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1. 把一个多项式化成了
几个整式的乘积
的形式，像这样的式子变形叫作这个多项式的因式分解
，也叫作把这个多项式分解因式。答案
1. 几个整式的乘积 因式分解
解析
【分析】
本题考查因式分解的基础定义，属于识记类题目。解题时只需回忆因式分解的核心概念即可：因式分解的本质是对多项式的变形，变形后最终的结果必须是几个整式相乘的形式，这个变形过程的名称就是因式分解，也叫分解因式，按照定义内容对应填空即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此第一空填“几个整式的乘积”，第二空填“因式分解”。
【答案】
几个整式的乘积；因式分解
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考察，难度较低，核心是要求学生准确掌握因式分解的基本概念，是学习因式分解相关方法的基础。
【难度系数】
0.9
本题考查因式分解的基础定义，属于识记类题目。解题时只需回忆因式分解的核心概念即可：因式分解的本质是对多项式的变形，变形后最终的结果必须是几个整式相乘的形式，这个变形过程的名称就是因式分解，也叫分解因式，按照定义内容对应填空即可。
【解析】
根据因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这样的式子变形叫做这个多项式的因式分解，也叫作把这个多项式分解因式。因此第一空填“几个整式的乘积”，第二空填“因式分解”。
【答案】
几个整式的乘积；因式分解
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是对基础概念的直接考察，难度较低，核心是要求学生准确掌握因式分解的基本概念，是学习因式分解相关方法的基础。
【难度系数】
0.9
2. 多项式的各项都有一个
把因式 $ p $ 叫作这个多项式各项的公因式，
即 $ pa + pb + pc = p(a + b + c) $。
公共的因式 p
，把因式 $ p $ 叫作这个多项式各项的公因式，
即 $ pa + pb + pc = p(a + b + c) $。
答案
2. 公共的因式 p
解析
【分析】
这道题考查公因式的基础定义，解题时先明确公因式的核心特征：是多项式所有项都共同包含的因式，再结合题目给出的提公因式示例$pa+pb+pc=p(a+b+c)$，可以看出该多项式每一项都有共同的因式p，这个p就是公因式，因此空缺处对应填写的就是公共的因式p。
【解析】
根据公因式的定义：若多项式的每一项都含有同一个公共的因式，这个因式就叫做多项式各项的公因式。结合题目给出的提公因式分解形式$pa+pb+pc = p(a+b+c)$，可知此处空缺部分应填“公共的因式p”。
【答案】
公共的因式p
【知识点】
公因式的定义，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对公因式定义的识记情况，是学习因式分解的入门知识点，理解并牢记公因式的特征即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查公因式的基础定义，解题时先明确公因式的核心特征：是多项式所有项都共同包含的因式，再结合题目给出的提公因式示例$pa+pb+pc=p(a+b+c)$，可以看出该多项式每一项都有共同的因式p，这个p就是公因式，因此空缺处对应填写的就是公共的因式p。
【解析】
根据公因式的定义：若多项式的每一项都含有同一个公共的因式，这个因式就叫做多项式各项的公因式。结合题目给出的提公因式分解形式$pa+pb+pc = p(a+b+c)$，可知此处空缺部分应填“公共的因式p”。
【答案】
公共的因式p
【知识点】
公因式的定义，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于基础概念考查题，主要考察对公因式定义的识记情况，是学习因式分解的入门知识点，理解并牢记公因式的特征即可轻松作答。
【难度系数】
0.9
3. 一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的
乘积
的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法.答案
3. 乘积
解析
【分析】
本题考查提公因式法的基础定义，解题时首先回忆提公因式法的概念，我们可以举简单例子辅助理解：比如对多项式$ma+mb+mc$分解因式，各项的公因式是$m$，提取公因式后得到$m(a+b+c)$，可以看到原多项式被写成了公因式$m$和另一个因式$(a+b+c)$相乘的形式，因此对应定义里的空缺就是“乘积”。
【解析】
根据提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此本题空缺处应填“乘积”。
【答案】
乘积
【知识点】
提公因式法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接来源于教材基础定义，难度很低，只要平时学习时注重对核心概念的理解和记忆，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
本题考查提公因式法的基础定义，解题时首先回忆提公因式法的概念，我们可以举简单例子辅助理解：比如对多项式$ma+mb+mc$分解因式，各项的公因式是$m$，提取公因式后得到$m(a+b+c)$，可以看到原多项式被写成了公因式$m$和另一个因式$(a+b+c)$相乘的形式，因此对应定义里的空缺就是“乘积”。
【解析】
根据提公因式法的定义：一般地，如果多项式的各项有公因式，可以把这个公因式提取出来，将多项式写成公因式与另一个因式的乘积的形式，这种分解因式的方法叫作提公因式法。因此本题空缺处应填“乘积”。
【答案】
乘积
