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1. 两个数的平方和加上（或减去）这两个数的积的2倍，等于
这两个数
的和（或差）的平方。答案
1. 这两个数
解析
【分析】
解题时首先回忆完全平方公式的结构，完全平方公式的逆用就是因式分解中的平方公式。我们可以先设这两个数为a、b，将题目中的文字描述转化为代数表达式：两个数的平方和是a²+b²，加上（或减去）这两个数积的2倍就是a²+b²±2ab，再对应完全平方公式的逆用形式，就能得出它等于哪两个数的和（或差）的平方。
【解析】
设两个数分别为a、b，根据题意列式分析：
1. 若为两个数的平方和加这两个数积的2倍：$a^2 + b^2 + 2ab$，根据完全平方和公式，$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，即等于a、b这两个数的和的平方；
2. 若为两个数的平方和减这两个数积的2倍：$a^2 + b^2 - 2ab$，根据完全平方差公式，$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，即等于a、b这两个数的差的平方。
所以空内应该填这两个数。
【答案】
这两个数
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，属于基础概念题，熟练掌握完全平方公式的正用和逆用是解决此类题目的关键，要明确公式中各项之间的对应关系。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆完全平方公式的结构，完全平方公式的逆用就是因式分解中的平方公式。我们可以先设这两个数为a、b，将题目中的文字描述转化为代数表达式：两个数的平方和是a²+b²，加上（或减去）这两个数积的2倍就是a²+b²±2ab，再对应完全平方公式的逆用形式，就能得出它等于哪两个数的和（或差）的平方。
【解析】
设两个数分别为a、b，根据题意列式分析：
1. 若为两个数的平方和加这两个数积的2倍：$a^2 + b^2 + 2ab$，根据完全平方和公式，$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$，即等于a、b这两个数的和的平方；
2. 若为两个数的平方和减这两个数积的2倍：$a^2 + b^2 - 2ab$，根据完全平方差公式，$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$，即等于a、b这两个数的差的平方。
所以空内应该填这两个数。
【答案】
这两个数
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查完全平方公式的结构特征，属于基础概念题，熟练掌握完全平方公式的正用和逆用是解决此类题目的关键，要明确公式中各项之间的对应关系。
【难度系数】
0.9
2. $a^2 + 2ab + b^2 =$
$a^2 - 2ab + b^2 =$
$(a+b)^2$
.$a^2 - 2ab + b^2 =$
$(a−b)^2$
.答案
2. $(a+b)^2$ $(a−b)^2$
解析
【分析】
这道题考查完全平方公式的逆用，解题时先观察式子的结构特征：两个式子都是三项式，包含两个同号的平方项，以及等于两平方项底数乘积2倍的中间项，符合完全平方式的结构，直接逆用完全平方公式进行因式分解即可。先识别第一个式子的平方项分别是$a^2$和$b^2$，中间项是$+2ab$，对应两数和的完全平方；第二个式子中间项是$-2ab$，对应两数差的完全平方。
【解析】
根据完全平方公式的逆用求解：
1. 对于$a^2 + 2ab + b^2$，其中$a^2$是$a$的平方，$b^2$是$b$的平方，中间项$2ab=2× a× b$，符合两数和的完全平方展开式结构，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$。
2. 对于$a^2 - 2ab + b^2$，其中$a^2$是$a$的平方，$b^2$是$b$的平方，中间项$-2ab=-2× a× b$，符合两数差的完全平方展开式结构，因此$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方式结构特征的识别以及完全平方公式的逆用，熟练掌握公式结构是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查完全平方公式的逆用，解题时先观察式子的结构特征：两个式子都是三项式，包含两个同号的平方项，以及等于两平方项底数乘积2倍的中间项，符合完全平方式的结构，直接逆用完全平方公式进行因式分解即可。先识别第一个式子的平方项分别是$a^2$和$b^2$，中间项是$+2ab$，对应两数和的完全平方；第二个式子中间项是$-2ab$，对应两数差的完全平方。
【解析】
根据完全平方公式的逆用求解：
1. 对于$a^2 + 2ab + b^2$，其中$a^2$是$a$的平方，$b^2$是$b$的平方，中间项$2ab=2× a× b$，符合两数和的完全平方展开式结构，因此$a^2 + 2ab + b^2=(a+b)^2$。
2. 对于$a^2 - 2ab + b^2$，其中$a^2$是$a$的平方，$b^2$是$b$的平方，中间项$-2ab=-2× a× b$，符合两数差的完全平方展开式结构，因此$a^2 - 2ab + b^2=(a-b)^2$。
【答案】
$(a+b)^2$；$(a-b)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查对完全平方式结构特征的识别以及完全平方公式的逆用，熟练掌握公式结构是解题的关键，属于基础得分题。
【难度系数】
0.9
1. 下列二次三项式是完全平方式的是（
A.$x^2 + 7x + 7$
B.$y^2 - 4y - 4$
C.$m^2 - \sqrt{2}m + 2$
