度降至$12℃$。
最适合生长的时长为$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\frac{200}{x}(10\le x\le24)$
(2) $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合大棚温度变化的实际场景，考查一次函数和反比例函数的综合应用，解题关键是准确识别不同区间的函数类型，熟练运用待定系数法求解解析式，再结合函数值计算对应自变量，最终得到符合条件的时长，对图像信息提取能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
(1) 观察图像可知，$10\le x\le24$区间的函数为反比例函数，使用待定系数法求解：先设反比例函数的一般形式$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$，再将已知点$C(10,20)$代入计算参数$k$，即可得到该段的函数解析式。
(2) 要求温度在$12℃$到$20℃$之间的生长时长，需分两部分计算：首先求升温段$AB$的一次函数解析式，代入$y=12$求出升温过程中温度首次达到$12℃$对应的$x$值；再将$y=12$代入(1)中求出的反比例函数解析式，得到降温过程中温度降至$12℃$对应的$x$值；两个$x$的差值就是总适宜时长，且$BC$段恒温$20℃$属于适宜温度，包含在上述两个$x$的区间内。
【解析】
(1) 当$10\le x\le24$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{k}{x}(k\ne0)$。
把$x=10,y=20$代入解析式，得$20=\frac{k}{10}$，解得$k=200$。
因此$10\le x\le24$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{200}{x}(10\le x\le24)$。
(2) 设线段$AB$对应的函数解析式为$y=mx+n(m\ne0,0\le x\le5)$。
把$\begin{cases}x=0\\y=10\end{cases}$和$\begin{cases}x=5\\y=20\end{cases}$分别代入解析式，得$\begin{cases}n=10\\5m+n=20\end{cases}$，解得$\begin{cases}m=2\\n=10\end{cases}$。
即线段$AB$的函数解析式为$y=2x+10(0\le x\le5)$。
把$y=12$代入$y=2x+10$，得$12=2x+10$，解得$x=1$，即第1小时温度首次达到$12℃$。
把$y=12$代入$y=\frac{200}{x}$，得$12=\frac{200}{x}$，解得$x=\frac{50}{3}$，即第$\frac{50}{3}$小时温度降至$12℃$。
最适合生长的时长为$\frac{50}{3}-1=\frac{47}{3}(\mathrm{h})$。
【答案】
(1) $y=\frac{200}{x}(10\le x\le24)$
(2) $\frac{47}{3}\ \mathrm{h}$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合大棚温度变化的实际场景，考查一次函数和反比例函数的综合应用，解题关键是准确识别不同区间的函数类型，熟练运用待定系数法求解解析式，再结合函数值计算对应自变量，最终得到符合条件的时长，对图像信息提取能力和基础计算能力有一定要求。
【难度系数】
0.7
10. 小明家的饮水机在通电开机前，水的温度为$20\ °\mathrm{C}$，在通电开机后，饮水机开始自动加热，加热过程中水的温度$y$(单位:$°\mathrm{C}$)与开机时间$x$(单位:$\mathrm{min}$)成一次函数关系，当水的温度为$100\ °\mathrm{C}$时，饮水机自动停止加热，随后水的温度开始下降，下降过程中$y$与$x$成反比例函数关系，当水的温度降至$20\ °\mathrm{C}$时，饮水机又开始自动加热……如此继续下去，$y$与$x$的函数关系如图所示. 根据图中的信息，解答下列问题.
(1)当$0{≤}x{≤}8$时，求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求图中$t$的值.
(3)某一天，小明在上午$7:10$(此时饮水机内水的温度为$20\ °\mathrm{C}$)将饮水机通电开机，当天中午$11:56$时饮水机内水的温度是多少？在$7:10$至$11:56$这段时间里，水的温度共有几次达到了$100\ °\mathrm{C}$？
(1)当$0{≤}x{≤}8$时，求$y$关于$x$的函数解析式.
(2)求图中$t$的值.
(3)某一天，小明在上午$7:10$(此时饮水机内水的温度为$20\ °\mathrm{C}$)将饮水机通电开机，当天中午$11:56$时饮水机内水的温度是多少？在$7:10$至$11:56$这段时间里，水的温度共有几次达到了$100\ °\mathrm{C}$？
答案
(1)当 $0≤ x≤ 8$ 时,设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=kx+b(k≠ 0)$.
