登录
9. 用配方法解下列方程.
(1)$x^2 + 10x - 11 = 0$.
(2)$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$.
(3)$2x^2 - 3x - 4 = 0$.
(1)$x^2 + 10x - 11 = 0$.
(2)$\frac{1}{2}x^2 - x - 1 = 0$.
(3)$2x^2 - 3x - 4 = 0$.
答案
(1)移项,得$x^2+10x=11$.
配方,得$x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得$x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或$x+5=-6$,
即$x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-2=0$.
移项,得$x^2-2x=2$.
配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或$x-1=-\sqrt{3}$,
即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$2x^2-3x=4$.
二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{3}{2}x=2$.
配方,得$x^2-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^2=2+(\dfrac{3}{4})^2$,
即$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$.
由此可得$x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,或$x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
即$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$.
配方,得$x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得$x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或$x+5=-6$,
即$x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-2=0$.
移项,得$x^2-2x=2$.
配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或$x-1=-\sqrt{3}$,
即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$2x^2-3x=4$.
二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{3}{2}x=2$.
配方,得$x^2-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^2=2+(\dfrac{3}{4})^2$,
即$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$.
由此可得$x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,或$x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
即$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$.
解析
【分析】
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方法求解，通用解题步骤为：①若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧，含未知数的项留在等号左侧；③配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的解。
本题中(1)的二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤求解即可；(2)(3)的二次项系数不为1，需要先将二次项系数化为1，再按后续步骤计算。
【解析】
(1)移项,得$x^2+10x=11$.
配方,得$x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得$x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或$x+5=-6$,
即$x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-2=0$.
移项,得$x^2-2x=2$.
配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或$x-1=-\sqrt{3}$,
即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$2x^2-3x=4$.
二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{3}{2}x=2$.
配方,得$x^2-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^2=2+(\dfrac{3}{4})^2$,
即$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$.
由此可得$x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,或$x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
即$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$.
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-11$
(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规基础题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意：二次项系数化1时方程每一项都要除以二次项系数，配方时等号两侧必须同时加上一次项系数一半的平方，防止漏乘、漏加导致计算错误。
【难度系数】
0.8
配方法解一元二次方程的核心是将方程变形为$(x+m)^2=n(n≥0)$的形式，再通过直接开平方法求解，通用解题步骤为：①若二次项系数不为1，先给方程两边同除以二次项系数，将二次项系数化为1；②移项，把常数项移到等号右侧，含未知数的项留在等号左侧；③配方，给等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，将左侧化为完全平方式；④若右侧常数非负，直接开平方求出方程的解。
本题中(1)的二次项系数已经是1，直接按移项、配方、开方的步骤求解即可；(2)(3)的二次项系数不为1，需要先将二次项系数化为1，再按后续步骤计算。
【解析】
(1)移项,得$x^2+10x=11$.
配方,得$x^2+10x+5^2=11+5^2$,
即$(x+5)^2=36$.
由此可得$x+5=\pm6$,
$x+5=6$,或$x+5=-6$,
即$x_1=1,x_2=-11$.
(2)二次项系数化为1,得$x^2-2x-2=0$.
移项,得$x^2-2x=2$.
配方,得$x^2-2x+1^2=2+1^2$,
即$(x-1)^2=3$.
由此可得$x-1=\pm\sqrt{3}$,
$x-1=\sqrt{3}$,或$x-1=-\sqrt{3}$,
即$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$.
(3)移项,得$2x^2-3x=4$.
二次项系数化为1,得$x^2-\dfrac{3}{2}x=2$.
配方,得$x^2-\dfrac{3}{2}x+(\dfrac{3}{4})^2=2+(\dfrac{3}{4})^2$,
即$(x-\dfrac{3}{4})^2=\dfrac{41}{16}$.
由此可得$x-\dfrac{3}{4}=\pm\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
$x-\dfrac{3}{4}=\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,或$x-\dfrac{3}{4}=-\dfrac{\sqrt{41}}{4}$,
即$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$.
