1. 一元二次方程$x^2 -4x +3=0$中$a,b,c$的值分别为 （）

A.$1,-4,3$
B.$1,4,-3$
C.$-1,-4,3$
D.$1,4,3$

1.A

【分析】
解决本题首先要明确一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），其中$a$是二次项系数，$b$是一次项系数，$c$是常数项，找系数时要注意连同项前面的符号一起判断。接下来将题干给出的方程与一般形式逐一对应，就能确定$a、b、c$的值，再匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程的一般形式为$ax^2+bx+c=0$（$a$为二次项系数且$a≠0$，$b$为一次项系数，$c$为常数项）。
将方程$x^2 -4x +3=0$与一般形式对照：
二次项为$x^2$，对应系数$a=1$；
一次项为$-4x$，对应系数$b=-4$；
常数项为$3$，即$c=3$。
因此$a、b、c$的值分别为$1,-4,3$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
一元二次方程的一般形式；一元二次方程的项与系数
【点评】
本题属于基础题型，核心考查一元二次方程一般形式中各项系数的识别，解题时需注意系数要包含项前面的正负号，避免忽略符号导致出错。
【难度系数】
0.9

2. 若方程 $x^2 + bx + c = 0$ 的根为 $x = \frac{3 \pm \sqrt{9 - 4c}}{2}$，则 $b$ 的值为 （）

A.2
B.3
C.$-3$
D.1

2.C

【分析】
解题时首先回忆一元二次方程的求根公式，先确定题中方程$x^2 + bx + c = 0$的二次项系数$a=1$，将$a=1$代入求根公式得到对应根的表达式，再和题目给出的根的形式做对比，对应位置的系数相等，即可列出关于$b$的等式求解，同时可以结合根号内的判别式部分验证结果的正确性。
【解析】
解：对于一元二次方程的标准形式$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$），求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
本题中方程为$x^2 + bx + c = 0$，因此二次项系数$a=1$，代入求根公式可得：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4×1× c}}{2×1}=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4c}}{2}$
已知题中给出方程的根为$x=\frac{3 \pm \sqrt{9 - 4c}}{2}$，将两个表达式对应对比：
分子的常数项部分满足：$-b=3$，解得$b=-3$；
同时根号内的判别式部分$b^2=9$，代入$b=-3$验证得$(-3)^2=9$，符合对应关系，因此$b=-3$。
【答案】
C
【知识点】
一元二次方程求根公式、代数式对应系数相等
【点评】
本题是对一元二次方程求根公式的基础考查，解题核心是准确记忆求根公式的结构，将已知根的形式和公式对应，特别要注意求根公式中分子的符号，避免因符号混淆出错。
【难度系数】
0.8

3.用公式法解关于x的一元二次方程，得，则该一元二次方程是（）

A.$2x^2 -6x +4=0$
B.$4x^2 -6x +4=0$
C.$4x^2 +6x +1=0$
D.$2x^2 +6x +1=0$

3.C

【分析】
解题的核心是逆向运用一元二次方程的求根公式，首先回忆求根公式的标准形式$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$（$a\ne0$，$b^2-4ac≥0$），将题目给出的求根表达式和标准公式逐部分对应，分别求出二次项系数$a$、一次项系数$b$、常数项$c$，再代入一元二次方程的一般形式$ax^2+bx+c=0$，最后匹配选项即可。
【解析】
一元二次方程$ax^2+bx+c=0$（$a\ne0$）的求根公式为：
$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$
将题目给出的$x=\frac{-6\pm\sqrt{6^2-4×4×1}}{2×4}$与上述公式对比：
1. 由分母$2a=2×4$，得$a=4$；
2. 由分子的一次项部分$-b=-6$，得$b=6$；
3. 由根号内判别式$b^2-4ac=6^2-4×4×1$，结合已得的$a=4$、$b=6$，得$c=1$。
将$a=4$、$b=6$、$c=1$代入一元二次方程一般形式，得方程为$4x^2+6x+1=0$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式
2. 一元二次方程的一般形式
【点评】
本题是对一元二次方程求根公式的逆向应用考查，难度较低，只要熟练掌握求根公式的结构，明确公式各部分对应的系数，就能快速得出答案，是公式法解方程的基础考点。
【难度系数】
0.7

4.若关于x的一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$的根的判别式的值是6，则此方程的根为.