【知识点】
提公因式法的概念
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，直接来源于教材基础定义，难度很低，只要平时学习时注重对核心概念的理解和记忆，就能快速得出正确答案。
【难度系数】
0.9
例 如图17.1-1，长方形的长、宽分别为a，b，且a比b大5，面积为10，则$a^2b -ab^2$的值为（）。
A.60
B.50
C.25
D.15
解 由题意可得$a-b=5$，$ab=10$，则$a^2b -ab^2=ab(a-b)=50$。故选B。
方法感悟 根据题目信息可以得到关系式，再利用提取公因式法分解因式，把已知信息代入进行求值。注意数字也有公因式。
A.60
B.50
C.25
D.15
解 由题意可得$a-b=5$，$ab=10$，则$a^2b -ab^2=ab(a-b)=50$。故选B。
方法感悟 根据题目信息可以得到关系式，再利用提取公因式法分解因式，把已知信息代入进行求值。注意数字也有公因式。
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的结构，可发现式子的两项含有公因式ab，因此优先考虑用提公因式法对其分解因式；再结合题目给出的条件，由“a比b大5”可得a-b=5，由“长方形面积为10”可得ab=10，最后将这两个整体代入分解后的式子即可计算出结果，无需单独求解a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
解：根据题意可得：
$a - b = 5$，$ab = 10$
对所求代数式提取公因式$ab$得：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将$a - b = 5$，$ab = 10$代入上式得：
原式$=10×5=50$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，核心是运用整体代入的思想，通过对所求式子因式分解，直接代入已知的整体数值求解，避免了求解单个未知数的繁琐计算，是因式分解应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的结构，可发现式子的两项含有公因式ab，因此优先考虑用提公因式法对其分解因式；再结合题目给出的条件，由“a比b大5”可得a-b=5，由“长方形面积为10”可得ab=10，最后将这两个整体代入分解后的式子即可计算出结果，无需单独求解a、b的数值，可简化计算过程。
【解析】
解：根据题意可得：
$a - b = 5$，$ab = 10$
对所求代数式提取公因式$ab$得：
$a^2b - ab^2 = ab(a - b)$
将$a - b = 5$，$ab = 10$代入上式得：
原式$=10×5=50$
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；长方形面积计算
【点评】
本题考查因式分解的实际应用，核心是运用整体代入的思想，通过对所求式子因式分解，直接代入已知的整体数值求解，避免了求解单个未知数的繁琐计算，是因式分解应用的典型基础题型。
【难度系数】
0.8
1. 下列变形是因式分解的是（
A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$
C.$4yz - 2y^2z + z = 2y(2z - yz) + z$
D.$-8x^2 +8x -2 = -2(2x -1)^2$
D
）.A.$(3-x)(3+x)=9-x^2$
B.$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$
C.$4yz - 2y^2z + z = 2y(2z - yz) + z$
D.$-8x^2 +8x -2 = -2(2x -1)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
要判断是否为因式分解，首先明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，且变形是恒等变形。解题时我们只需逐个对照选项，验证是否同时满足“变形对象是多项式”“变形结果为几个整式的积”两个条件即可。
【解析】
首先明确因式分解的判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后恒等。
选项A：$(3-x)(3+x)=9-x^2$是整式乘法运算，是从“整式的积”变形为“多项式”，和因式分解的变形方向相反，不是因式分解。
选项B：$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$仅对左侧的乘积式做了符号变形，变形对象本身就不是多项式，也没有将多项式转化为整式乘积的过程，不是因式分解。
选项C：$4yz - 2y^2z + z = 2y(2z - yz) + z$的变形结果是“$2y(2z - yz)$与$z$的和”，属于和的形式，不符合结果是整式乘积的要求，不是因式分解。
选项D：$-8x^2 +8x -2 = -2(4x^2-4x+1)=-2(2x-1)^2$，是将多项式$-8x^2 +8x -2$转化为$-2$、$(2x-1)$、$(2x-1)$三个整式的积的形式，满足因式分解的定义，是因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题核心是牢牢掌握因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，同时要确认变形结果必须是乘积形式，不能出现加减项。
【难度系数】
0.8
要判断是否为因式分解，首先明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，且变形是恒等变形。解题时我们只需逐个对照选项，验证是否同时满足“变形对象是多项式”“变形结果为几个整式的积”两个条件即可。