【答案】
(1)$x_1=1,x_2=-11$
(2)$x_1=1+\sqrt{3},x_2=1-\sqrt{3}$
(3)$x_1=\dfrac{3+\sqrt{41}}{4},x_2=\dfrac{3-\sqrt{41}}{4}$
【知识点】
配方法解一元二次方程，完全平方公式，直接开平方法解方程
【点评】
本题是配方法解一元二次方程的常规基础题，重点考查配方法的标准操作步骤，解题时需注意：二次项系数化1时方程每一项都要除以二次项系数，配方时等号两侧必须同时加上一次项系数一半的平方，防止漏乘、漏加导致计算错误。
【难度系数】
0.8
10.若$(x^2 + y^2 - 3)^2 = 16$，则$x^2 + y^2$的值为
7
。答案
10.7
解析
【分析】
解题时可先将$x^2+y^2$看作一个整体，先对等式两边开平方得到关于这个整体的一次方程，再结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$）对解得的结果进行取舍，即可得到正确答案。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，原方程可转化为：
$(t - 3)^2 = 16$
两边直接开平方得：
$t - 3 = \pm4$
当$t - 3 = 4$时，解得$t = 7$；
当$t - 3 = -4$时，解得$t = -1$，不符合$t≥0$的要求，舍去。
因此$x^2 + y^2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法、非负数性质、整体代换
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法和非负数的应用，解题的关键是将$x^2+y^2$视为整体简化计算，同时要注意根据代数式的取值范围排除不符合要求的解，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
解题时可先将$x^2+y^2$看作一个整体，先对等式两边开平方得到关于这个整体的一次方程，再结合平方的非负性（$x^2≥0$，$y^2≥0$，因此$x^2+y^2≥0$）对解得的结果进行取舍，即可得到正确答案。
【解析】
设$t = x^2 + y^2$，根据平方的非负性可知$t≥0$，原方程可转化为：
$(t - 3)^2 = 16$
两边直接开平方得：
$t - 3 = \pm4$
当$t - 3 = 4$时，解得$t = 7$；
当$t - 3 = -4$时，解得$t = -1$，不符合$t≥0$的要求，舍去。
因此$x^2 + y^2 = 7$。
【答案】
7
【知识点】
直接开平方法、非负数性质、整体代换
【点评】
本题重点考查一元二次方程的解法和非负数的应用，解题的关键是将$x^2+y^2$视为整体简化计算，同时要注意根据代数式的取值范围排除不符合要求的解，避免漏判导致错误。
【难度系数】
0.7
11.若关于$x$的一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$的两个根分别是$x_1 = m+1$，$x_2 = 2m-4$，则$\sqrt{\dfrac{b}{a}}$的值为________。
答案
11.2
解析
【分析】
首先观察一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}＞0$，根据平方根的性质，该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以利用这个性质列出关于$m$的方程，求出$m$的值后，代入根的表达式得到其中一个正根，而$\sqrt{\frac{b}{a}}$就是方程的正根，由此即可求出结果。
【解析】
解：对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形，得：
$x^2=\frac{b}{a}$
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$
$\therefore$ 该方程的两个根互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$
将$x_1=m+1$，$x_2=2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
$3m - 3 = 0$
解得：$m=1$
$\therefore x_1 = 1+1=2$，$x_2=2×1 - 4=-2$
又$\because \sqrt{\frac{b}{a}}$表示非负平方根，即方程的正根
$\therefore \sqrt{\frac{b}{a}}=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，结合一元二次方程根的特点建立方程求解参数，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