D.$n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{16}$
D
）.A.$x^2 + 7x + 7$
B.$y^2 - 4y - 4$
C.$m^2 - \sqrt{2}m + 2$
D.$n^2 + \frac{1}{2}n + \frac{1}{16}$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断二次三项式是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：对于二次项系数为1的完全平方式，满足“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央”，即形式为$x^2\pm2px+p^2$，换算为等量关系就是：常数项等于一次项系数一半的平方。解题时我们只需逐个验证每个选项是否符合这个规律即可。
【解析】
二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$是完全平方式的判定条件为：$q=(\frac{p}{2})^2$，据此逐一分析选项：
A. 一次项系数为7，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}≠7$，不符合完全平方式特征，不是完全平方式；
B. 一次项系数为$-4$，$(\frac{-4}{2})^2=4≠-4$，且完全平方式的常数项是平方项，必为非负数，不符合，不是完全平方式；
C. 一次项系数为$-\sqrt{2}$，$(\frac{-\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}≠2$，不符合特征，不是完全平方式；
D. 一次项系数为$\frac{1}{2}$，$(\frac{\frac{1}{2}}{2})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，和常数项相等，符合特征，可变形为$(n+\frac{1}{4})^2$，是完全平方式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的判定、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方式结构特征的掌握情况，只要熟记公式的结构特点，就能快速准确判断结果。
【难度系数】
0.8
要判断二次三项式是不是完全平方式，首先要牢记完全平方式的结构特征：对于二次项系数为1的完全平方式，满足“首平方，尾平方，首尾乘积的2倍在中央”，即形式为$x^2\pm2px+p^2$，换算为等量关系就是：常数项等于一次项系数一半的平方。解题时我们只需逐个验证每个选项是否符合这个规律即可。
【解析】
二次项系数为1的二次三项式$x^2+px+q$是完全平方式的判定条件为：$q=(\frac{p}{2})^2$，据此逐一分析选项：
A. 一次项系数为7，$(\frac{7}{2})^2=\frac{49}{4}≠7$，不符合完全平方式特征，不是完全平方式；
B. 一次项系数为$-4$，$(\frac{-4}{2})^2=4≠-4$，且完全平方式的常数项是平方项，必为非负数，不符合，不是完全平方式；
C. 一次项系数为$-\sqrt{2}$，$(\frac{-\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}≠2$，不符合特征，不是完全平方式；
D. 一次项系数为$\frac{1}{2}$，$(\frac{\frac{1}{2}}{2})^2=(\frac{1}{4})^2=\frac{1}{16}$，和常数项相等，符合特征，可变形为$(n+\frac{1}{4})^2$，是完全平方式。
【答案】
D
【知识点】
完全平方式的判定、完全平方公式
【点评】
本题属于基础题型，重点考查对完全平方式结构特征的掌握情况，只要熟记公式的结构特点，就能快速准确判断结果。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式中，能用完全平方公式分解因式的是（
A.$x^2 -1$
B.$x^2 -2x +1$
C.$x^2 +x +1$
D.$x^2 +2x -1$
B
）.A.$x^2 -1$
B.$x^2 -2x +1$
C.$x^2 +x +1$
D.$x^2 +2x -1$
答案
2. B
解析
【分析】
要判断哪个式子能用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式逆用（因式分解形式）的结构特征：①多项式是三项式；②有两项是两个数（或式子）的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号可正可负。我们按照这个特征逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
完全平方公式用于因式分解的形式为：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2}$，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2-1$是二项式，不符合完全平方公式需要三项的结构特征，属于平方差形式，不能用完全平方公式分解因式，排除；
选项B：$x^2-2x+1$可变形为$x^2 - 2· x· 1 + 1^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构（其中$a=x$，$b=1$），可以分解为$(x-1)^2$，符合要求；
选项C：$x^2+x+1$的中间项为$x$，不是$2· x·1=2x$，不满足“中间项是两数乘积的2倍”的要求，不能用完全平方公式分解因式，排除；
