1.若关于$x$的一元二次方程$kx^2 + 4x - 2 = 0$有实数根，则$k$的取值范围是 （）

A.$k ≥ -2$
B.$k ＞ -2$且$k ≠ 0$
C.$k ≥ -2$且$k ≠ 0$
D.$k ≤ -2$

C

【分析】
要解决这道题，需要同时考虑两个核心限制条件：①题目明确说明是一元二次方程，因此二次项系数不能为0；②方程有实数根，说明根的判别式大于等于0。我们先分别求出满足两个条件的k的取值范围，再取两个范围的公共部分，就能得到最终结果，注意不要遗漏一元二次方程二次项系数不为0的隐含要求。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不为0，可得：$k ≠ 0$。
第二步：已知方程有实数根，根据一元二次方程根的判别式要求$\Delta = b^2 - 4ac ≥ 0$，在方程$kx^2 + 4x - 2 = 0$中，$a=k$，$b=4$，$c=-2$，代入得：
$\Delta = 4^2 - 4 × k × (-2) = 16 + 8k ≥ 0$
解不等式：$8k ≥ -16$，即$k ≥ -2$。
第三步：结合两个条件，取公共范围，可得$k$的取值范围是$k ≥ -2$且$k ≠ 0$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程定义、根的判别式应用、不等式求解
【点评】
本题属于根的判别式的常规考查题型，易错点是忽略一元二次方程二次项系数不为0的前提条件，误选A选项，解题时要先明确方程类型的限制要求，再结合判别式计算参数范围。
【难度系数】
0.7

2. 关于$x$的一元二次方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$的根的情况是（）

A.有两个相等的实数根
B.有两个不相等的实数根
C.无实数根
D.无法判断

C

【分析】
要判断一元二次方程的根的情况，需使用根的判别式$\Delta=b^2-4ac$来判断。解题思路分三步：第一步先确定方程中二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的表达式；第三步结合平方的非负性判断$\Delta$的正负，再根据判别式的取值和根的对应关系得出结论：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，其根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
在方程$x^2 - x + k^2 + 2 = 0$中，$a=1$，$b=-1$，$c=k^2+2$，
代入判别式得：
$\Delta = (-1)^2 - 4×1×(k^2+2)$
$=1 - 4k^2 - 8$
$=-4k^2 -7$
∵ 任意实数的平方都是非负数，即$k^2≥0$，
∴ $-4k^2≤0$，
∴ $\Delta = -4k^2 -7 ≤ -7 ＜ 0$，
根据判别式的性质，当$\Delta＜0$时，一元二次方程无实数根。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程根的判别式；非负数的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查利用判别式判断一元二次方程根的情况，解题的关键是准确识别方程各项系数，正确计算判别式，并结合平方的非负性判断判别式的符号。
【难度系数】
0.8

3. 已知关于$x$的一元二次方程$kx^2 -2x +1=0$有两个不相等的实数根,请写出一个满足条件的$k$的值:.

-1(答案不唯一)

【分析】
要解决这个问题，我们需要结合一元二次方程的定义和根的判别式两个条件确定k的取值范围，再从中任选一个符合条件的值即可。首先一元二次方程要求二次项系数不为0，因此k不能为0；其次方程有两个不相等的实数根，说明根的判别式Δ＞0，代入对应系数计算不等式就能得到k的取值限制，最后结合两个条件确定k的取值范围，选一个符合要求的值即可。
【解析】
第一步：根据一元二次方程的定义，二次项系数不能为0，可得：
$k ≠ 0$
第二步：方程有两个不相等的实数根，根据根的判别式规则：当$\Delta = b^2 - 4ac ＞ 0$时，一元二次方程有两个不相等的实数根。
本题中$a=k$，$b=-2$，$c=1$，代入判别式得：
$\Delta = (-2)^2 - 4 × k × 1 = 4 - 4k ＞ 0$
解不等式$4-4k＞0$：
移项得$-4k ＞ -4$，两边同时除以-4（不等号方向改变），解得$k ＜ 1$
第三步：结合两个条件，k的取值范围是$k ＜ 1$且$k ≠ 0$，任选一个符合条件的数即可，例如$k=-1$。
【答案】
-1（答案不唯一，满足$k＜1$且$k≠0$即可）
【知识点】
一元二次方程的定义；一元二次方程根的判别式
【点评】
本题属于基础类题目，解题时容易遗漏一元二次方程二次项系数不为0的限制条件，只要同时满足两个限制条件，就能快速找到符合要求的k值。
【难度系数】
0.7

4.若关于$x$的方程$(x-2)(x-k)=0$有两个相等的实数根，则点$M(k,k-1)$的坐标为________.