首先观察一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$，可变形为$x^2=\frac{b}{a}$，由$ab＞0$可知$\frac{b}{a}＞0$，根据平方根的性质，该方程的两个根互为相反数，即两根之和为0。我们可以利用这个性质列出关于$m$的方程，求出$m$的值后，代入根的表达式得到其中一个正根，而$\sqrt{\frac{b}{a}}$就是方程的正根，由此即可求出结果。
【解析】
解：对一元二次方程$ax^2 = b(ab＞0)$变形，得：
$x^2=\frac{b}{a}$
$\because ab＞0$，$\therefore \frac{b}{a}＞0$
$\therefore$ 该方程的两个根互为相反数，即$x_1 + x_2 = 0$
将$x_1=m+1$，$x_2=2m-4$代入得：
$(m+1)+(2m-4)=0$
$3m - 3 = 0$
解得：$m=1$
$\therefore x_1 = 1+1=2$，$x_2=2×1 - 4=-2$
又$\because \sqrt{\frac{b}{a}}$表示非负平方根，即方程的正根
$\therefore \sqrt{\frac{b}{a}}=2$
【答案】
2
【知识点】
一元二次方程的根；平方根的性质；相反数的性质
【点评】
本题属于基础题，解题核心是掌握正数的两个平方根互为相反数的性质，结合一元二次方程根的特点建立方程求解参数，计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.7
12.若关于x的一元二次方程$(x-a)^2 -7=0$有两个正实数根，则整数a的最小值是
3
。答案
12.3
解析
【分析】
解题思路：首先运用直接开平方法求解一元二次方程，得到两个根的表达式；再根据“两个根都是正实数”的条件，分析两根的大小关系，只需保证较小的根大于0即可列出关于a的不等式；最后估算$\sqrt{7}$的大小，求出a的取值范围，进而找到符合要求的最小整数a。
【解析】
解：先将原方程变形为：
$(x-a)^2=7$
用直接开平方法求解，得：
$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
显然$x_2 ＜ x_1$，若两个根都是正实数，只需保证较小的根$x_2＞0$即可：
$a-\sqrt{7}＞0$，即$a＞\sqrt{7}$
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，$\sqrt{7}\approx2.646$
大于$\sqrt{7}$的最小整数是3，因此整数a的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.无理数的估算
3.不等式的应用
【点评】
本题属于基础题，将一元二次方程的解法与根的符号要求结合，解题的关键是先求出方程的根，再根据正根的限制列不等式，同时需要掌握常见无理数的估算方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
解题思路：首先运用直接开平方法求解一元二次方程，得到两个根的表达式；再根据“两个根都是正实数”的条件，分析两根的大小关系，只需保证较小的根大于0即可列出关于a的不等式；最后估算$\sqrt{7}$的大小，求出a的取值范围，进而找到符合要求的最小整数a。
【解析】
解：先将原方程变形为：
$(x-a)^2=7$
用直接开平方法求解，得：
$x-a=\pm\sqrt{7}$
因此方程的两个根为：$x_1=a+\sqrt{7}$，$x_2=a-\sqrt{7}$
显然$x_2 ＜ x_1$，若两个根都是正实数，只需保证较小的根$x_2＞0$即可：
$a-\sqrt{7}＞0$，即$a＞\sqrt{7}$
因为$\sqrt{4}＜\sqrt{7}＜\sqrt{9}$，所以$2＜\sqrt{7}＜3$，$\sqrt{7}\approx2.646$
大于$\sqrt{7}$的最小整数是3，因此整数a的最小值为3。
【答案】
3
【知识点】
1.直接开平方法解一元二次方程
2.无理数的估算
3.不等式的应用
【点评】
本题属于基础题，将一元二次方程的解法与根的符号要求结合，解题的关键是先求出方程的根，再根据正根的限制列不等式，同时需要掌握常见无理数的估算方法，即可快速求解。
【难度系数】
0.7
13. 已知△ABC的三边长分别为a,b,c.若$3b^2 + c^2 = 6b + 4c - 7$，且$a^2 = b^2 + c^2 - bc$，则△ABC的面积为
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
.答案
13.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
解析
【分析】
解题分三步思考：第一步，处理含b、c的二次等式，通过移项、配方将其转化为完全平方式之和为0的形式，利用平方数的非负性求出b和c的值；第二步，将求出的b、c代入第二个等式，计算得到a的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；第三步，根据对应三角形的面积公式计算面积。
