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6.若$ab=2$，$a-b=-1$，则代数式$a^2b - ab^2$的值等于
-2
答案
6. -2
解析
【分析】
观察所求代数式$a^2b - ab^2$，两项均含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对代数式因式分解，分解后可发现式子由$ab$和$a-b$两部分组成，题目刚好给出这两个式子的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的数值，简化计算过程。
【解析】
解：先对代数式$a^2b - ab^2$分解因式：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将已知$ab=2$，$a-b=-1$代入上式：
原式$=2×(-1)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值、代数式求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解因式再整体代入已知条件的方式，可避免求解单个未知数的繁琐，能锻炼学生观察式子结构、灵活运用简便方法计算的能力。
【难度系数】
0.8
观察所求代数式$a^2b - ab^2$，两项均含有公因式$ab$，因此可以先利用提公因式法对代数式因式分解，分解后可发现式子由$ab$和$a-b$两部分组成，题目刚好给出这两个式子的取值，直接整体代入计算即可，无需单独求解$a$、$b$的数值，简化计算过程。
【解析】
解：先对代数式$a^2b - ab^2$分解因式：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将已知$ab=2$，$a-b=-1$代入上式：
原式$=2×(-1)=-2$
【答案】
$-2$
【知识点】
提公因式法分解因式、整体代入求值、代数式求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过先分解因式再整体代入已知条件的方式，可避免求解单个未知数的繁琐，能锻炼学生观察式子结构、灵活运用简便方法计算的能力。
【难度系数】
0.8
7.若$m-n=1$，则$(m-n)^2 - 2m + 2n$的值是
-1
。答案
7. -1
解析
【分析】
首先观察已知条件给出了$m-n=1$，所求代数式中已经包含$(m-n)^2$项，剩余的$-2m+2n$可以通过提取公因式$-2$，变形为$-2(m-n)$，这样整个代数式就都转化为含$m-n$的形式，再将$m-n=1$整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的数值，简化计算过程。
【解析】
对所求代数式先变形化简：
$\begin{aligned}(m-n)^2 - 2m + 2n&=(m-n)^2 - 2(m - n)\\\end{aligned}$
将$m-n=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^2 - 2×1\\&=1 - 2\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过因式分解将所求式子转化为与已知条件相关的形式，利用整体代入思想快速求解，掌握提公因式的方法和整体代入的思维是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
首先观察已知条件给出了$m-n=1$，所求代数式中已经包含$(m-n)^2$项，剩余的$-2m+2n$可以通过提取公因式$-2$，变形为$-2(m-n)$，这样整个代数式就都转化为含$m-n$的形式，再将$m-n=1$整体代入计算即可，无需单独求解$m$、$n$的数值，简化计算过程。
【解析】
对所求代数式先变形化简：
$\begin{aligned}(m-n)^2 - 2m + 2n&=(m-n)^2 - 2(m - n)\\\end{aligned}$
将$m-n=1$代入上式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=1^2 - 2×1\\&=1 - 2\\&=-1\end{aligned}$
【答案】
$-1$
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，解题核心是通过因式分解将所求式子转化为与已知条件相关的形式，利用整体代入思想快速求解，掌握提公因式的方法和整体代入的思维是解这类题的关键。
【难度系数】
0.8
8. 把下列各式因式分解：
(1) $8m^2n + 2mn$.
(2) $-9ab^2 + 12a^2b - 15a^2b^2$.
(3) $a(m - 2) + b(2 - m)$.
(4) $mn(m - n) - m(n - m)^2$.
(1) $8m^2n + 2mn$.
(2) $-9ab^2 + 12a^2b - 15a^2b^2$.
(3) $a(m - 2) + b(2 - m)$.
(4) $mn(m - n) - m(n - m)^2$.
