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1. 两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2 - b^2 =$
(a+b)(a−b)
。答案
1. (a+b)(a−b)
解析
【分析】
这道题考查平方差公式的基本内容，解题时先回忆平方差公式的定义，题目已经明确给出“两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积”，只需要把文字描述转化为对应的代数表达式，直接匹配公式结构填写即可。
【解析】
根据平方差公式的定义，两个数的平方差等于两数之和与两数之差的乘积，因此可得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a−b)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方差公式的记忆与识别，是运用公式法进行因式分解的基础，需要熟练掌握公式的结构特征，为后续分解更复杂的因式打好基础。
【难度系数】
0.9
这道题考查平方差公式的基本内容，解题时先回忆平方差公式的定义，题目已经明确给出“两个数的平方差等于这两个数的和与这两个数的差的积”，只需要把文字描述转化为对应的代数表达式，直接匹配公式结构填写即可。
【解析】
根据平方差公式的定义，两个数的平方差等于两数之和与两数之差的乘积，因此可得$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$。
【答案】
$(a+b)(a−b)$
【知识点】
平方差公式，公式法因式分解
【点评】
本题属于基础概念题，主要考查对平方差公式的记忆与识别，是运用公式法进行因式分解的基础，需要熟练掌握公式的结构特征，为后续分解更复杂的因式打好基础。
【难度系数】
0.9
2. 能用平方差公式分解因式的多项式
特点：一是一个二项式；二是每项都可以化成整式的平方；三是两个平方项异号.
注：因式分解要彻底，需进行到每一个因式不能分解为止，必要时应先提取
特点：一是一个二项式；二是每项都可以化成整式的平方；三是两个平方项异号.
注：因式分解要彻底，需进行到每一个因式不能分解为止，必要时应先提取
公因式
.答案
2. 公因式
解析
【分析】
解决本题需要回忆因式分解的规范步骤，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，最后检查分解是否彻底”的原则。如果多项式各项存在公共的因式，必须先提取公因式，再对剩余部分用平方差等公式继续分解，才能保证分解完全，因此这里要提取的就是公因式。
【解析】
因式分解的标准流程为“一提、二套、三查”：第一步优先提取多项式各项的公因式，第二步再根据剩余多项式的特征套用平方差公式、完全平方公式等继续分解，第三步检查所有因式是否都不能再分解，确保分解彻底。结合题目要求，必要时应先提取公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
1. 因式分解步骤
2. 提公因式法
3. 公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础操作规范，牢记因式分解的先后顺序，优先提取公因式再使用公式是解题的关键，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
解决本题需要回忆因式分解的规范步骤，因式分解要遵循“先提公因式，再用公式，最后检查分解是否彻底”的原则。如果多项式各项存在公共的因式，必须先提取公因式，再对剩余部分用平方差等公式继续分解，才能保证分解完全，因此这里要提取的就是公因式。
【解析】
因式分解的标准流程为“一提、二套、三查”：第一步优先提取多项式各项的公因式，第二步再根据剩余多项式的特征套用平方差公式、完全平方公式等继续分解，第三步检查所有因式是否都不能再分解，确保分解彻底。结合题目要求，必要时应先提取公因式。
【答案】
公因式
【知识点】
1. 因式分解步骤
2. 提公因式法
3. 公式法因式分解
【点评】
本题考查因式分解的基础操作规范，牢记因式分解的先后顺序，优先提取公因式再使用公式是解题的关键，属于对基础概念的考查。
【难度系数】
0.9
1. 下列各式中能用平方差公式进行因式分解的是（
A.$x^2 + 1$
B.$-x^2 - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$x^2 - 2x + 1$
C
）.A.$x^2 + 1$
B.$-x^2 - 1$
C.$x^2 - 1$
D.$x^2 - 2x + 1$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确平方差公式用于因式分解的结构特征：平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足三个条件：①仅含两项；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项的符号相反。接下来我们只需逐一核对每个选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确平方差公式因式分解的适用条件：二项式、两项均为平方形式、两项异号，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2+1$是二项式，两项都是平方形式，但两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，无法用平方差公式因式分解；