(2,1)

【分析】
解题思路：首先明确题目给出的是关于x的一元二次方程，已知方程有两个相等的实数根，可通过两种思路求解参数k：思路一，先将方程整理为一元二次方程的一般形式，根据“一元二次方程有两个相等的实数根时，根的判别式Δ=0”建立关于k的方程，解出k的值；思路二，直接根据因式分解法得到方程的两个根分别为2和k，令两根相等即可快速求出k的值。求出k后，代入点M的坐标表达式即可得到结果。
【解析】
第一步：将方程化为一般形式
展开$(x-2)(x-k)=0$，得：
$x^2 - (k+2)x + 2k = 0$
这是关于x的一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-(k+2)$，常数项$c=2k$。
第二步：根据根的情况列方程求k
因为方程有两个相等的实数根，所以根的判别式$\Delta = b^2 - 4ac = 0$，代入系数得：
$[-(k+2)]^2 - 4×1×2k = 0$
化简计算：
$k^2 + 4k + 4 - 8k = 0$
$k^2 - 4k + 4 = 0$
$(k-2)^2 = 0$
解得：$k=2$
第三步：计算点M的坐标
将$k=2$代入点$M(k,k-1)$，得横坐标为$2$，纵坐标为$2-1=1$，即点M的坐标为$(2,1)$。
（也可直接由因式分解法得方程的两根为$x_1=2$，$x_2=k$，由两根相等得$k=2$，再求坐标）
【答案】
$(2,1)$
【知识点】
一元二次方程根的判别式；点的坐标；因式分解法解一元二次方程
【点评】
本题属于基础题，主要考查一元二次方程根的判别式的应用以及根据参数求点的坐标，解题关键是根据方程根的情况求出参数k的值，计算量小，容易得分。
【难度系数】
0.8

5. 判断下列方程根的情况.
(1)$3x^2 -2x -1=0$. (2)$6y(y-1)+3=0$.

【解】(1)
∵$a=3,b=-2,c=-1$,
∴$b^2-4ac=(-2)^2-4×3×(-1)=16＞0$.
故原方程有两个不相等的实数根.
(2)将原方程化简、整理,得$2y^2-2y+1=0$.
∵$a=2,b=-2,c=1$,
∴$b^2-4ac=(-2)^2-4×2×1=-4＜0$.
故原方程无实数根.

【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解，解题思路如下：①若方程不是一元二次方程的一般形式，先化为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的标准形式；②准确找出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意系数要携带对应的正负符号；③代入判别式公式计算$\Delta$的数值；④根据$\Delta$的符号判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程没有实数根。
【解析】
(1) 方程$3x^2 -2x -1=0$为一元二次方程的一般形式：
∵ $a=3$，$b=-2$，$c=-1$，
∴ $\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×3×(-1) = 4 + 12 = 16 ＞ 0$，
故原方程有两个不相等的实数根。
(2) 先将$6y(y-1)+3=0$整理为一般形式：
展开原式得$6y^2 - 6y + 3 = 0$，两边同时除以3化简得$2y^2 - 2y + 1 = 0$，
∵ $a=2$，$b=-2$，$c=1$，
∴ $\Delta = b^2-4ac = (-2)^2 - 4×2×1 = 4 - 8 = -4 ＜ 0$，
故原方程无实数根。
【答案】
(1) 有两个不相等的实数根；(2) 无实数根
【知识点】
一元二次方程根的判别式；一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是基础类题型，核心考查根的判别式的应用，解题的关键是先将非标准形式的方程化为一般形式，代入系数时注意符号，避免计算失误。
【难度系数】
0.8

6. 求证:无论$m$取何值,关于$x$的一元二次方程$x^2 - mx + \frac{m}{2} - \frac{1}{4} = 0$总有两个实数根.

【证明】
∵$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,
∴无论$m$取何值,方程总有两个实数根.

