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6. 分解因式：(1) $4m^2 + 4m + 1 =$
(2) $2m^2 - 8mn + 8n^2 =$
$(2m+1)^2$
；(2) $2m^2 - 8mn + 8n^2 =$
$2(m−2n)^2$
。答案
6. (1) $(2m+1)^2$ (2) $2(m−2n)^2$
解析
【分析】
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合乘法公式的结构特征，匹配对应公式分解；第三步检查分解结果是否彻底，不能再分解为止。
针对第(1)问：先观察多项式无公因式，再判断结构：$4m^2=(2m)^2$，$1=1^2$，中间项$4m=2×2m×1$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，可直接套用公式分解。
针对第(2)问：先观察到各项有公因式2，先提取公因式，再看剩余多项式$m^2-4mn+4n^2$，$m^2$是$m$的平方，$4n^2=(2n)^2$，中间项$-4mn=-2× m×2n$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) $4m^2 + 4m + 1$
$=(2m)^2 + 2·2m·1 + 1^2$
根据完全平方和公式得：原式$=(2m+1)^2$
(2) $2m^2 - 8mn + 8n^2$
第一步提取公因式2：
原式$=2(m^2 - 4mn + 4n^2)$
对括号内的多项式变形：$m^2 - 4mn + 4n^2 = m^2 - 2· m·2n + (2n)^2$
根据完全平方差公式得：$m^2 - 4mn + 4n^2=(m-2n)^2$
因此原式$=2(m-2n)^2$
【答案】
(1) $(2m+1)^2$；(2) $2(m−2n)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，牢记因式分解“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底”的步骤，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.9
分解因式遵循“一提二套三查”的思路：第一步先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；第二步观察提取公因式后的多项式是否符合乘法公式的结构特征，匹配对应公式分解；第三步检查分解结果是否彻底，不能再分解为止。
针对第(1)问：先观察多项式无公因式，再判断结构：$4m^2=(2m)^2$，$1=1^2$，中间项$4m=2×2m×1$，符合完全平方和公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的结构，可直接套用公式分解。
针对第(2)问：先观察到各项有公因式2，先提取公因式，再看剩余多项式$m^2-4mn+4n^2$，$m^2$是$m$的平方，$4n^2=(2n)^2$，中间项$-4mn=-2× m×2n$，符合完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$的结构，套用公式即可完成分解。
【解析】
(1) $4m^2 + 4m + 1$
$=(2m)^2 + 2·2m·1 + 1^2$
根据完全平方和公式得：原式$=(2m+1)^2$
(2) $2m^2 - 8mn + 8n^2$
第一步提取公因式2：
原式$=2(m^2 - 4mn + 4n^2)$
对括号内的多项式变形：$m^2 - 4mn + 4n^2 = m^2 - 2· m·2n + (2n)^2$
根据完全平方差公式得：$m^2 - 4mn + 4n^2=(m-2n)^2$
因此原式$=2(m-2n)^2$
【答案】
(1) $(2m+1)^2$；(2) $2(m−2n)^2$
【知识点】
提公因式法分解因式，完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，牢记因式分解“先提公因式、再套公式、最后检查分解彻底”的步骤，避免出现漏提公因式、分解不彻底的错误。
【难度系数】
0.9
7. 计算：$125^2 - 50 × 125 + 25^2 =$
10000
.答案
7. 10000
解析
【分析】
首先观察算式的结构，式子共有三项，其中两项分别是125和25的平方，符号均为正，中间项是50×125，可变形为2×125×25，刚好是两个平方项底数乘积的2倍，符号为负，完全符合完全平方差公式的展开形式，因此可以逆用完全平方差公式进行因式分解，再计算结果，比直接计算乘方再加减更简便。
【解析】
逆用完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$求解：
原式$= 125^2 - 2×125×25 + 25^2$
将$a=125$，$b=25$代入公式得：
原式$=(125 - 25)^2$
$=100^2$
$=10000$
【答案】
10000
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题属于简便运算类基础题，解题核心是准确识别算式的结构特征，匹配对应的因式分解公式，逆用公式可避免复杂的乘方运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
首先观察算式的结构，式子共有三项，其中两项分别是125和25的平方，符号均为正，中间项是50×125，可变形为2×125×25，刚好是两个平方项底数乘积的2倍，符号为负，完全符合完全平方差公式的展开形式，因此可以逆用完全平方差公式进行因式分解，再计算结果，比直接计算乘方再加减更简便。
【解析】
逆用完全平方差公式$a^2 - 2ab + b^2 = (a - b)^2$求解：
原式$= 125^2 - 2×125×25 + 25^2$
将$a=125$，$b=25$代入公式得：
原式$=(125 - 25)^2$
$=100^2$
$=10000$
【答案】
10000
【知识点】
完全平方差公式；因式分解的应用
【点评】
本题属于简便运算类基础题，解题核心是准确识别算式的结构特征，匹配对应的因式分解公式，逆用公式可避免复杂的乘方运算，降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.8
8. 已知$x^2 + y^2 -4x +6y +13=0$，求$x^2 -6xy +9y^2$的值.