【解析】
1. 求b、c的值：
对已知等式$3b^2 + c^2 = 6b + 4c - 7$移项得：
$3b^2 - 6b + c^2 - 4c + 7 = 0$
将含b的项提取系数3，分别对b、c的部分配方：
$3(b^2 - 2b + 1 - 1) + (c^2 - 4c + 4 - 4) + 7 = 0$
整理得：
$3(b-1)^2 - 3 + (c-2)^2 - 4 + 7 = 0$
化简后为：
$3(b-1)^2 + (c-2)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$3(b-1)^2 ≥ 0$，$(c-2)^2 ≥ 0$
∴仅当$b-1=0$且$c-2=0$时等式成立，解得$b=1$，$c=2$。
2. 求边长a并判断三角形形状：
将$b=1$、$c=2$代入$a^2 = b^2 + c^2 - bc$，得：
$a^2 = 1^2 + 2^2 - 1 × 2 = 3$
∵a为三角形边长，为正数，
∴$a = \sqrt{3}$。
验证三边长的平方关系：$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 = 2^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且c为斜边，a、b为两条直角边。
3. 计算三角形面积：
直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，因此：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心考查配方法的使用，解题的关键是先通过配方求出b、c的数值，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状后计算面积，熟练掌握配方的技巧是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
解题分三步思考：第一步，处理含b、c的二次等式，通过移项、配方将其转化为完全平方式之和为0的形式，利用平方数的非负性求出b和c的值；第二步，将求出的b、c代入第二个等式，计算得到a的长度，再用勾股定理的逆定理判断三角形的形状；第三步，根据对应三角形的面积公式计算面积。
【解析】
1. 求b、c的值：
对已知等式$3b^2 + c^2 = 6b + 4c - 7$移项得：
$3b^2 - 6b + c^2 - 4c + 7 = 0$
将含b的项提取系数3，分别对b、c的部分配方：
$3(b^2 - 2b + 1 - 1) + (c^2 - 4c + 4 - 4) + 7 = 0$
整理得：
$3(b-1)^2 - 3 + (c-2)^2 - 4 + 7 = 0$
化简后为：
$3(b-1)^2 + (c-2)^2 = 0$
∵平方数具有非负性，即$3(b-1)^2 ≥ 0$，$(c-2)^2 ≥ 0$
∴仅当$b-1=0$且$c-2=0$时等式成立，解得$b=1$，$c=2$。
2. 求边长a并判断三角形形状：
将$b=1$、$c=2$代入$a^2 = b^2 + c^2 - bc$，得：
$a^2 = 1^2 + 2^2 - 1 × 2 = 3$
∵a为三角形边长，为正数，
∴$a = \sqrt{3}$。
验证三边长的平方关系：$a^2 + b^2 = (\sqrt{3})^2 + 1^2 = 4 = 2^2 = c^2$，根据勾股定理的逆定理，可知△ABC是直角三角形，且c为斜边，a、b为两条直角边。
3. 计算三角形面积：
直角三角形面积等于两直角边乘积的一半，因此：
$S_{△ ABC} = \frac{1}{2}ab = \frac{1}{2} × \sqrt{3} × 1 = \frac{\sqrt{3}}{2}$
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，勾股定理逆定理
【点评】
本题是代数与几何的综合题，核心考查配方法的使用，解题的关键是先通过配方求出b、c的数值，再结合勾股定理逆定理判断三角形形状后计算面积，熟练掌握配方的技巧是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.6
14. 在实数范围内定义一种新运算“☆”，规定：$a☆b=a^2 - b^2$。
(1)求$4☆3$的值。
(2)若$(x+2)☆5=0$，求$x$的值。
(1)求$4☆3$的值。
(2)若$(x+2)☆5=0$，求$x$的值。
答案
(1)$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$.
(2)根据题意,得$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$.
移项,得$(x+2)^2=25$.
由此可得$x+2=\pm5$,
$x+2=5$,或$x+2=-5$,
即$x_1=3,x_2=-7$.