选项B：$-x^2-1=-(x^2+1)$，括号内两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，无法用平方差公式因式分解；
选项C：$x^2-1$是二项式，$x^2$是$x$的平方，$1$是$1$的平方，两项一正一负，完全符合平方差公式特征，可分解为$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
选项D：$x^2-2x+1$是三项式，属于完全平方公式的结构，不符合平方差公式的二项式要求，无法用平方差公式因式分解。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 完全平方公式
3. 因式分解公式选择
【点评】
本题属于基础考查题，核心是检验对平方差公式因式分解适用条件的掌握程度，解题关键是准确区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，牢记对应公式的多项式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确平方差公式用于因式分解的结构特征：平方差公式的形式为$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，对应的多项式需要满足三个条件：①仅含两项；②两项都可以写成某个整式的平方形式；③两项的符号相反。接下来我们只需逐一核对每个选项是否符合上述特征，即可选出正确答案。
【解析】
首先明确平方差公式因式分解的适用条件：二项式、两项均为平方形式、两项异号，我们逐个分析选项：
选项A：$x^2+1$是二项式，两项都是平方形式，但两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，无法用平方差公式因式分解；
选项B：$-x^2-1=-(x^2+1)$，括号内两项均为正号，符号相同，不符合平方差公式特征，无法用平方差公式因式分解；
选项C：$x^2-1$是二项式，$x^2$是$x$的平方，$1$是$1$的平方，两项一正一负，完全符合平方差公式特征，可分解为$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
选项D：$x^2-2x+1$是三项式，属于完全平方公式的结构，不符合平方差公式的二项式要求，无法用平方差公式因式分解。
【答案】
C
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 完全平方公式
3. 因式分解公式选择
【点评】
本题属于基础考查题，核心是检验对平方差公式因式分解适用条件的掌握程度，解题关键是准确区分平方差公式和完全平方公式的结构差异，牢记对应公式的多项式特征即可快速作答。
【难度系数】
0.9
2. 将$a^2 -9$分解因式正确的是（
A.$(a+9)(a-9)$
B.$(a-3)^2$
C.$(a+1)(a-9)$
D.$(a+3)(a-3)$
D
）.A.$(a+9)(a-9)$
B.$(a-3)^2$
C.$(a+1)(a-9)$
D.$(a+3)(a-3)$
答案
2. D
解析
【分析】
首先观察待分解的式子$a^2 - 9$，它由两项组成且两项符号相反，同时两项都可写成平方的形式：$a^2$是$a$的平方，9是3的平方，完全符合平方差公式的结构特征。接下来回忆平方差公式分解因式的规则：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，再逐一验证选项排除错误结果即可。
【解析】
第一步，将原式改写为平方差的标准形式：
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2$
第二步，套用平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，此处$x=a$、$y=3$，代入得：
$a^2 - 3^2=(a+3)(a-3)$
验证其余选项：
A选项展开为$a^2 - 81$，与原式不符，错误；
B选项展开为$a^2 - 6a + 9$，与原式不符，错误；
C选项展开为$a^2 - 8a - 9$，与原式不符，错误。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式
因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题时要先判断式子是否满足“两项、异号、均为平方形式”的平方差特征，同时注意区分平方差公式和完全平方公式，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
首先观察待分解的式子$a^2 - 9$，它由两项组成且两项符号相反，同时两项都可写成平方的形式：$a^2$是$a$的平方，9是3的平方，完全符合平方差公式的结构特征。接下来回忆平方差公式分解因式的规则：两个数的平方差等于这两个数的和与差的乘积，再逐一验证选项排除错误结果即可。
【解析】
第一步，将原式改写为平方差的标准形式：
$a^2 - 9 = a^2 - 3^2$
第二步，套用平方差公式$x^2 - y^2=(x+y)(x-y)$，此处$x=a$、$y=3$，代入得：
$a^2 - 3^2=(a+3)(a-3)$
验证其余选项：
A选项展开为$a^2 - 81$，与原式不符，错误；
B选项展开为$a^2 - 6a + 9$，与原式不符，错误；
C选项展开为$a^2 - 8a - 9$，与原式不符，错误。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式