答案
8. 121
解析
【分析】
首先观察已知等式的结构，属于含有两个未知数的二次多项式等于0的形式，这类问题通常用配方法求解：将等式左边拆项后凑成两个完全平方的和，利用平方的非负性，两个非负数相加为0则每个非负数都为0，即可求出x、y的值；再观察待求式的结构，符合完全平方差公式的特征，先因式分解再代入x、y的值计算会更简便。
【解析】
解：第一步，对已知等式进行配方：
将$x^2 + y^2 -4x +6y +13=0$拆项整理得：
$(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) = 0$
即$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$
第二步，根据非负数的性质求解x、y：
∵平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$x-2=0$，$y+3=0$
解得$x=2$，$y=-3$
第三步，对待求式因式分解后代入计算：
$x^2 -6xy +9y^2 = (x-3y)^2$
将$x=2$，$y=-3$代入得：
原式$=[2 - 3×(-3)]^2 = (2+9)^2 = 11^2 = 121$
【答案】
121
【知识点】
配方法的应用、非负数的性质、完全平方公式因式分解
【点评】
本题是代数计算的基础常考题，核心是灵活运用配方法和完全平方公式，通过将已知式配方求出未知数的值，再代入因式分解后的待求式简化计算，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.7
首先观察已知等式的结构，属于含有两个未知数的二次多项式等于0的形式，这类问题通常用配方法求解：将等式左边拆项后凑成两个完全平方的和，利用平方的非负性，两个非负数相加为0则每个非负数都为0，即可求出x、y的值；再观察待求式的结构，符合完全平方差公式的特征，先因式分解再代入x、y的值计算会更简便。
【解析】
解：第一步，对已知等式进行配方：
将$x^2 + y^2 -4x +6y +13=0$拆项整理得：
$(x^2 -4x +4) + (y^2 +6y +9) = 0$
即$(x-2)^2 + (y+3)^2 = 0$
第二步，根据非负数的性质求解x、y：
∵平方数具有非负性，即$(x-2)^2≥0$，$(y+3)^2≥0$
∴要使两个非负数的和为0，需满足：
$x-2=0$，$y+3=0$
解得$x=2$，$y=-3$
第三步，对待求式因式分解后代入计算：
$x^2 -6xy +9y^2 = (x-3y)^2$
将$x=2$，$y=-3$代入得：
原式$=[2 - 3×(-3)]^2 = (2+9)^2 = 11^2 = 121$
【答案】
121
【知识点】
配方法的应用、非负数的性质、完全平方公式因式分解
【点评】
本题是代数计算的基础常考题，核心是灵活运用配方法和完全平方公式，通过将已知式配方求出未知数的值，再代入因式分解后的待求式简化计算，能有效提升运算效率。
【难度系数】
0.7
9. 请阅读以下材料，并解决问题：
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例：已知 $ m^2 + 4m + n^2 - 6n + 13 = 0 $，求 $ m $，$ n $ 的值.
解：由已知得 $ (m^2 + 4m + 4) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $，即 $ (m + 2)^2 + (n - 3)^2 = 0 $，
所以 $ m + 2 = 0 $，$ n - 3 = 0 $，所以 $ m = -2 $，$ n = 3 $.
已知$ △ ABC $的三边长$ a $，$ b $，$ c $满足$ a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29 $.
(1) 若$ c $为整数，求$ c $的值；
(2) 若$ △ ABC $是等腰三角形，请直接写出这个三角形的周长.
配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将一个式子或一个式子的某一部分通过恒等变形化为完全平方式或几个完全平方式的和的方法. 这种方法常被用到代数恒等变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题.
例：已知 $ m^2 + 4m + n^2 - 6n + 13 = 0 $，求 $ m $，$ n $ 的值.
解：由已知得 $ (m^2 + 4m + 4) + (n^2 - 6n + 9) = 0 $，即 $ (m + 2)^2 + (n - 3)^2 = 0 $，
所以 $ m + 2 = 0 $，$ n - 3 = 0 $，所以 $ m = -2 $，$ n = 3 $.