(2)根据题意,得$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$.
移项,得$(x+2)^2=25$.
由此可得$x+2=\pm5$,
$x+2=5$,或$x+2=-5$,
即$x_1=3,x_2=-7$.
解析
【分析】
本题属于新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算的规则：
(1) 求解4☆3的值时，直接将a=4、b=3代入规定的$a☆b=a^2 - b^2$公式中，计算实数的乘方、减法即可得到结果；
(2) 求解x的值时，先将$(x+2)$看作公式中的a、5看作公式中的b，代入运算规则得到关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则可得：
$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$
(2) 根据题意，将$(x+2)$、$5$代入新运算公式得：
$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$
移项，得$(x+2)^2=25$
两边同时开平方，可得$x+2=\pm5$
即$x+2=5$，或$x+2=-5$
解得$x_1=3,x_2=-7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查基础运算与一元二次方程的解法，解题关键是严格按照新定义将陌生运算转化为常规代数运算，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
本题属于新定义运算类题目，解题核心是准确理解新运算的规则：
(1) 求解4☆3的值时，直接将a=4、b=3代入规定的$a☆b=a^2 - b^2$公式中，计算实数的乘方、减法即可得到结果；
(2) 求解x的值时，先将$(x+2)$看作公式中的a、5看作公式中的b，代入运算规则得到关于x的一元二次方程，再用直接开平方法求解方程即可。
【解析】
(1) 根据新运算规则可得：
$4☆3=4^2-3^2=16-9=7$
(2) 根据题意，将$(x+2)$、$5$代入新运算公式得：
$(x+2)☆5=(x+2)^2-5^2=0$
移项，得$(x+2)^2=25$
两边同时开平方，可得$x+2=\pm5$
即$x+2=5$，或$x+2=-5$
解得$x_1=3,x_2=-7$
【答案】
(1) $\boxed{7}$；(2) $\boxed{x_1=3,x_2=-7}$
【知识点】
1. 新定义运算
2. 直接开平方法解一元二次方程
【点评】
本题结合新定义考查基础运算与一元二次方程的解法，解题关键是严格按照新定义将陌生运算转化为常规代数运算，解题思路清晰，计算量小。
【难度系数】
0.8
15. 观察例题：
【例1】$x^2 + 2x -4 = (x^2 +2x +1) -5 = (x+1)^2 -5.$
$\because (x+1)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x+1)^2 -5 ≥ -5.$
$\therefore 当x=-1时，x^2 +2x -4有最小值，为-5.$
【例2】$-x^2 +2x -3 = -(x^2 -2x +1) -2 = -(x-1)^2 -2.$
$\because -(x-1)^2 ≤0,$
$\therefore -(x-1)^2 -2 ≤ -2.$
$\therefore 当x=1时，-x^2 +2x -3有最大值，为-2.$
解答下列问题.
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值.
(2)求证:无论x取何值,二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)如图,学校打算用长18 m的篱笆围一个矩形花坛,花坛的一面靠墙(墙足够长),设矩形中垂直于墙的一边长为x m,请用配方法求出当x为何值时,围成的花坛的面积最大,最大面积是多少?
【例1】$x^2 + 2x -4 = (x^2 +2x +1) -5 = (x+1)^2 -5.$
$\because (x+1)^2 ≥ 0,$
$\therefore (x+1)^2 -5 ≥ -5.$
$\therefore 当x=-1时，x^2 +2x -4有最小值，为-5.$
【例2】$-x^2 +2x -3 = -(x^2 -2x +1) -2 = -(x-1)^2 -2.$
$\because -(x-1)^2 ≤0,$
$\therefore -(x-1)^2 -2 ≤ -2.$
$\therefore 当x=1时，-x^2 +2x -3有最大值，为-2.$
解答下列问题.
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值.
(2)求证:无论x取何值,二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)如图,学校打算用长18 m的篱笆围一个矩形花坛,花坛的一面靠墙(墙足够长),设矩形中垂直于墙的一边长为x m,请用配方法求出当x为何值时,围成的花坛的面积最大,最大面积是多少?