答案
(1) $2mn · (4m+1)$ (2) $3ab(4a-3b-5ab)$ (3) $(m-2)(a-b)$ (4) $m(m-n)(2n-m)$
解析
【分析】
这4道题均考查提公因式法因式分解，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或整体式子）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式，用原式每一项除以公因式，将所得的商相加作为另一个因式；③注意特殊结构变形：如$2-m=-(m-2)$、$(n-m)^2=(m-n)^2$这类互为相反数的式子的转换，同时提取公因式后不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 先确定$8m^2n$和$2mn$的公因式：系数最大公约数是2，相同字母的最低次幂为$m$、$n$，因此公因式为$2mn$。
提取公因式得：
$8m^2n + 2mn = 2mn·4m + 2mn·1 = 2mn(4m+1)$
(2) 先确定公因式：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为$a$、$b$，因此公因式为$3ab$。
提取公因式得：
$-9ab^2 + 12a^2b - 15a^2b^2 = 3ab·(-3b) + 3ab·4a + 3ab·(-5ab) = 3ab(4a - 3b - 5ab)$
(3) 先变形统一公因式：$2-m=-(m-2)$，原式改写为$a(m-2)-b(m-2)$。
提取公因式$(m-2)$得：
$(m-2)(a-b)$
(4) 先变形统一公因式：$(n-m)^2=(m-n)^2$，原式改写为$mn(m-n)-m(m-n)^2$。
确定公因式为$m(m-n)$，提取公因式后化简：
$m(m-n)·n - m(m-n)·(m-n) = m(m-n)[n-(m-n)] = m(m-n)(2n-m)$
【答案】
(1) $2mn(4m+1)$
(2) $3ab(4a-3b-5ab)$
(3) $(m-2)(a-b)$
(4) $m(m-n)(2n-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，代数式符号变换
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础题型，重点考查公因式的寻找技巧，尤其是互为相反数的整体公因式的转换，解题时需注意提取公因式后不要漏写常数项，最终结果要整理为最简形式。
【难度系数】
0.8
这4道题均考查提公因式法因式分解，解题遵循提公因式法的通用步骤：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找相同字母（或整体式子）的最低次幂，二者乘积即为公因式；②提取公因式，用原式每一项除以公因式，将所得的商相加作为另一个因式；③注意特殊结构变形：如$2-m=-(m-2)$、$(n-m)^2=(m-n)^2$这类互为相反数的式子的转换，同时提取公因式后不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 先确定$8m^2n$和$2mn$的公因式：系数最大公约数是2，相同字母的最低次幂为$m$、$n$，因此公因式为$2mn$。
提取公因式得：
$8m^2n + 2mn = 2mn·4m + 2mn·1 = 2mn(4m+1)$
(2) 先确定公因式：各项系数的最大公约数为3，相同字母的最低次幂为$a$、$b$，因此公因式为$3ab$。
提取公因式得：
$-9ab^2 + 12a^2b - 15a^2b^2 = 3ab·(-3b) + 3ab·4a + 3ab·(-5ab) = 3ab(4a - 3b - 5ab)$
(3) 先变形统一公因式：$2-m=-(m-2)$，原式改写为$a(m-2)-b(m-2)$。
提取公因式$(m-2)$得：
$(m-2)(a-b)$
(4) 先变形统一公因式：$(n-m)^2=(m-n)^2$，原式改写为$mn(m-n)-m(m-n)^2$。
确定公因式为$m(m-n)$，提取公因式后化简：
$m(m-n)·n - m(m-n)·(m-n) = m(m-n)[n-(m-n)] = m(m-n)(2n-m)$
【答案】
(1) $2mn(4m+1)$
(2) $3ab(4a-3b-5ab)$
(3) $(m-2)(a-b)$
(4) $m(m-n)(2n-m)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，代数式符号变换
【点评】
本题是提公因式法因式分解的基础题型，重点考查公因式的寻找技巧，尤其是互为相反数的整体公因式的转换，解题时需注意提取公因式后不要漏写常数项，最终结果要整理为最简形式。
【难度系数】
0.8
9. 已知$x+y=-5$，$xy=7$，求$x^2y+xy^2 -x -y$的值。
答案
$xy(x+y)-(x+y)$. 当$x+y=-5$，$xy=7$时，原式$=7×(-5)-(-5)=-30$
解析
【分析】
解题时先观察所求代数式的结构，前两项$x^2y$和$xy^2$含有公因式$xy$，提取后可得$xy(x+y)$；后两项$-x-y$可变形为$-(x+y)$，此时整个代数式可转化为仅含$x+y$和$xy$的形式，无需单独求解x、y的值，直接将已知的$x+y=-5$、$xy=7$整体代入计算即可，能大幅简化运算。
【解析】
先对原式进行变形化简：
$x^2y + xy^2 -x -y = xy(x+y) - (x+y)$