已知$ △ ABC $的三边长$ a $，$ b $，$ c $满足$ a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29 $.
(1) 若$ c $为整数，求$ c $的值；
(2) 若$ △ ABC $是等腰三角形，请直接写出这个三角形的周长.
答案
(1) $\because a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29$，$\therefore a^2 + b^2 - 4a - 10b + 29 = 0$，$\therefore a^2 - 4a + 4 + b^2 - 10b + 25 = 0$，$\therefore (a-2)^2 + (b-5)^2 = 0$，$\therefore a-2=0$，$b-5=0$，解得$a=2$，$b=5$，根据三角形三边关系得$3＜c＜7$，又$\because c$为整数，$\therefore c$的值为4，5，6 (2) 当$△ ABC$是等腰三角形时，$a=2$，$b=c=5$，此时该三角形的周长为$2+5+5=12$
解析
【分析】
首先观察已知关于a、b的等式结构，参考例题的思路，优先使用配方法将等式变形为两个完全平方式相加为0的形式，再利用平方的非负性（两个非负数相加和为0，则每个非负数均为0）求出a、b的长度。第一问结合三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，再结合c为整数的条件求出c的可能取值；第二问针对等腰三角形的情况分类讨论腰长，每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
(1) 对已知等式移项整理：
$\because a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29$
$\therefore a^2 - 4a + b^2 - 10b + 29 = 0$
对含a、含b的项分别配方：
$\therefore (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 10b + 25) = 0$
化简为完全平方形式：
$\therefore (a-2)^2 + (b-5)^2 = 0$
由平方的非负性可得：
$a-2=0$，$b-5=0$
解得$a=2$，$b=5$
根据三角形三边关系，第三边c满足：$b-a ＜ c ＜ a+b$，即$5-2 ＜ c ＜ 5+2$
$\therefore 3 ＜ c ＜ 7$
又$\because c$为整数，$\therefore c$的值为4，5，6。
(2) 若$△ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 腰长为2时，三边长为2，2，5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 腰长为5时，三边长为2，5，5，满足三边关系，周长为$2+5+5=12$。
【答案】
(1) $c$的值为4，5，6；(2) 三角形的周长为12
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，结合非负性和三角形的相关性质求解，解题关键是正确配方得到a、b的长度，解决等腰三角形相关问题时要注意分类讨论后验证三边是否符合三角形存在的条件，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
首先观察已知关于a、b的等式结构，参考例题的思路，优先使用配方法将等式变形为两个完全平方式相加为0的形式，再利用平方的非负性（两个非负数相加和为0，则每个非负数均为0）求出a、b的长度。第一问结合三角形三边关系：两边之差小于第三边、两边之和大于第三边，再结合c为整数的条件求出c的可能取值；第二问针对等腰三角形的情况分类讨论腰长，每种情况都要验证是否满足三角形三边关系，排除不符合的情况后计算周长即可。
【解析】
(1) 对已知等式移项整理：
$\because a^2 + b^2 = 4a + 10b - 29$
$\therefore a^2 - 4a + b^2 - 10b + 29 = 0$
对含a、含b的项分别配方：
$\therefore (a^2 - 4a + 4) + (b^2 - 10b + 25) = 0$
化简为完全平方形式：
$\therefore (a-2)^2 + (b-5)^2 = 0$
由平方的非负性可得：
$a-2=0$，$b-5=0$
解得$a=2$，$b=5$
根据三角形三边关系，第三边c满足：$b-a ＜ c ＜ a+b$，即$5-2 ＜ c ＜ 5+2$
$\therefore 3 ＜ c ＜ 7$
又$\because c$为整数，$\therefore c$的值为4，5，6。
(2) 若$△ ABC$为等腰三角形，分两种情况讨论：
① 腰长为2时，三边长为2，2，5，此时$2+2=4＜5$，不满足三角形三边关系，舍去；
② 腰长为5时，三边长为2，5，5，满足三边关系，周长为$2+5+5=12$。
【答案】
(1) $c$的值为4，5，6；(2) 三角形的周长为12
【知识点】
配方法的应用，非负数的性质，三角形三边关系
【点评】
本题核心考查配方法的实际应用，结合非负性和三角形的相关性质求解，解题关键是正确配方得到a、b的长度，解决等腰三角形相关问题时要注意分类讨论后验证三边是否符合三角形存在的条件，避免漏验导致错解。
【难度系数】
0.7
10. 如果$a+b=3$，$ab=1$，那么$a^3b + 2a^2b^2 + ab^3$的值为（
A.0
B.1
C.4
D.9
D
）。A.0
B.1
C.4
D.9
答案
10. D
解析
【分析】
解题时先观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构特征，可进一步分解为含$(a+b)$的形式，最后将已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
已知$a+b=3$，$ab=1$，将其代入上式得：