因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，主要考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题时要先判断式子是否满足“两项、异号、均为平方形式”的平方差特征，同时注意区分平方差公式和完全平方公式，避免概念混淆。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式$(x-1)^2 -9$的结果是（
A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
D
）.A.$(x-10)(x+8)$
B.$(x+8)(x+1)$
C.$(x-2)(x+4)$
D.$(x+2)(x-4)$
答案
3. D
解析
【分析】
观察待分解的式子，可知$(x-1)^2$是一个整式的平方，9是$3^2$，整体符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题时先确定公式里对应的$a=x-1$，$b=3$，代入公式后再化简括号内的整式，最后匹配选项即可。
【解析】
我们可以利用平方差公式分解因式：
首先将原式变形为平方差的形式：
$(x-1)^2 - 9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$=(x-1+3)(x-1-3)$
化简括号内的式子：
$=(x+2)(x-4)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式化简
【点评】
本题考查公式法分解因式的应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准对应项，分解后注意合并同类项得到最简结果，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
观察待分解的式子，可知$(x-1)^2$是一个整式的平方，9是$3^2$，整体符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的结构特征，解题时先确定公式里对应的$a=x-1$，$b=3$，代入公式后再化简括号内的整式，最后匹配选项即可。
【解析】
我们可以利用平方差公式分解因式：
首先将原式变形为平方差的形式：
$(x-1)^2 - 9 = (x-1)^2 - 3^2$
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，令$a=x-1$，$b=3$，代入得：
$=(x-1+3)(x-1-3)$
化简括号内的式子：
$=(x+2)(x-4)$
对应选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1. 平方差公式因式分解
2. 整式化简
【点评】
本题考查公式法分解因式的应用，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，找准对应项，分解后注意合并同类项得到最简结果，是因式分解的基础题型。
【难度系数】
0.8
4. 已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，则多项式$x^2 -4y^2$的值是（
A.10
B.16
C.39
D.78
C
）.A.10
B.16
C.39
D.78
答案
4. C
解析
【分析】
解题时先观察待求多项式的结构，发现$x^2-4y^2$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式对其因式分解，分解后恰好得到$(x+2y)(x-2y)$，题目已经直接给出了这两个因式的取值，直接整体代入计算即可，不需要单独求解$x$和$y$的数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对多项式$x^2-4y^2$因式分解：
$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$
已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，将两个式子的值代入上式计算：
原式$=13×3=39$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，利用平方差公式分解因式后整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
解题时先观察待求多项式的结构，发现$x^2-4y^2$符合平方差公式的形式，我们可以先利用平方差公式对其因式分解，分解后恰好得到$(x+2y)(x-2y)$，题目已经直接给出了这两个因式的取值，直接整体代入计算即可，不需要单独求解$x$和$y$的数值，能大幅简化计算过程。
【解析】
根据平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，对多项式$x^2-4y^2$因式分解：
$x^2-4y^2=x^2-(2y)^2=(x+2y)(x-2y)$
已知$x+2y=13$，$x-2y=3$，将两个式子的值代入上式计算：
原式$=13×3=39$
因此本题选C。
【答案】
C
【知识点】
平方差公式，因式分解，代数式求值
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，利用平方差公式分解因式后整体代入计算，避免了求解未知数的繁琐步骤，熟练掌握平方差公式的结构特点是解题的核心。
【难度系数】
0.8
5. 如图17.2-1，将边长为$x$的大正方形剪去一个边长为1的小正方形（阴影部分），并将剩余部分沿虚线剪开，得到两个长方形，再将这两个长方形拼成一个大的长方形，这两个图形能解释的一个等式是（