把 $\begin{cases}x=0,\\ y=20,\end{cases}\begin{cases}x=8,\\ y=100\end{cases}$ 分别代入 $y=kx+b$,得
$\begin{cases}b=20,\\ 8k+b=100.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=10,\\ b=20.\end{cases}$
因此,当 $0≤ x≤ 8$ 时,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=10x+20$.
(2)饮水机第一次停止加热时,在水的温度下降的过程中,设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\frac{m}{x}(m≠ 0)$.
把 $x=8,y=100$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $100=\frac{m}{8}$.
解得 $m=800$.
因此,$y=\frac{800}{x}$.
把 $y=20$ 代入 $y=\frac{800}{x}$,得 $20=\frac{800}{x}$.
解得 $x=40$.
因此,题图中 $t$ 的值为 40.
(3)由题图及(2)可知,40 min 为一个循环周期.
从 $7:10$ 到 $11:56$,共 286 min.
$286÷ 40=7(\mathrm{次})······6(\mathrm{min})$.
$\because 6＜8$,
$\therefore$ 把 $x=6$ 代入 $y=10x+20$,得 $y=10× 6+20=80$.
因此,当天中午 $11:56$ 时饮水机内水的温度是 $80\ °\mathrm{C}$,在 $7:10$ 至 $11:56$ 这段时间里,水的温度共有7次达到了 $100\ °\mathrm{C}$.
把 $\begin{cases}x=0,\\ y=20,\end{cases}\begin{cases}x=8,\\ y=100\end{cases}$ 分别代入 $y=kx+b$,得
$\begin{cases}b=20,\\ 8k+b=100.\end{cases}$ 解得 $\begin{cases}k=10,\\ b=20.\end{cases}$
因此,当 $0≤ x≤ 8$ 时,$y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=10x+20$.
(2)饮水机第一次停止加热时,在水的温度下降的过程中,设 $y$ 关于 $x$ 的函数解析式为 $y=\frac{m}{x}(m≠ 0)$.
把 $x=8,y=100$ 代入 $y=\frac{m}{x}$,得 $100=\frac{m}{8}$.
解得 $m=800$.
因此,$y=\frac{800}{x}$.
把 $y=20$ 代入 $y=\frac{800}{x}$,得 $20=\frac{800}{x}$.
解得 $x=40$.
因此,题图中 $t$ 的值为 40.
(3)由题图及(2)可知,40 min 为一个循环周期.
从 $7:10$ 到 $11:56$,共 286 min.
$286÷ 40=7(\mathrm{次})······6(\mathrm{min})$.
$\because 6＜8$,
$\therefore$ 把 $x=6$ 代入 $y=10x+20$,得 $y=10× 6+20=80$.
因此,当天中午 $11:56$ 时饮水机内水的温度是 $80\ °\mathrm{C}$,在 $7:10$ 至 $11:56$ 这段时间里,水的温度共有7次达到了 $100\ °\mathrm{C}$.
