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7. 分解因式：
(1) $m^2 - 16n^2$.
(2) $a^2b - 16b$.
(3) $(x+2y)^2 - (y+2x)^2$.
(1) $m^2 - 16n^2$.
(2) $a^2b - 16b$.
(3) $(x+2y)^2 - (y+2x)^2$.
答案
(1) $(m+4n)(m−4n)$ (2) $b(a+4)(a−4)$ (3) $3(y+x)(y−x)$
解析
【分析】
这三道因式分解题遵循“一提二套三查”的解题原则：①先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；②再判断剩余部分是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构（两项、异号、均为平方形式），符合则套用公式分解；③最后检查结果是否分解彻底。第(1)题直接符合平方差公式结构，可直接套用；第(2)题含公因式$b$，需先提公因式再套公式；第(3)题可将两个括号的内容看作整体代入平方差公式，再合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 原式可变形为$m^2-(4n)^2$，符合平方差公式结构，其中$a=m$，$b=4n$，代入公式得：
$m^2 - 16n^2=(m+4n)(m-4n)$
(2) 第一步先提取公因式$b$，得：$a^2b - 16b=b(a^2-16)$
剩余部分$a^2-16$可变形为$a^2-4^2$，套用平方差公式得$a^2-16=(a+4)(a-4)$，因此：
$a^2b - 16b=b(a+4)(a-4)$
(3) 将$(x+2y)$和$(y+2x)$看作整体，套用平方差公式得：
$(x+2y)^2 - (y+2x)^2=[(x+2y)+(y+2x)][(x+2y)-(y+2x)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x+2y+y+2x=3x+3y=3(x+y)$
第二个括号：$x+2y-y-2x=y-x$
因此原式$=3(x+y)(y-x)=3(y+x)(y-x)$
【答案】
(1) $(m+4n)(m−4n)$
(2) $b(a+4)(a−4)$
(3) $3(y+x)(y−x)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查平方差公式的应用，解题时注意先提取公因式再套用公式，遇到整体结构时可将整体看作单个字母简化运算，最后要检查分解结果是否彻底，避免出现分解不到位的错误。
【难度系数】
0.85
这三道因式分解题遵循“一提二套三查”的解题原则：①先观察多项式是否有公因式，若有先提取公因式；②再判断剩余部分是否符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构（两项、异号、均为平方形式），符合则套用公式分解；③最后检查结果是否分解彻底。第(1)题直接符合平方差公式结构，可直接套用；第(2)题含公因式$b$，需先提公因式再套公式；第(3)题可将两个括号的内容看作整体代入平方差公式，再合并同类项化简即可。
【解析】
(1) 原式可变形为$m^2-(4n)^2$，符合平方差公式结构，其中$a=m$，$b=4n$，代入公式得：
$m^2 - 16n^2=(m+4n)(m-4n)$
(2) 第一步先提取公因式$b$，得：$a^2b - 16b=b(a^2-16)$
剩余部分$a^2-16$可变形为$a^2-4^2$，套用平方差公式得$a^2-16=(a+4)(a-4)$，因此：
$a^2b - 16b=b(a+4)(a-4)$
(3) 将$(x+2y)$和$(y+2x)$看作整体，套用平方差公式得：
$(x+2y)^2 - (y+2x)^2=[(x+2y)+(y+2x)][(x+2y)-(y+2x)]$
分别化简两个括号内的整式：
第一个括号：$x+2y+y+2x=3x+3y=3(x+y)$
第二个括号：$x+2y-y-2x=y-x$
因此原式$=3(x+y)(y-x)=3(y+x)(y-x)$
【答案】
(1) $(m+4n)(m−4n)$
(2) $b(a+4)(a−4)$
(3) $3(y+x)(y−x)$
【知识点】
提公因式法，平方差公式法，因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础常规题，核心考查平方差公式的应用，解题时注意先提取公因式再套用公式，遇到整体结构时可将整体看作单个字母简化运算，最后要检查分解结果是否彻底，避免出现分解不到位的错误。
【难度系数】
0.85
8. 求证：无论 $ n $ 取何整数时，$(n+5)^2 - (n-1)^2$ 的值一定是 12 的倍数。
答案
原式$= [(n+5)+(n−1)][(n+5)−(n−1)] =6(2n+4)=12(n+2)$，则结果一定为 12 的倍数
解析
【分析】
要证明原式的值是12的倍数，需先对原式化简。观察原式为两个整式的平方差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此第一步先用平方差公式对原式因式分解，再合并同类项整理化简，最后判断化简结果是否含因数12，结合n为整数的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+5)^2 - (n-1)^2&=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]\\&=(2n+4)×6\\&=12(n+2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以n+2也是整数，因此$12(n+2)$是12的整数倍，即无论n取何整数，原式的值一定是12的倍数。