$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$

【分析】
解题时先梳理已知条件：题目给出了一元二次方程的标准形式，且直接告知根的判别式的值为6，要求方程的根。我们可以走公式法解一元二次方程的思路：第一步从给定方程中提取二次项系数a、一次项系数b的取值，第二步直接代入求根公式计算即可，不需要额外求解参数m，因为判别式已经直接给出，可简化计算步骤。
【解析】
解：对于一元二次方程$3x^2 -7x + m +2=0$，
可得二次项系数$a=3$，一次项系数$b=-7$，
由题意知根的判别式$\Delta=6$，
根据一元二次方程的求根公式$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}$，
将对应数值代入公式得：
$x=\frac{-(-7)\pm\sqrt{6}}{2×3}=\frac{7\pm\sqrt{6}}{6}$，
即方程的两个根为$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$。
【答案】
$x_1=\frac{7+\sqrt{6}}{6},x_2=\frac{7-\sqrt{6}}{6}$
【知识点】
1. 一元二次方程求根公式 2. 根的判别式
【点评】
本题属于公式法解一元二次方程的基础题型，解题时不需要计算参数m的取值，直接利用已知的判别式代入求根公式计算即可，核心考查对求根公式的记忆和应用能力。
【难度系数】
0.8

5. 用公式法解下列方程.
(1) $5x^2 + 1 = 2\sqrt{5}x$.
(2) $(x + 2)(2x - 9) = -22$.

5.【解】(1)方程化为 $5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$,此时 $a=5$,
$b=-2\sqrt{5},c=1$,
所以 $\Delta =b^2 -4ac=(-2\sqrt{5})^2 -4×5×1=0$.
方程有两个相等的实数根 $x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{5}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$.
(2) 方程化为 $2x^2 -5x +4=0$,此时 $a=2$,
$b=-5,c=4$,
所以 $\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×2×4=-7＜0$.
方程无实数根.

【分析】
用公式法解一元二次方程需遵循固定步骤：①先将方程整理为$ax^2+bx+c=0$（$a≠0$）的一般形式，准确确定$a、b、c$的取值，注意符号不要出错；②计算判别式$\Delta =b^2-4ac$，根据$\Delta$的正负判断方程根的情况：$\Delta＞0$时方程有两个不相等的实数根，$\Delta=0$时有两个相等的实数根，$\Delta＜0$时无实数根；③若$\Delta≥0$，代入求根公式$x=\frac{-b±\sqrt{\Delta}}{2a}$计算根即可。本题两小问分别先移项、去括号合并同类项得到一般式，再按上述步骤求解即可。
【解析】
(1) 移项将方程化为一般形式：$5x^2 -2\sqrt{5}x +1=0$，
可得$a=5$，$b=-2\sqrt{5}$，$c=1$，
计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-2\sqrt{5})^2 -4×5×1=20-20=0$，
因此方程有两个相等的实数根，代入公式得：
$x_1=x_2=-\frac{b}{2a}=-\frac{-2\sqrt{5}}{2×5}=\frac{\sqrt{5}}{5}$。
(2) 先展开左边括号，再移项合并化为一般形式：
展开得$2x^2 -9x +4x -18 = -22$，
移项合并同类项得$2x^2 -5x +4=0$，
可得$a=2$，$b=-5$，$c=4$，
计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-5)^2 -4×2×4=25-32=-7＜0$，
因此方程无实数根。
【答案】
(1) $x_1=x_2=\frac{\sqrt{5}}{5}$；(2) 方程无实数根
【知识点】
公式法解一元二次方程，根的判别式，一元二次方程化简
【点评】
本题是公式法解一元二次方程的基础训练题，重点考查解题步骤的规范性，解题时需注意先将方程化为标准一般形式，准确识别$a、b、c$的符号，再通过判别式判断根的情况后再计算，避免直接代入公式导致的错误。
【难度系数】
0.7

6.若方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是关于$x$的一元二次方程，则该方程的根是（）

A.$x_1=\frac{-1+\sqrt{5}}{2},x_2=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$
B.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{2},x_2=\frac{\sqrt{5}+1}{2}$
C.$x_1=\frac{1+\sqrt{5}}{4},x_2=\frac{1-\sqrt{5}}{4}$
D.$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4},x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$

6.D

【分析】
要解决本题，首先需根据一元二次方程的定义确定参数m的取值：一元二次方程需满足两个核心条件，一是未知数的最高次数为2，即$\vert m\vert=2$；二是二次项系数不为0，即$m-2≠0$。求出m后代入原方程得到标准一元二次方程，再用公式法求解方程的根，对应选项即可。
【解析】
1. 求参数m的值：
∵方程$(m-2)x^{|m|}-2x+1=0$是关于x的一元二次方程
∴$\begin{cases}\vert m\vert=2 \\ m-2≠0\end{cases}$
由$\vert m\vert=2$得$m=\pm2$，结合$m-2≠0$即$m≠2$，可得$m=-2$。
2. 代入m得到标准方程：
把$m=-2$代入原方程，得$(-2-2)x^2-2x+1=0$，整理为$4x^2+2x-1=0$。
3. 用公式法解方程：
这里$a=4$，$b=2$，$c=-1$，
判别式$\Delta=b^2-4ac=2^2-4×4×(-1)=4+16=20＞0$，
∴$x=\frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a}=\frac{-2\pm\sqrt{20}}{2×4}=\frac{-2\pm2\sqrt{5}}{8}=\frac{-1\pm\sqrt{5}}{4}$，
即$x_1=\frac{\sqrt{5}-1}{4}$，$x_2=\frac{-\sqrt{5}-1}{4}$。
【答案】
D
【知识点】
一元二次方程的定义；公式法解一元二次方程
【点评】
本题的易错点是容易忽略二次项系数不为0的隐含条件，导致错误求出m=2，只要牢记一元二次方程的定义要求，熟练掌握求根公式，即可顺利解题。
【难度系数】
0.7

7.已知关于$x$的方程$2x^2 + kx -10=0$的一个根为$x=\frac{5}{2}$，求$k$的值及它的另一个根.