答案
(1)【解】$-x^2 +4x -6 = -(x^2 -4x +4) -2 = -(x-2)^2 -2.$
$\because -(x-2)^2≤0,$
$\therefore -(x-2)^2 -2≤-2.$
$\therefore 当x=2时,代数式-x^2+4x-6有最大值,为-2.$
(2)【证明】$x^2 +x +4 = (x^2 +x +\dfrac{1}{4}) + \dfrac{15}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}.$
因为$(x+\dfrac{1}{2})^2≥0$,所以$(x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}≥\dfrac{15}{4}.$
所以无论$x$取何值,$x^2 +x +4$的值都是正数,即二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)【解】根据题意,得$AB=CD=x$,则$BC=18-2x$.
围成的花坛的面积$S=x(18-2x)$.
$x(18-2x)=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\dfrac{9}{2})^2-(\dfrac{9}{2})^2]=-2(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{81}{2}.$
$\because -2(x-\dfrac{9}{2})^2≤0,$
$\therefore -2(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{81}{2}≤\dfrac{81}{2}.$
易知$0＜x＜9$,
$\therefore 当x=\dfrac{9}{2}时,围成的花坛的面积最大,最大面积为\dfrac{81}{2}\ \mathrm{m}^2.$
$\because -(x-2)^2≤0,$
$\therefore -(x-2)^2 -2≤-2.$
$\therefore 当x=2时,代数式-x^2+4x-6有最大值,为-2.$
(2)【证明】$x^2 +x +4 = (x^2 +x +\dfrac{1}{4}) + \dfrac{15}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}.$
因为$(x+\dfrac{1}{2})^2≥0$,所以$(x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}≥\dfrac{15}{4}.$
所以无论$x$取何值,$x^2 +x +4$的值都是正数,即二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义.
(3)【解】根据题意,得$AB=CD=x$,则$BC=18-2x$.
围成的花坛的面积$S=x(18-2x)$.
$x(18-2x)=-2x^2+18x=-2(x^2-9x)=-2[x^2-9x+(\dfrac{9}{2})^2-(\dfrac{9}{2})^2]=-2(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{81}{2}.$
$\because -2(x-\dfrac{9}{2})^2≤0,$
$\therefore -2(x-\dfrac{9}{2})^2+\dfrac{81}{2}≤\dfrac{81}{2}.$
易知$0＜x＜9$,
$\therefore 当x=\dfrac{9}{2}时,围成的花坛的面积最大,最大面积为\dfrac{81}{2}\ \mathrm{m}^2.$
解析
【分析】
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值，可参考例题配方思路：先提取二次项的负号，将二次项和一次项组合凑完全平方式，再结合平方的非负性即可求出最大值。
(2)要证明二次根式恒有意义，只需证明被开方数$x^2 +x +4$恒大于0，对该二次式配方后，结合平方的非负性判断其取值始终为正即可。
(3)先根据题意写出花坛面积的表达式：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为$(18-2x)$m，可得面积$S=x(18-2x)$，对该二次式配方后结合平方的非负性求最大值，注意x的取值要符合实际意义。
【解析】
(1) 对代数式配方：
$-x^2 +4x -6 = -(x^2 -4x +4) -2 = -(x-2)^2 -2$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 -2 ≤ -2$
$\therefore$ 当$x=2$时，代数式$-x^2 +4x -6$有最大值。
(2) 对被开方数配方：
$x^2 +x +4 = (x^2 +x +\dfrac{1}{4}) + \dfrac{15}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}$
$\because (x+\dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$
$\therefore (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4} ≥ \dfrac{15}{4} ＞ 0$