【分析】
要证明一元二次方程无论参数取何值都总有两个实数根，需结合一元二次方程根的判别式的性质分析：对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，当判别式$\Delta=b^2-4ac≥0$时，方程有两个实数根。因此本题只需先确定方程中$a、b、c$的取值，代入判别式公式计算并化简，再结合平方的非负性判断$\Delta$的取值范围恒大于等于0，即可完成证明。
【解析】
证明：已知方程是关于$x$的一元二次方程，其中二次项系数$a=1$，一次项系数$b=-m$，常数项$c=\frac{m}{2}-\frac{1}{4}$。
代入根的判别式公式可得：
$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})$
$=m^2-2m+1$
$=(m-1)^2$
∵ 无论$m$取何值，完全平方数均为非负数，即$(m-1)^2≥0$，也就是$\Delta≥0$
∴ 无论$m$取何值，该方程总有两个实数根。
【答案】
∵$\Delta=(-m)^2-4×1×(\frac{m}{2}-\frac{1}{4})=m^2-2m+1=(m-1)^2≥0$,
∴无论$m$取何值,方程总有两个实数根.
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 完全平方式的非负性
【点评】
本题是根的判别式的基础应用题型，解题核心是准确计算判别式并化简，结合平方的非负性判断判别式的取值范围，进而确定方程根的情况，解题时需注意准确代入各项系数，避免运算失误。
【难度系数】
0.8

7. 某等腰三角形的一边长为3，另外两边的长是关于$x$的方程$x^2 -12x +k=0$的两根，则三角形的周长为。

15

【分析】
本题是等腰三角形与一元二次方程结合的综合题，解题思路如下：首先明确已知边长3可能是等腰三角形的腰，也可能是底边，需分两种情况讨论：①若3为腰长，则x=3是方程的根，代入求k后解出方程另一根，再用三角形三边关系验证是否能构成三角形；②若3为底边长，则方程的两根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，用根的判别式Δ=0求k，解出根后再验证三边关系，最后计算符合条件的三角形周长即可。
【解析】
分两种情况讨论：
1. 当长为3的边是腰时：
将x=3代入方程$x^2 -12x +k=0$，得：
$3^2 -12×3 +k=0$，解得$k=27$
此时方程为$x^2 -12x +27=0$，因式分解得$(x-3)(x-9)=0$，解得两根为$x_1=3$，$x_2=9$
此时三角形三边长为3，3，9，因为$3+3=6＜9$，不满足三角形两边之和大于第三边的关系，故该情况舍去。
2. 当长为3的边是底边时：
此时方程的两根为等腰三角形的两条腰，即方程有两个相等的实数根，因此判别式$\Delta=0$：
$\Delta=(-12)^2 -4×1×k=144-4k=0$，解得$k=36$
此时方程为$x^2 -12x +36=0$，即$(x-6)^2=0$，解得两根均为6
此时三角形三边长为3，6，6，满足$3+6＞6$，$6+6＞3$，符合三角形三边关系，周长为$3+6+6=15$。
【答案】
15
【知识点】
等腰三角形的性质；一元二次方程根的判别式；三角形三边关系
【点评】
本题解题的关键是对已知边长的身份进行分类讨论，同时要注意必须用三角形三边关系验证所得边长是否能构成三角形，避免错增不符合条件的解。
【难度系数】
0.6

8.已知关于$x$的一元二次方程$x^2 -2kx +k^2 -k +1=0$的两个不相等的实数根分别为$x_1,x_2$.
(1)求$k$的取值范围.
(2)若$k＜5$,且$k,x_1,x_2$都是整数,求$k$的值.

【解】(1)根据题意,得 $\Delta=(-2k )^2-4×1×(k^2-k+1)=4k-4＞0$.
解得 $k＞1$.
(2)$\because k＜5$,
$\therefore 1＜k＜5$.
$\because k$ 是整数,
$\therefore k$ 的值为 2 或 3 或 4.
当 $k=2$ 时,原方程为 $x^2-4x+3=0$.
解得 $x_1=1,x_2=3$.
此时 $x_1,x_2$ 都是整数,符合题意.
当 $k=3$ 时,原方程为 $x^2-6x+7=0$.
解得 $x_1=3+\sqrt{2},x_2=3-\sqrt{2}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
当 $k=4$ 时,原方程为 $x^2-8x+13=0$.
解得 $x_1=4+\sqrt{3},x_2=4-\sqrt{3}$.
此时 $x_1,x_2$ 都不是整数,不合题意,舍去.
综上所述,$k$ 的值为 2.