原式$=1×3^2=9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先分解因式再整体代入已知条件的方法，可大幅降低计算量，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求代数式的结构，发现各项都含有公因式ab，因此第一步先提取公因式，提取后剩余的多项式符合完全平方公式的结构特征，可进一步分解为含$(a+b)$的形式，最后将已知的$a+b$和$ab$的值整体代入计算即可，无需单独求解a、b的具体值，简化计算过程。
【解析】
解：先对所求代数式因式分解：
$\begin{aligned}a^3b + 2a^2b^2 + ab^3&=ab(a^2 + 2ab + b^2)\\&=ab(a+b)^2\end{aligned}$
已知$a+b=3$，$ab=1$，将其代入上式得：
原式$=1×3^2=9$
因此答案选D。
【答案】
D
【知识点】
因式分解，完全平方公式，整体代入求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，通过先分解因式再整体代入已知条件的方法，可大幅降低计算量，是整式运算中常用的解题技巧。
【难度系数】
0.8
11. 分解因式：$2x^2 + 4x + 2 =$
$2(x+1)^2$
.答案
11. $2(x+1)^2$
解析
【分析】
分解因式可按照“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数2、4、2的最大公因数是2，无其他公共字母因式，因此先提取公因式2；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$x^2+2x+1$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a$对应$x$，$b$对应1，可套用公式继续分解；第三步检查最终结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：$2x^2 + 4x + 2$
$=2(x^2+2x+1)$（提取公因式2）
$=2(x+1)^2$（套用完全平方公式分解）
【答案】
$2(x+1)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意先提取公因式再套用公式，最终要保证所有因式都不能再分解，避免出现漏分解的错误。
【难度系数】
0.8
分解因式可按照“一提二套三查”的思路解题：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，本题各项系数2、4、2的最大公因数是2，无其他公共字母因式，因此先提取公因式2；第二步看提取公因式后剩余的多项式是否符合乘法公式结构，剩余的$x^2+2x+1$符合完全平方公式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$的形式，其中$a$对应$x$，$b$对应1，可套用公式继续分解；第三步检查最终结果是否分解到不能再分解即可。
【解析】
解：$2x^2 + 4x + 2$
$=2(x^2+2x+1)$（提取公因式2）
$=2(x+1)^2$（套用完全平方公式分解）
【答案】
$2(x+1)^2$
【知识点】
提取公因式法，完全平方公式，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，考查因式分解的基本操作流程，解题时需注意先提取公因式再套用公式，最终要保证所有因式都不能再分解，避免出现漏分解的错误。
【难度系数】
0.8
12. 若多项式$4x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，则$m$的值是
$\pm12$
.答案
12. $\pm12$
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$。解题时先将已知多项式的首项和尾项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据完全平方公式中间项有“加2ab”和“减2ab”两种情况，对应建立关于$m$的等式求解即可，注意不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知多项式$4x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，说明它是完全平方式，先将首尾两项写成平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因此该完全平方式的中间项应为$\pm2×2x×3y=\pm12xy$
将其与多项式的中间项$-mxy$对应，可得系数关系：
$-m=\pm12$
解得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方式的结构应用，解题时需注意完全平方包含和的平方、差的平方两种形式，对应中间项有两种符号可能，避免只考虑一种情况漏解。
【难度系数】
0.7
首先回忆完全平方公式的结构特征：完全平方式形如$a^2\pm2ab+b^2$，可分解为$(a\pm b)^2$。解题时先将已知多项式的首项和尾项转化为平方形式，确定对应的$a$和$b$，再根据完全平方公式中间项有“加2ab”和“减2ab”两种情况，对应建立关于$m$的等式求解即可，注意不要漏解。
【解析】
完全平方公式为：$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$
已知多项式$4x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式因式分解，说明它是完全平方式，先将首尾两项写成平方形式：
$4x^2=(2x)^2$，$9y^2=(3y)^2$
因此该完全平方式的中间项应为$\pm2×2x×3y=\pm12xy$
将其与多项式的中间项$-mxy$对应，可得系数关系：
$-m=\pm12$
解得：$m=\pm12$
【答案】
$\pm12$
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查完全平方式的结构应用，解题时需注意完全平方包含和的平方、差的平方两种形式，对应中间项有两种符号可能，避免只考虑一种情况漏解。
【难度系数】
0.7