7.【解】把 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $2x^2 +kx -10=0$,得 $2×\frac{25}{4}+ \frac{5}{2}k -10=0$. 解得 $k=-1$.
故原方程为 $2x^2 -x -10=0$.
$\because a=2,b=-1,c=-10$,
$\therefore \Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×(-10)=81$.
方程有两个不相等的实数根 $x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$,
即 $x_1=\frac{5}{2},x_2=-2$.
故 $k$ 的值为$-1$,方程的另一个根为 $x=-2$.

【分析】
解题思路可分为两步：①根据一元二次方程根的定义，方程的根能使方程左右两边相等，因此将已知根$x=\frac{5}{2}$代入原方程，即可得到关于k的一元一次方程，求解就能得到k的值；②将求出的k代回原方程，得到完整的一元二次方程，再用公式法求解，即可得到方程的另一个根。
【解析】
解：把 $x=\frac{5}{2}$ 代入 $2x^2 +kx -10=0$，得：
$2×(\frac{5}{2})^2 + \frac{5}{2}k -10=0$
化简得：$2×\frac{25}{4}+ \frac{5}{2}k -10=0$，即$\frac{25}{2}+\frac{5}{2}k-10=0$
解得 $k=-1$。
故原方程为 $2x^2 -x -10=0$，其中$a=2,b=-1,c=-10$。
先计算判别式：$\Delta =b^2 -4ac=(-1)^2 -4×2×(-10)=1+80=81＞0$，方程有两个不相等的实数根。
代入求根公式得：$x =\frac{-b\pm\sqrt{b^2 -4ac}}{2a}=\frac{-(-1)\pm\sqrt{81}}{2×2}=\frac{1\pm9}{4}$
计算得：$x_1=\frac{1+9}{4}=\frac{5}{2},x_2=\frac{1-9}{4}=-2$
【答案】
$k$ 的值为$-1$，方程的另一个根为$x=-2$
【知识点】
1. 一元二次方程根的定义
2. 公式法解一元二次方程
【点评】
本题是一元二次方程的基础应用题型，解题核心是利用根的定义先求出未知系数，再用公式法解方程即可，计算时要注意符号问题，避免代入求根公式时出错。
【难度系数】
0.8

8.如图,点A在数轴的负半轴上,点B在数轴的正半轴上.若点A表示的数是$2x-1$,点B表示的数是$x^2+x$,$AB=5$,则x的值为.

8.$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$

【分析】
首先根据数轴上两点的距离规律：右侧点表示的数减去左侧点表示的数等于两点间距，结合AB=5的条件列出方程；再把方程整理为一元二次方程的一般形式，用公式法求解；最后结合点A在负半轴、点B在正半轴的位置要求，对得到的根进行检验，舍去不符合题意的根，即可得到x的正确值。
【解析】
解：
∵点B在点A的右侧，且AB=5
∴点B表示的数 - 点A表示的数 = 5
代入数值得：$x^2 + x - (2x - 1) = 5$
整理方程：
$x^2 + x - 2x + 1 - 5 = 0$
$x^2 - x - 4 = 0$
其中$a=1$，$b=-1$，$c=-4$，
判别式$\Delta = b^2 - 4ac = (-1)^2 - 4×1×(-4) = 17$
由求根公式得：$x = \frac{-b\pm\sqrt{\Delta}}{2a} = \frac{1\pm\sqrt{17}}{2}$
对根进行合理性检验：
1. 当$x = \frac{1+\sqrt{17}}{2}$时，点A表示的数$2x-1=\sqrt{17}＞0$，不符合点A在负半轴的要求，舍去；
2. 当$x = \frac{1-\sqrt{17}}{2}$时，点A表示的数$2x-1=-\sqrt{17}＜0$，点B表示的数$x^2+x = x(x+1)＞0$，符合两点的位置要求，保留。
【答案】
$\frac{1-\sqrt{17}}{2}$
【知识点】
数轴两点距离计算、公式法解一元二次方程、根的合理性检验
【点评】
本题结合数轴几何特征与一元二次方程解法进行考查，易错点是求解后忽略根据点的位置限制对根进行取舍，解题时要注意这类带几何背景的方程题通常需要验根。
【难度系数】
0.6