将$x+y=-5$，$xy=7$整体代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=7×(-5) - (-5)\\&=-35 + 5\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$-30$
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题关键是准确识别公因式，通过提公因式将所求代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入的方法避免了求解单个未知数的繁琐，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
解题时先观察所求代数式的结构，前两项$x^2y$和$xy^2$含有公因式$xy$，提取后可得$xy(x+y)$；后两项$-x-y$可变形为$-(x+y)$，此时整个代数式可转化为仅含$x+y$和$xy$的形式，无需单独求解x、y的值，直接将已知的$x+y=-5$、$xy=7$整体代入计算即可，能大幅简化运算。
【解析】
先对原式进行变形化简：
$x^2y + xy^2 -x -y = xy(x+y) - (x+y)$
将$x+y=-5$，$xy=7$整体代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=7×(-5) - (-5)\\&=-35 + 5\\&=-30\end{aligned}$
【答案】
$-30$
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题考查因式分解在代数式求值中的应用，解题关键是准确识别公因式，通过提公因式将所求代数式转化为含已知条件的形式，利用整体代入的方法避免了求解单个未知数的繁琐，属于基础应用类题型。
【难度系数】
0.7
10. 仔细阅读下面例题，解答问题.
例：已知二次三项式$x^2 -4x +m$有一个因式是$x+3$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$x+n$，则$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$，
即$x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$，
∴$\begin{cases}n+3=-4, \\3n=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21, \\n=-7.\end{cases}$
故另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$.
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式$2x^2 +3x -k$有一个因式是$2x-5$，求另一个因式以及$k$的值.
例：已知二次三项式$x^2 -4x +m$有一个因式是$x+3$，求另一个因式以及$m$的值.
解：设另一个因式为$x+n$，则$x^2 -4x +m=(x+3)(x+n)$，
即$x^2 -4x +m=x^2 +(n+3)x +3n$，
∴$\begin{cases}n+3=-4, \\3n=m,\end{cases}$解得$\begin{cases}m=-21, \\n=-7.\end{cases}$
故另一个因式为$x-7$，$m$的值为$-21$.
仿照上面的方法解答下面问题：
已知二次三项式$2x^2 +3x -k$有一个因式是$2x-5$，求另一个因式以及$k$的值.
答案
10. 设另一个因式为$x+a$，则$2x^2+3x−k=(2x−5)(x+a)$。即$2x^2+3x−k=2x^2+(2a−5)x−5a$，
∴$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=4,\\k=20.\end{cases}$故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20
∴$\begin{cases}2a-5=3,\\-5a=-k,\end{cases}$解得$\begin{cases}a=4,\\k=20.\end{cases}$故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20
解析
【分析】
这是一道方法模仿类的阅读理解题，我们可参照例题的思路解题：首先，二次三项式的二次项系数为2，已知因式的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1，我们可以设另一个因式为$x+a$；其次，因式分解和整式乘法是互逆运算，将两个因式相乘展开后，让等式两边同次项的系数对应相等，即可列出关于$a$和$k$的二元一次方程组；最后解方程组就能得到$a$和$k$的值，确定另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$x+a$，则$2x^2+3x−k=(2x−5)(x+a)$，
展开等式右侧得：$2x^2+3x−k=2x^2+(2a−5)x−5a$，
根据等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a-5=3\\-5a=-k\end{cases}$
解第一个方程：$2a=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-5×4=-k$，解得$k=20$。
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k$的值为$20$
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解的意义，二元一次方程组求解
