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基础知识·预习
问题1 一元二次方程的根的判别式是什么？
问题2 不解方程，怎么用判别式判断一元二次方程根的情况？
问题1 一元二次方程的根的判别式是什么？
问题2 不解方程，怎么用判别式判断一元二次方程根的情况？
答案
解：
问题1：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），把式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号$\Delta$表示，记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：
先将所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，该一元二次方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，该一元二次方程没有实数根。
问题1：
对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），把式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号$\Delta$表示，记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：
先将所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，该一元二次方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，该一元二次方程没有实数根。
解析
【分析】
这两个问题是一元二次方程根的判别式的基础识记类问题。解答问题1时，首先要明确一元二次方程的前提是一般形式中二次项系数$a≠0$，在此基础上记住根的判别式的表达式和符号表示即可。解答问题2时，要按照逻辑顺序梳理步骤：第一步先把待判断的方程整理为一元二次方程的一般形式，才能准确找到$a、b、c$的取值；第二步代入公式计算判别式$\Delta$的值；第三步对照$\Delta$和0的大小关系，对应记忆三种不同的根的情况即可。
【解析】
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），把式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号$\Delta$表示，记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：先将所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，该一元二次方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，该一元二次方程没有实数根。
【答案】
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：先将方程化为一般形式确定$a、b、c$，计算$\Delta = b^2 - 4ac$：①$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，没有实数根。
【知识点】
根的判别式定义；判别式判根方法；一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查的是一元二次方程根的判别式的核心基础内容，是后续利用判别式求解方程参数、判定根的情况等拓展题型的基础，需要熟练记忆相关结论。
【难度系数】
0.9
这两个问题是一元二次方程根的判别式的基础识记类问题。解答问题1时，首先要明确一元二次方程的前提是一般形式中二次项系数$a≠0$，在此基础上记住根的判别式的表达式和符号表示即可。解答问题2时，要按照逻辑顺序梳理步骤：第一步先把待判断的方程整理为一元二次方程的一般形式，才能准确找到$a、b、c$的取值；第二步代入公式计算判别式$\Delta$的值；第三步对照$\Delta$和0的大小关系，对应记忆三种不同的根的情况即可。
【解析】
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），把式子$b^2-4ac$叫做一元二次方程根的判别式，通常用符号$\Delta$表示，记作$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：先将所给方程化为一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$的值，计算判别式$\Delta = b^2 - 4ac$，根据$\Delta$的符号判断根的情况：
1. 当$\Delta ＞ 0$时，该一元二次方程有两个不相等的实数根；
2. 当$\Delta = 0$时，该一元二次方程有两个相等的实数根；
3. 当$\Delta ＜ 0$时，该一元二次方程没有实数根。
【答案】
问题1：对于一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$（$a$、$b$、$c$为常数，且$a≠0$），根的判别式为$\Delta = b^2 - 4ac$。
问题2：先将方程化为一般形式确定$a、b、c$，计算$\Delta = b^2 - 4ac$：①$\Delta＞0$时，有两个不相等的实数根；②$\Delta=0$时，有两个相等的实数根；③$\Delta＜0$时，没有实数根。
【知识点】
根的判别式定义；判别式判根方法；一元二次方程一般式
【点评】
本题属于基础概念类题目，考查的是一元二次方程根的判别式的核心基础内容，是后续利用判别式求解方程参数、判定根的情况等拓展题型的基础，需要熟练记忆相关结论。
【难度系数】
0.9
一元二次方程$2x^2 -5x -1=0$的根的情况是 （
A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
A
）A.有两个不相等的实数根
B.有两个相等的实数根
C.无实数根
D.无法确定
答案
A
解析
【分析】
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步先从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带上每项的符号；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 -5x -1=0$中，$a=2$，$b=-5$，$c=-1$，代入判别式计算得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33$
因为$\Delta=33＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.根的判别式应用
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的用法，解题的易错点是提取各项系数时漏带符号，计算时注意负号的处理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
要判断一元二次方程根的情况，需使用根的判别式$\Delta = b^2-4ac$求解。解题思路如下：第一步先从给定方程中确定二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，注意要带上每项的符号；第二步代入判别式公式计算$\Delta$的值；第三步根据$\Delta$的取值判断根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时方程有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时方程无实数根。
【解析】
对于一元二次方程$ax^2+bx+c=0(a≠0)$，根的判别式为$\Delta = b^2-4ac$。
在方程$2x^2 -5x -1=0$中，$a=2$，$b=-5$，$c=-1$，代入判别式计算得：
$\Delta = (-5)^2 - 4×2×(-1) = 25 + 8 = 33$
因为$\Delta=33＞0$，所以该一元二次方程有两个不相等的实数根。
故选A。
【答案】
A
【知识点】
1.根的判别式应用
2.一元二次方程系数识别
【点评】
本题是基础题型，核心考查一元二次方程根的判别式的用法，解题的易错点是提取各项系数时漏带符号，计算时注意负号的处理即可快速得出结果。
【难度系数】
0.85