【分析】
(1) 一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式$\Delta＞0$，因此先计算对应方程的判别式，再列不等式求解，即可得到$k$的取值范围。
(2) 结合第一问得到的$k＞1$和题目给出的$k＜5$，且$k$为整数，先确定$k$的所有可能整数值，再将每个$k$值代入原方程求解，判断根是否为整数，舍去不符合条件的$k$值，即可得到最终结果。
【解析】
(1) 已知方程$x^2 -2kx +k^2 -k +1=0$是一元二次方程，且有两个不相等的实数根，因此判别式$\Delta＞0$。
计算判别式：
$\Delta=(-2k)^2 - 4×1×(k^2 -k +1)$
$=4k^2 -4k^2 +4k -4$
$=4k -4$
列不等式：$4k -4＞0$，解得$k＞1$。
(2) 由题意得$k＜5$，结合(1)的结论得$1＜k＜5$。
因为$k$是整数，所以$k$的可能取值为2、3、4。
①当$k=2$时，原方程为$x^2 -4x +3=0$，因式分解得$(x-1)(x-3)=0$，解得$x_1=1$，$x_2=3$，两根均为整数，符合题意。
②当$k=3$时，原方程为$x^2 -6x +7=0$，解得$x=3\pm\sqrt{2}$，两根均不是整数，不符合题意，舍去。
③当$k=4$时，原方程为$x^2 -8x +13=0$，解得$x=4\pm\sqrt{3}$，两根均不是整数，不符合题意，舍去。
综上，$k$的值为2。
【答案】
(1) $k＞1$
(2) $k=2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的判别式
2. 解一元一次不等式
3. 一元二次方程整数解判定
【点评】
本题围绕一元二次方程根的情况设置问题，既考查了根的判别式的基础应用，也考查了分类讨论的思想，解题时要注意第二问不能直接根据$k$的范围取整数值，必须代入验证根是否为整数，避免出现多解的错误。
【难度系数】
0.6

9.已知关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (c - a)=0$，其中$2a$，$2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$的长，$c$为边$AB$的长.如果该方程有两个相等的实数根，那么四边形$ABCD$是菱形吗？请说明理由.

【解】四边形$ABCD$是菱形.理由如下:
∵关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$有两个相等的实数根,
∴$(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$.
整理,得$a^2+b^2=c^2$.
又$2a,2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC,BD$的长,$c$为边$AB$的长,
∴$□ ABCD$的对角线互相垂直.
∴四边形$ABCD$是菱形.

【分析】
解题可按四步推导：① 由“一元二次方程有两个相等实数根”的条件，联想到根的判别式$\Delta=0$，代入方程的系数列等式；② 化简等式得到$a、b、c$的数量关系；③ 结合平行四边形对角线互相平分的性质，可知$a、b$是对角线的一半，和边长$c$构成三角形，根据$a^2+b^2=c^2$用勾股定理逆定理推出对角线互相垂直；④ 最后根据菱形的判定定理即可得出结论。
【解析】
四边形$ABCD$是菱形，理由如下：
∵关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2 + 2bx + (c - a)=0$有两个相等的实数根，
∴$\Delta=(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$，
展开整理得：$4b^2-4(c^2-a^2)=0$，即$a^2+b^2=c^2$。
又
∵$2a,2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC,BD$的长，$c$为边$AB$的长，平行四边形对角线互相平分，
∴对角线的一半$a、b$与边长$c$构成直角三角形，说明$□ ABCD$的对角线互相垂直，
∴对角线互相垂直的平行四边形是菱形，即四边形$ABCD$是菱形。
【答案】
四边形$ABCD$是菱形.理由如下:
∵关于$x$的一元二次方程$(a+c)x^2+2bx+(c-a)=0$有两个相等的实数根,
∴$(2b)^2-4(a+c)(c-a)=0$.
整理,得$a^2+b^2=c^2$.
又$2a,2b$分别为$□ ABCD$的对角线$AC,BD$的长,$c$为边$AB$的长,
∴$□ ABCD$的对角线互相垂直.
∴四边形$ABCD$是菱形.
【知识点】
一元二次方程根的判别式；勾股定理逆定理；菱形的判定
【点评】
本题融合代数与几何的核心知识点，考查对基础知识点的综合运用能力，解题关键是通过根的判别式得到线段的数量关系，再结合几何性质推导结论。
【难度系数】
0.7