解析
【分析】
(1) 已知0≤x≤8时y是x的一次函数，解题时先设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，从题干和图像中获取两组对应值：x=0时y=20，x=8时y=100，代入解析式即可求出k、b的值，得到所求函数解析式。
(2) 水温下降阶段y与x成反比例函数关系，先设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将加热结束的点(8,100)代入求出m的值，再将y=20代入反比例解析式，求出对应的x值即为t。
(3) 首先得出饮水机水温变化的周期为40分钟（从20℃加热到100℃再降温回到20℃的总时长），先计算7:10到11:56的总时长，再用总时长除以周期，得到完整周期数和剩余时长：完整周期数就是水温达到100℃的次数；剩余时长小于8分钟，说明处于新一次的加热阶段，将剩余时长代入(1)的一次函数解析式即可求出对应温度。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤ 8$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$。
将$\begin{cases}x=0\\ y=20\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\ y=100\end{cases}$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}b=20\\ 8k+b=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\ b=20\end{cases}$
所以当$0≤ x≤ 8$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+20$。
(2) 水温下降阶段，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠ 0)$。
将$x=8,y=100$代入解析式，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，即下降阶段函数解析式为$y=\frac{800}{x}$。
当$y=20$时，代入得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，即$t=40$。
(3) 由(2)可知，饮水机每40分钟完成一次“加热到100℃再降温回20℃”的循环，每个循环水温达到100℃1次。
从7:10到11:56的总时长为：11时56分 -7时10分 =4小时46分钟=286分钟。
$286÷40=7······6$，即完整循环7次，剩余6分钟。
因为6＜8，剩余的6分钟处于新一次的加热阶段，将$x=6$代入$y=10x+20$，得$y=10×6+20=80$。
所以11:56时水温为80℃，这段时间水温共有7次达到100℃。
【答案】
(1) $y=10x+20(0≤x≤8)$；
(2) $t=40$；
(3) 中午11:56时饮水机内水的温度是$80\ °\mathrm{C}$，在7:10至11:56这段时间里，水的温度共有7次达到了$100\ °\mathrm{C}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景，综合考查一次函数和反比例函数的实际应用，解题的核心是掌握用待定系数法求函数解析式的方法，同时能从图像中提取信息总结出循环规律，有效锻炼了学生的读图能力和运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
(1) 已知0≤x≤8时y是x的一次函数，解题时先设一次函数解析式为y=kx+b(k≠0)，从题干和图像中获取两组对应值：x=0时y=20，x=8时y=100，代入解析式即可求出k、b的值，得到所求函数解析式。
(2) 水温下降阶段y与x成反比例函数关系，先设反比例函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠0)$，将加热结束的点(8,100)代入求出m的值，再将y=20代入反比例解析式，求出对应的x值即为t。
(3) 首先得出饮水机水温变化的周期为40分钟（从20℃加热到100℃再降温回到20℃的总时长），先计算7:10到11:56的总时长，再用总时长除以周期，得到完整周期数和剩余时长：完整周期数就是水温达到100℃的次数；剩余时长小于8分钟，说明处于新一次的加热阶段，将剩余时长代入(1)的一次函数解析式即可求出对应温度。
【解析】
(1) 当$0≤ x≤ 8$时，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=kx+b(k≠ 0)$。
将$\begin{cases}x=0\\ y=20\end{cases}$和$\begin{cases}x=8\\ y=100\end{cases}$分别代入解析式，得：
$\begin{cases}b=20\\ 8k+b=100\end{cases}$
解得$\begin{cases}k=10\\ b=20\end{cases}$
所以当$0≤ x≤ 8$时，$y$关于$x$的函数解析式为$y=10x+20$。
(2) 水温下降阶段，设$y$关于$x$的函数解析式为$y=\frac{m}{x}(m≠ 0)$。
将$x=8,y=100$代入解析式，得$100=\frac{m}{8}$，解得$m=800$，即下降阶段函数解析式为$y=\frac{800}{x}$。
当$y=20$时，代入得$20=\frac{800}{x}$，解得$x=40$，即$t=40$。
(3) 由(2)可知，饮水机每40分钟完成一次“加热到100℃再降温回20℃”的循环，每个循环水温达到100℃1次。
从7:10到11:56的总时长为：11时56分 -7时10分 =4小时46分钟=286分钟。
$286÷40=7······6$，即完整循环7次，剩余6分钟。
因为6＜8，剩余的6分钟处于新一次的加热阶段，将$x=6$代入$y=10x+20$，得$y=10×6+20=80$。
所以11:56时水温为80℃，这段时间水温共有7次达到100℃。
【答案】
(1) $y=10x+20(0≤x≤8)$；
(2) $t=40$；
(3) 中午11:56时饮水机内水的温度是$80\ °\mathrm{C}$，在7:10至11:56这段时间里，水的温度共有7次达到了$100\ °\mathrm{C}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数的应用，反比例函数的应用
【点评】
本题结合生活中饮水机的水温变化场景，综合考查一次函数和反比例函数的实际应用，解题的核心是掌握用待定系数法求函数解析式的方法，同时能从图像中提取信息总结出循环规律，有效锻炼了学生的读图能力和运用函数知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