【答案】
原式$= [(n+5)+(n−1)][(n+5)−(n−1)] =6(2n+4)=12(n+2)$，因n为整数，故结果一定为12的倍数。
【知识点】
平方差公式因式分解；整式加减运算；倍数判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是准确识别平方差结构，正确运用公式化简式子，再结合整数性质判断整除关系，熟练掌握因式分解的公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
要证明原式的值是12的倍数，需先对原式化简。观察原式为两个整式的平方差，符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，因此第一步先用平方差公式对原式因式分解，再合并同类项整理化简，最后判断化简结果是否含因数12，结合n为整数的条件即可完成证明。
【解析】
证明：
利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}(n+5)^2 - (n-1)^2&=[(n+5)+(n-1)][(n+5)-(n-1)]\\&=(2n+4)×6\\&=12(n+2)\end{aligned}$
因为n是整数，所以n+2也是整数，因此$12(n+2)$是12的整数倍，即无论n取何整数，原式的值一定是12的倍数。
【答案】
原式$= [(n+5)+(n−1)][(n+5)−(n−1)] =6(2n+4)=12(n+2)$，因n为整数，故结果一定为12的倍数。
【知识点】
平方差公式因式分解；整式加减运算；倍数判定
【点评】
本题是因式分解的基础应用题型，解题核心是准确识别平方差结构，正确运用公式化简式子，再结合整数性质判断整除关系，熟练掌握因式分解的公式是解决这类问题的基础。
【难度系数】
0.8
9. 有一种因式分解法产生的密码，其原理如下：将一个多项式分解因式，如多项式$x^4 - y^4$因式分解的结果是$(x - y)(x + y)(x^2 + y^2)$。若取$x=9$，$y=9$，则各个因式的值是$x - y = 0$，$x + y = 18$，$x^2 + y^2 = 162$，把这三个数按从小到大排列为“018162”就可以作为一个六位数的密码。对于多项式$9x^3 - xy^2$，若取$x=12$，$y=6$，则用上述方法产生的密码是多少？
答案
$9x^3−xy^2=x(9x^2−y^2)=x(3x+y)(3x−y)$，取$x=12$，$y=6$，各因式的值为$x=12$，$3x+y=42$，$3x−y=30$，这三个数按从小到大的顺序排列为“123042”
解析
【分析】
要得到题目要求的密码，需按照以下思路逐步求解：第一步先对多项式$9x^3 - xy^2$进行因式分解，按照因式分解的常规步骤，先提取公因式，再观察剩余部分是否可以套用公式分解，直到不能再分解为止；第二步将$x=12$，$y=6$代入分解得到的各个因式中，计算出每个因式的数值；第三步将得到的三个数值按从小到大的顺序排列，依次拼接即可得到最终的密码。
【解析】
1. 对多项式因式分解：
首先提取公因式$x$，可得：
$9x^3 - xy^2 = x(9x^2 - y^2)$
观察括号内的$9x^2 - y^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，其中$a=3x$，$b=y$，因此继续分解：
$x(9x^2 - y^2) = x(3x + y)(3x - y)$
2. 代入数值计算各因式的值：
当$x=12$，$y=6$时：
$x=12$
$3x + y = 3×12 + 6 = 42$
$3x - y = 3×12 - 6 = 30$
3. 排序拼接：
将三个因式的值从小到大排列为12、30、42，依次拼接得到密码。
【答案】
123042
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的创新应用类题目，核心考查因式分解的规范步骤，需要注意因式分解要彻底，代入计算和排序时要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
要得到题目要求的密码，需按照以下思路逐步求解：第一步先对多项式$9x^3 - xy^2$进行因式分解，按照因式分解的常规步骤，先提取公因式，再观察剩余部分是否可以套用公式分解，直到不能再分解为止；第二步将$x=12$，$y=6$代入分解得到的各个因式中，计算出每个因式的数值；第三步将得到的三个数值按从小到大的顺序排列，依次拼接即可得到最终的密码。
【解析】
1. 对多项式因式分解：
首先提取公因式$x$，可得：
$9x^3 - xy^2 = x(9x^2 - y^2)$
观察括号内的$9x^2 - y^2$符合平方差公式$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$的形式，其中$a=3x$，$b=y$，因此继续分解：
$x(9x^2 - y^2) = x(3x + y)(3x - y)$
2. 代入数值计算各因式的值：
当$x=12$，$y=6$时：
$x=12$
$3x + y = 3×12 + 6 = 42$
$3x - y = 3×12 - 6 = 30$
3. 排序拼接：
将三个因式的值从小到大排列为12、30、42，依次拼接得到密码。
【答案】
123042
【知识点】
提公因式法分解因式，平方差公式分解因式，代数式求值
【点评】
本题是因式分解的创新应用类题目，核心考查因式分解的规范步骤，需要注意因式分解要彻底，代入计算和排序时要仔细，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
10. 分解因式：$a^2 -1 = ( )$.