选项D：$x^2+2x-1$的常数项为$-1$，与$x^2$符号相反，不满足“两个平方项符号相同”的要求，不能用完全平方公式分解因式，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟记完全平方公式三项的项数、符号、中间项的特点，注意要和平方差公式的适用条件做好区分。
【难度系数】
0.8
要判断哪个式子能用完全平方公式分解因式，首先要明确完全平方公式逆用（因式分解形式）的结构特征：①多项式是三项式；②有两项是两个数（或式子）的平方，且这两项符号相同；③第三项是这两个数（或式子）乘积的2倍，符号可正可负。我们按照这个特征逐一排查选项即可得到答案。
【解析】
完全平方公式用于因式分解的形式为：$\boldsymbol{a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2}$，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2-1$是二项式，不符合完全平方公式需要三项的结构特征，属于平方差形式，不能用完全平方公式分解因式，排除；
选项B：$x^2-2x+1$可变形为$x^2 - 2· x· 1 + 1^2$，完全符合$a^2-2ab+b^2$的结构（其中$a=x$，$b=1$），可以分解为$(x-1)^2$，符合要求；
选项C：$x^2+x+1$的中间项为$x$，不是$2· x·1=2x$，不满足“中间项是两数乘积的2倍”的要求，不能用完全平方公式分解因式，排除；
选项D：$x^2+2x-1$的常数项为$-1$，与$x^2$符号相反，不满足“两个平方项符号相同”的要求，不能用完全平方公式分解因式，排除。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题核心考查完全平方公式的结构特征，解题的关键是熟记完全平方公式三项的项数、符号、中间项的特点，注意要和平方差公式的适用条件做好区分。
【难度系数】
0.8
3. 已知$x^2 + x + k$是完全平方式，则k的值是（
A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\pm\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
A
）。A.$\frac{1}{4}$
B.$-\frac{1}{4}$
C.$\pm\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{8}$
答案
3. A
解析
【分析】
解题时首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个平方项和一个两倍乘积项。本题中给出的式子$x^2+x+k$是二次三项式，首项是$x^2$，可对应完全平方式里的$a^2$（即$a=x$），接下来将中间项$x$对应到两倍乘积项$2ab$，求出$b$的值后，常数项$k$就是$b^2$，即可算出$k$的取值。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$x^2+x+k$与公式结构对应：
1. 首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$x=2ab$，把$a=x$代入得：$x=2· x· b$，两边同时除以不为0的$x$，解得$b=\frac{1}{2}$；
3. 常数项$k=b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
因此k的值为$\frac{1}{4}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是对完全平方式相关知识的基础考查，解题核心是准确对应完全平方公式中各项的结构，尤其要注意中间项是两个底数乘积的2倍，避免因漏算2倍关系出错。
【难度系数】
0.8
解题时首先要回忆完全平方式的结构特征：完全平方式的形式为$a^2\pm2ab+b^2$，包含两个平方项和一个两倍乘积项。本题中给出的式子$x^2+x+k$是二次三项式，首项是$x^2$，可对应完全平方式里的$a^2$（即$a=x$），接下来将中间项$x$对应到两倍乘积项$2ab$，求出$b$的值后，常数项$k$就是$b^2$，即可算出$k$的取值。
【解析】
根据完全平方公式$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2$，将$x^2+x+k$与公式结构对应：
1. 首项$x^2=a^2$，可得$a=x$；
2. 中间项$x=2ab$，把$a=x$代入得：$x=2· x· b$，两边同时除以不为0的$x$，解得$b=\frac{1}{2}$；
3. 常数项$k=b^2=(\frac{1}{2})^2=\frac{1}{4}$。
因此k的值为$\frac{1}{4}$，答案选A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式；完全平方式的特征
【点评】
本题是对完全平方式相关知识的基础考查，解题核心是准确对应完全平方公式中各项的结构，尤其要注意中间项是两个底数乘积的2倍，避免因漏算2倍关系出错。
【难度系数】
0.8
4. 若$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，则$a$，$b$的值分别为（
A.9，1
B.-9，1
C.-9，-1
D.9，-1
A
）。A.9，1
B.-9，1
C.-9，-1
D.9，-1
答案
4. A
解析
【分析】
本题可通过将等式右侧的完全平方式展开，利用多项式相等时对应同类项的系数、常数项分别相等的性质求解未知参数。解题时先回忆完全平方差公式的展开形式，再逐项对比左右两边多项式的同类项，列等式计算即可得到a、b的值。
【解析】
首先根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，展开等式右侧的式子：