【点评】
本题解题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过多项式相等时对应系数相等建立方程求解，只要读懂例题的解题逻辑就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
这是一道方法模仿类的阅读理解题，我们可参照例题的思路解题：首先，二次三项式的二次项系数为2，已知因式的一次项系数为2，因此另一个因式的一次项系数应为1，我们可以设另一个因式为$x+a$；其次，因式分解和整式乘法是互逆运算，将两个因式相乘展开后，让等式两边同次项的系数对应相等，即可列出关于$a$和$k$的二元一次方程组；最后解方程组就能得到$a$和$k$的值，确定另一个因式。
【解析】
解：设另一个因式为$x+a$，则$2x^2+3x−k=(2x−5)(x+a)$，
展开等式右侧得：$2x^2+3x−k=2x^2+(2a−5)x−5a$，
根据等式两边对应项系数相等，可得方程组：
$\begin{cases}2a-5=3\\-5a=-k\end{cases}$
解第一个方程：$2a=8$，得$a=4$，
将$a=4$代入第二个方程，得$-5×4=-k$，解得$k=20$。
故另一个因式为$x+4$，$k$的值为20。
【答案】
另一个因式为$x+4$，$k$的值为$20$
【知识点】
多项式乘多项式，因式分解的意义，二元一次方程组求解
【点评】
本题解题核心是利用因式分解与整式乘法的互逆关系，通过多项式相等时对应系数相等建立方程求解，只要读懂例题的解题逻辑就能顺利作答。
【难度系数】
0.8
11. 分解因式：$a^2 - a =$
$a(a-1)$
.答案
11. $a(a-1)$
解析
【分析】
解决分解因式的题目时，首先优先观察多项式各项是否存在公因式。本题中的多项式共两项：$a^2$和$-a$，先判断公因式：两项都含有因式$a$，因此公因式为$a$。接下来只需将公因式$a$提取出来，把每一项除以公因式后得到的结果放在括号内，即可完成分解。
【解析】
解：首先确定多项式$a^2 - a$各项的公因式为$a$，对两项拆分后提取公因式：
$a^2 - a = a· a - a·1 = a(a - 1)$
【答案】
$a(a-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，主要考查提公因式法的基础应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时注意不要漏写原式中的常数项。
【难度系数】
0.9
解决分解因式的题目时，首先优先观察多项式各项是否存在公因式。本题中的多项式共两项：$a^2$和$-a$，先判断公因式：两项都含有因式$a$，因此公因式为$a$。接下来只需将公因式$a$提取出来，把每一项除以公因式后得到的结果放在括号内，即可完成分解。
【解析】
解：首先确定多项式$a^2 - a$各项的公因式为$a$，对两项拆分后提取公因式：
$a^2 - a = a· a - a·1 = a(a - 1)$
【答案】
$a(a-1)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题是分解因式的基础题型，主要考查提公因式法的基础应用，解题关键是准确找出多项式各项的公因式，提取公因式时注意不要漏写原式中的常数项。
【难度系数】
0.9
12. 分解因式：$2a^2 - 3a = (\quad)$.
A.$a(2a - 3)$
B.$a(2a + 3)$
C.$a(a - 3)$
D.$a(a + 3)$
A.$a(2a - 3)$
B.$a(2a + 3)$
C.$a(a - 3)$
D.$a(a + 3)$
答案
A
解析
【分析】
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定时先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，和公因式相乘即可得到分解后的结果，再对应选项选出答案。
【解析】
首先确定多项式$2a^2 - 3a$的公因式：
1. 系数部分：2和-3的最大公约数是1；
2. 字母部分：两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数是1次；
因此公因式为$a$。
接下来提取公因式：
$2a^2 - 3a = a×2a - a×3 = a(2a - 3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的基本应用，熟练掌握公因式的确定规则就能快速解题，属于因式分解部分的必拿分题。
【难度系数】
0.9
这道题考查用提公因式法分解因式，解题思路分两步走：第一步先确定多项式各项的公因式，公因式是多项式各项都含有的公共因式，确定时先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者相乘就是公因式；第二步提取公因式，用多项式的每一项分别除以公因式，将得到的结果作为括号内的因式，和公因式相乘即可得到分解后的结果，再对应选项选出答案。
【解析】
首先确定多项式$2a^2 - 3a$的公因式：
1. 系数部分：2和-3的最大公约数是1；
2. 字母部分：两项都含有字母$a$，且$a$的最低次数是1次；
因此公因式为$a$。
接下来提取公因式：
$2a^2 - 3a = a×2a - a×3 = a(2a - 3)$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的基本应用，熟练掌握公因式的确定规则就能快速解题，属于因式分解部分的必拿分题。
【难度系数】
0.9