A.$x^2 - x = x(x - 1)$
B.$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
C.$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
D.$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
B
）。A.$x^2 - x = x(x - 1)$
B.$x^2 - 1 = (x + 1)(x - 1)$
C.$x^2 - 2x + 1 = (x - 1)^2$
D.$x^2 + 2x + 1 = (x + 1)^2$
答案
5. B
解析
【分析】
本题可利用面积相等的思路推导对应的代数等式，解题分两步思考：第一步先计算原图形剪去小正方形后剩余部分的面积；第二步计算拼接后得到的大长方形的面积，两个面积表示的是同一部分的大小，因此二者相等，即可得到对应的等式，再匹配选项即可。
【解析】
1. 计算原剩余部分的面积：
边长为$x$的大正方形面积为$x^2$，剪去的边长为1的小正方形面积为$1^2=1$，因此剩余部分面积$S_1 = x^2 - 1$。
2. 计算拼接后大长方形的面积：
观察拼接后的长方形，可得它的长为$x+1$，宽为$x-1$，根据长方形面积公式，面积$S_2 = 长×宽 = (x+1)(x-1)$。
3. 建立等式：
因为$S_1$和$S_2$是同一部分的面积，所以$S_1=S_2$，即$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的几何意义
2. 面积法验证恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系直观推导代数恒等式，帮助理解平方差公式的实际内涵，解题的核心是准确计算两种图形形态下剩余部分的面积，抓住面积相等的等量关系。
【难度系数】
0.8
本题可利用面积相等的思路推导对应的代数等式，解题分两步思考：第一步先计算原图形剪去小正方形后剩余部分的面积；第二步计算拼接后得到的大长方形的面积，两个面积表示的是同一部分的大小，因此二者相等，即可得到对应的等式，再匹配选项即可。
【解析】
1. 计算原剩余部分的面积：
边长为$x$的大正方形面积为$x^2$，剪去的边长为1的小正方形面积为$1^2=1$，因此剩余部分面积$S_1 = x^2 - 1$。
2. 计算拼接后大长方形的面积：
观察拼接后的长方形，可得它的长为$x+1$，宽为$x-1$，根据长方形面积公式，面积$S_2 = 长×宽 = (x+1)(x-1)$。
3. 建立等式：
因为$S_1$和$S_2$是同一部分的面积，所以$S_1=S_2$，即$x^2 - 1 = (x+1)(x-1)$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 平方差公式的几何意义
2. 面积法验证恒等式
【点评】
本题是数形结合思想的典型应用，通过几何图形的面积关系直观推导代数恒等式，帮助理解平方差公式的实际内涵，解题的核心是准确计算两种图形形态下剩余部分的面积，抓住面积相等的等量关系。
【难度系数】
0.8
6. 一个三角形的三边长$a$，$b$，$c$满足$(a^2 - c^2) + b^2(a^2 - c^2) = 0$，则这个三角形的形状是
等腰三角形
。答案
6. 等腰三角形
解析
【分析】
要判断三角形的形状，需通过给定的三边等式推导三边的数量关系。首先观察等式左侧的结构，两项均含有公因式$(a^2 - c^2)$，先提取公因式对等式变形，再结合三角形边长恒为正的隐含条件，即可得到边的相等关系，进而判定三角形形状。
【解析】
对等式$(a^2 - c^2) + b^2(a^2 - c^2) = 0$因式分解：
1. 提取公因式$(a^2 - c^2)$，可得：
$(a^2 - c^2)(1 + b^2) = 0$
2. 因为$b$是三角形的边长，所以$b＞0$，因此$b^2＞0$，可推出$1 + b^2 ＞ 0$，即$1 + b^2$不可能为0。
3. 因此只有$a^2 - c^2 = 0$，即$a^2 = c^2$，又因为$a$、$c$均为三角形的正边长，所以$a = c$。
有两边相等的三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查因式分解在几何判定中的应用，解题核心是准确提取公因式分解等式，同时注意利用三角形边长为正的隐含条件排除无效因子，避免多余判断。
【难度系数】
0.7
要判断三角形的形状，需通过给定的三边等式推导三边的数量关系。首先观察等式左侧的结构，两项均含有公因式$(a^2 - c^2)$，先提取公因式对等式变形，再结合三角形边长恒为正的隐含条件，即可得到边的相等关系，进而判定三角形形状。
【解析】
对等式$(a^2 - c^2) + b^2(a^2 - c^2) = 0$因式分解：
1. 提取公因式$(a^2 - c^2)$，可得：
$(a^2 - c^2)(1 + b^2) = 0$
2. 因为$b$是三角形的边长，所以$b＞0$，因此$b^2＞0$，可推出$1 + b^2 ＞ 0$，即$1 + b^2$不可能为0。
3. 因此只有$a^2 - c^2 = 0$，即$a^2 = c^2$，又因为$a$、$c$均为三角形的正边长，所以$a = c$。
有两边相等的三角形是等腰三角形。
【答案】
等腰三角形
【知识点】
因式分解的应用，等腰三角形的判定
【点评】
本题考查因式分解在几何判定中的应用，解题核心是准确提取公因式分解等式，同时注意利用三角形边长为正的隐含条件排除无效因子，避免多余判断。
【难度系数】
0.7