即无论x取何值，$x^2 +x +4$的值都是正数，因此二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义。
(3) 由题意得，垂直于墙的边长$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=(18-2x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜9$。
花坛面积$S = x(18-2x)$，配方得：
$S = -2x^2 +18x = -2(x^2 -9x) = -2[x^2 -9x + (\dfrac{9}{2})^2 - (\dfrac{9}{2})^2] = -2(x-\dfrac{9}{2})^2 + \dfrac{81}{2}$
$\because -2(x-\dfrac{9}{2})^2 ≤ 0$
$\therefore -2(x-\dfrac{9}{2})^2 + \dfrac{81}{2} ≤ \dfrac{81}{2}$
$\therefore$ 当$x=\dfrac{9}{2}$时，面积S取得最大值。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{-2}$；
(2) 无论x取何值，$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义，得证；
(3) 当$x=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}}$时，花坛面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\dfrac{81}{2}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法的应用，平方的非负性，二次根式有意义的条件
【点评】
本题围绕配方法设计了三类不同的应用场景，既考查了代数式最值判断、二次根式意义证明，也结合实际生活考查了最值求解，解题核心是掌握配方的基本步骤，会结合平方的非负性分析式子的取值范围，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
(1)求代数式$-x^2 +4x -6$的最大值，可参考例题配方思路：先提取二次项的负号，将二次项和一次项组合凑完全平方式，再结合平方的非负性即可求出最大值。
(2)要证明二次根式恒有意义，只需证明被开方数$x^2 +x +4$恒大于0，对该二次式配方后，结合平方的非负性判断其取值始终为正即可。
(3)先根据题意写出花坛面积的表达式：垂直于墙的边长为x m，平行于墙的边长为$(18-2x)$m，可得面积$S=x(18-2x)$，对该二次式配方后结合平方的非负性求最大值，注意x的取值要符合实际意义。
【解析】
(1) 对代数式配方：
$-x^2 +4x -6 = -(x^2 -4x +4) -2 = -(x-2)^2 -2$
$\because -(x-2)^2 ≤ 0$
$\therefore -(x-2)^2 -2 ≤ -2$
$\therefore$ 当$x=2$时，代数式$-x^2 +4x -6$有最大值。
(2) 对被开方数配方：
$x^2 +x +4 = (x^2 +x +\dfrac{1}{4}) + \dfrac{15}{4} = (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4}$
$\because (x+\dfrac{1}{2})^2 ≥ 0$
$\therefore (x+\dfrac{1}{2})^2 + \dfrac{15}{4} ≥ \dfrac{15}{4} ＞ 0$
即无论x取何值，$x^2 +x +4$的值都是正数，因此二次根式$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义。
(3) 由题意得，垂直于墙的边长$AB=CD=x\ \mathrm{m}$，则平行于墙的边长$BC=(18-2x)\ \mathrm{m}$，其中$0＜x＜9$。
花坛面积$S = x(18-2x)$，配方得：
$S = -2x^2 +18x = -2(x^2 -9x) = -2[x^2 -9x + (\dfrac{9}{2})^2 - (\dfrac{9}{2})^2] = -2(x-\dfrac{9}{2})^2 + \dfrac{81}{2}$
$\because -2(x-\dfrac{9}{2})^2 ≤ 0$
$\therefore -2(x-\dfrac{9}{2})^2 + \dfrac{81}{2} ≤ \dfrac{81}{2}$
$\therefore$ 当$x=\dfrac{9}{2}$时，面积S取得最大值。
【答案】
(1) 最大值为$\boldsymbol{-2}$；
(2) 无论x取何值，$\sqrt{x^2 +x +4}$都有意义，得证；
(3) 当$x=\boldsymbol{\dfrac{9}{2}\ \mathrm{m}}$时，花坛面积最大，最大面积为$\boldsymbol{\dfrac{81}{2}\ \mathrm{m}^2}$。
【知识点】
配方法的应用，平方的非负性，二次根式有意义的条件
【点评】
本题围绕配方法设计了三类不同的应用场景，既考查了代数式最值判断、二次根式意义证明，也结合实际生活考查了最值求解，解题核心是掌握配方的基本步骤，会结合平方的非负性分析式子的取值范围，注重基础知识的灵活运用。
【难度系数】
0.7