$(bx-3)^2=(bx)^2 - 2· bx·3 + 3^2 = b^2x^2 -6bx +9$
已知$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，则左右两边多项式的同类项对应相等：
1. 二次项系数对比：$b^2=1$
2. 一次项系数对比：$-6b=-6$，解得$b=1$
3. 常数项对比：$a=9$
因此$a=9$，$b=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，多项式对应系数相等
【点评】
本题是基础的参数求解类题型，核心考查完全平方公式的应用，只要熟练掌握完全平方公式的展开规则，通过对应系数相等即可快速求解，是因式分解相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
本题可通过将等式右侧的完全平方式展开，利用多项式相等时对应同类项的系数、常数项分别相等的性质求解未知参数。解题时先回忆完全平方差公式的展开形式，再逐项对比左右两边多项式的同类项，列等式计算即可得到a、b的值。
【解析】
首先根据完全平方差公式$(m-n)^2=m^2-2mn+n^2$，展开等式右侧的式子：
$(bx-3)^2=(bx)^2 - 2· bx·3 + 3^2 = b^2x^2 -6bx +9$
已知$x^2 -6x +a=(bx -3)^2$，则左右两边多项式的同类项对应相等：
1. 二次项系数对比：$b^2=1$
2. 一次项系数对比：$-6b=-6$，解得$b=1$
3. 常数项对比：$a=9$
因此$a=9$，$b=1$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
完全平方公式，多项式对应系数相等
【点评】
本题是基础的参数求解类题型，核心考查完全平方公式的应用，只要熟练掌握完全平方公式的展开规则，通过对应系数相等即可快速求解，是因式分解相关知识点的常规考查题型。
【难度系数】
0.9
5. 下列因式分解正确的是（
A.$a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b)$
B.$-a^2 + 25 = (5 + a)(5 - a)$
C.$a^2 - 2a + 4 = (a - 2)^2$
D.$a^2 - 6ab - 9b^2 = (a - 3b)^2$
B
）.A.$a^2 - 4b^2 = (a + 4b)(a - 4b)$
B.$-a^2 + 25 = (5 + a)(5 - a)$
C.$a^2 - 2a + 4 = (a - 2)^2$
D.$a^2 - 6ab - 9b^2 = (a - 3b)^2$
答案
5. B
解析
【分析】
这道题考查用公式法进行因式分解，解题时先回忆平方差公式、完全平方公式的结构特征，再逐一验证每个选项的分解是否符合公式要求即可。平方差公式结构为：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，即$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$；完全平方公式结构为：两个数的平方和加（或减）这两个数积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方，即$x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2$。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，根据平方差公式，应分解为$(a+2b)(a-2b)$，因此A错误；
2. 选项B：$-a^2+25=5^2-a^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(5+a)(5-a)$，因此B正确；
3. 选项C：根据完全平方公式，$(a-2)^2=a^2-4a+4$，和原式$a^2-2a+4$不相等，因此C错误；
4. 选项D：根据完全平方公式，$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，和原式$a^2-6ab-9b^2$不相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心是熟练掌握因式分解常用公式的结构特征，做题时注意区分平方差和完全平方公式的形式，尤其要注意系数和符号的对应，避免公式套用错误。
【难度系数】
0.8
这道题考查用公式法进行因式分解，解题时先回忆平方差公式、完全平方公式的结构特征，再逐一验证每个选项的分解是否符合公式要求即可。平方差公式结构为：两个数的平方差等于这两个数的和乘这两个数的差，即$x^2-y^2=(x+y)(x-y)$；完全平方公式结构为：两个数的平方和加（或减）这两个数积的2倍，等于这两个数和（或差）的平方，即$x^2\pm2xy+y^2=(x\pm y)^2$。
【解析】
我们逐个分析选项：
1. 选项A：$a^2-4b^2=a^2-(2b)^2$，根据平方差公式，应分解为$(a+2b)(a-2b)$，因此A错误；
2. 选项B：$-a^2+25=5^2-a^2$，符合平方差公式结构，可分解为$(5+a)(5-a)$，因此B正确；
3. 选项C：根据完全平方公式，$(a-2)^2=a^2-4a+4$，和原式$a^2-2a+4$不相等，因此C错误；
4. 选项D：根据完全平方公式，$(a-3b)^2=a^2-6ab+9b^2$，和原式$a^2-6ab-9b^2$不相等，因此D错误。
【答案】
B
【知识点】
平方差公式因式分解；完全平方公式因式分解
【点评】
本题属于基础题，核心是熟练掌握因式分解常用公式的结构特征，做题时注意区分平方差和完全平方公式的形式，尤其要注意系数和符号的对应，避免公式套用错误。
【难度系数】
0.8