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
A.$(a+1)(a-1)$
B.$a(a+1)$
C.$(a+1)^2$
D.$(a-1)^2$
答案
A
解析
【分析】
首先观察待分解的多项式结构：式子$a^2-1$是两项，且两项均为平方的形式，符号相反，符合平方差公式的结构特征。解题时先回忆平方差公式的形式，再将原式对应公式中的项代入计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
因式分解中的平方差公式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。
将原式$a^2 -1$变形为$a^2 - 1^2$，对应公式可得：$x=a$，$y=1$，代入公式得：
$a^2 -1 = (a+1)(a-1)$，对应选项A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平方差公式在因式分解中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的多项式结构：式子$a^2-1$是两项，且两项均为平方的形式，符号相反，符合平方差公式的结构特征。解题时先回忆平方差公式的形式，再将原式对应公式中的项代入计算，最后匹配选项即可得到答案。
【解析】
因式分解中的平方差公式为：$x^2 - y^2 = (x+y)(x-y)$。
将原式$a^2 -1$变形为$a^2 - 1^2$，对应公式可得：$x=a$，$y=1$，代入公式得：
$a^2 -1 = (a+1)(a-1)$，对应选项A符合结果。
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，因式分解
【点评】
本题是基础类题型，主要考查平方差公式在因式分解中的应用，熟练掌握平方差公式的结构特征是解题的关键。
【难度系数】
0.9
11. 分解因式：$3x^2 - 3y^2 =$
$3(x+y)(x−y)$
.答案
11. $3(x+y)(x−y)$
解析
【分析】
解决本题要遵循因式分解的常规思考步骤：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步再判断提取公因式后余下的式子是否符合乘法公式的特征，若符合则用对应公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。本题中多项式两项都含有公因数3，先提取公因式3，余下的$x^2-y^2$符合平方差公式的结构特征，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式3
$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2)$
第二步：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-y^2$
$3(x^2 - y^2) = 3(x+y)(x-y)$
【答案】
$3(x+y)(x−y)$
【知识点】
提取公因式、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题，考查因式分解的基本操作顺序，解题时要注意避免漏提公因式、或者分解不彻底的问题，保证最终结果的每个因式都无法再分解。
【难度系数】
0.9
解决本题要遵循因式分解的常规思考步骤：第一步先观察多项式各项是否存在公因式，若有先提取公因式；第二步再判断提取公因式后余下的式子是否符合乘法公式的特征，若符合则用对应公式继续分解，直到所有因式都不能再分解为止。本题中多项式两项都含有公因数3，先提取公因式3，余下的$x^2-y^2$符合平方差公式的结构特征，再用平方差公式继续分解即可。
【解析】
第一步：提取公因式3
$3x^2 - 3y^2 = 3(x^2 - y^2)$
第二步：利用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$分解$x^2-y^2$
$3(x^2 - y^2) = 3(x+y)(x-y)$
【答案】
$3(x+y)(x−y)$
【知识点】
提取公因式、平方差公式因式分解
【点评】
本题属于因式分解的基础题，考查因式分解的基本操作顺序，解题时要注意避免漏提公因式、或者分解不彻底的问题，保证最终结果的每个因式都无法再分解。
【难度系数】
0.9
12. 若$(x+4)^2 -1=(x+m)(x+n)$，其中$m＞n$，则$m-n$的值为（
A.1
B.2
C.3
D.4
B
）.A.1
B.2
C.3
D.4
答案
12. B
解析
【分析】
解题时先观察等式左边的式子结构，发现其符合平方差公式$a^2 - b^2$的特征，因此第一步先用平方差公式对左边进行因式分解，再将分解后的结果与等式右边的$(x+m)(x+n)$对照，即可得到$m$、$n$的可能取值，结合已知条件$m＞n$确定$m$、$n$的具体值，最后计算$m-n$即可得到答案。
【解析】
首先对等式左边的式子因式分解：
$(x+4)^2 - 1 = (x+4)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，这里$a=x+4$，$b=1$，代入得：
$(x+4 + 1)(x+4 - 1) = (x+5)(x+3)$
已知$(x+4)^2 -1=(x+m)(x+n)$，因此可得$(x+5)(x+3)=(x+m)(x+n)$
结合$m＞n$的条件，可得$m=5$，$n=3$
所以$m-n=5-3=2$
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确分解因式后对应得到参数值即可求解。
【难度系数】
0.8
解题时先观察等式左边的式子结构，发现其符合平方差公式$a^2 - b^2$的特征，因此第一步先用平方差公式对左边进行因式分解，再将分解后的结果与等式右边的$(x+m)(x+n)$对照，即可得到$m$、$n$的可能取值，结合已知条件$m＞n$确定$m$、$n$的具体值，最后计算$m-n$即可得到答案。
【解析】
首先对等式左边的式子因式分解：
$(x+4)^2 - 1 = (x+4)^2 - 1^2$
根据平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，这里$a=x+4$，$b=1$，代入得：
$(x+4 + 1)(x+4 - 1) = (x+5)(x+3)$
已知$(x+4)^2 -1=(x+m)(x+n)$，因此可得$(x+5)(x+3)=(x+m)(x+n)$
结合$m＞n$的条件，可得$m=5$，$n=3$
所以$m-n=5-3=2$
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 代数式求值
【点评】
本题属于基础题，核心考查平方差公式的应用，解题关键是准确识别平方差公式的结构特征，正确分解因式后对应得到参数值即可求解。
【难度系数】
0.8