【解析】
首先明确因式分解的判定标准：①变形的对象是多项式；②变形的最终结果是几个整式的乘积的形式；③变形前后恒等。
选项A：$(3-x)(3+x)=9-x^2$是整式乘法运算，是从“整式的积”变形为“多项式”，和因式分解的变形方向相反，不是因式分解。
选项B：$(y+1)(y-3)=-(3-y)(y+1)$仅对左侧的乘积式做了符号变形，变形对象本身就不是多项式，也没有将多项式转化为整式乘积的过程，不是因式分解。
选项C：$4yz - 2y^2z + z = 2y(2z - yz) + z$的变形结果是“$2y(2z - yz)$与$z$的和”，属于和的形式，不符合结果是整式乘积的要求，不是因式分解。
选项D：$-8x^2 +8x -2 = -2(4x^2-4x+1)=-2(2x-1)^2$，是将多项式$-8x^2 +8x -2$转化为$-2$、$(2x-1)$、$(2x-1)$三个整式的积的形式，满足因式分解的定义，是因式分解。
【答案】
D
【知识点】
因式分解的定义；提公因式法；完全平方公式
【点评】
本题是因式分解的基础概念题，解题核心是牢牢掌握因式分解的定义，注意区分因式分解和整式乘法的变形方向，同时要确认变形结果必须是乘积形式，不能出现加减项。
【难度系数】
0.8
2. 多项式$3x^2y^3 -12x^2y^4 -6x^2y^2$的公因式是（
A.$x^2y^3$
B.$3x^2y^3$
C.$3x^2y^2$
D.$3xy$
C
）.A.$x^2y^3$
B.$3x^2y^3$
C.$3x^2y^2$
D.$3xy$
答案
2. C
解析
【分析】
要确定多项式的公因式，需遵循两步规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，最后将两者相乘即为公因式。我们可以按照这个规则逐步分析给定的多项式。
【解析】
1. 找系数的最大公约数：多项式$3x^2y^3 -12x^2y^4 -6x^2y^2$的三项系数分别是3、-12、-6，它们的最大公约数为3；
2. 找相同字母的最低次幂：三项都含有的字母是x和y，其中x的次数均为2，最低次幂是$x^2$；y的次数分别为3、4、2，最低次幂是$y^2$；
3. 组合得到公因式：将系数最大公约数与相同字母最低次幂相乘，可得公因式为$3x^2y^2$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的两个步骤，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
要确定多项式的公因式，需遵循两步规则：①先找各项系数的最大公约数；②再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，最后将两者相乘即为公因式。我们可以按照这个规则逐步分析给定的多项式。
【解析】
1. 找系数的最大公约数：多项式$3x^2y^3 -12x^2y^4 -6x^2y^2$的三项系数分别是3、-12、-6，它们的最大公约数为3；
2. 找相同字母的最低次幂：三项都含有的字母是x和y，其中x的次数均为2，最低次幂是$x^2$；y的次数分别为3、4、2，最低次幂是$y^2$；
3. 组合得到公因式：将系数最大公约数与相同字母最低次幂相乘，可得公因式为$3x^2y^2$。
因此本题选C选项。
【答案】
C
【知识点】
公因式的确定；提公因式法分解因式
【点评】
本题是基础类题目，核心考查公因式的确定方法，只要熟练掌握找公因式的两个步骤，就能快速准确得出答案。
【难度系数】
0.9
3. 分解因式$b^2(x-3)+b(x-3)$的正确结果是（
A.$(x-3)(b^2+b)$
B.$b(x-3)(b+1)$
C.$(x-3)(b^2-b)$
D.$b(x-3)(b-1)$
B
）.A.$(x-3)(b^2+b)$
B.$b(x-3)(b+1)$
C.$(x-3)(b^2-b)$
D.$b(x-3)(b-1)$
答案
3. B
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，观察式子的两项都含有因式b和整体因式(x-3)，取相同因式的最低次幂，可得公因式为b(x-3)；第二步提取公因式，将各项除以公因式得到剩下的因式，注意提取公因式后剩余的项不能再有公因式，保证分解彻底，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先确定多项式$b^2(x-3)+b(x-3)$的公因式：
两项均含有字母因式$b$和整体因式$(x-3)$，相同因式的最低次幂为$b^1$和$(x-3)^1$，因此公因式为$b(x-3)$。
提取公因式：
$\begin{aligned}b^2(x-3)+b(x-3)&=b(x-3)· b + b(x-3)· 1\\&=b(x-3)(b+1)\end{aligned}$
注意选项A中$(b^2+b)$仍有公因式$b$，分解不彻底，排除；C、D中剩余因式的项或符号错误，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是公因式找不全，漏提$b$或者$(x-3)$，二是提取公因式后漏写常数项1，或者分解不彻底，学习时要牢记因式分解需分解到每个因式不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式，观察式子的两项都含有因式b和整体因式(x-3)，取相同因式的最低次幂，可得公因式为b(x-3)；第二步提取公因式，将各项除以公因式得到剩下的因式，注意提取公因式后剩余的项不能再有公因式，保证分解彻底，最后对应选项选出正确答案即可。
【解析】
首先确定多项式$b^2(x-3)+b(x-3)$的公因式：
两项均含有字母因式$b$和整体因式$(x-3)$，相同因式的最低次幂为$b^1$和$(x-3)^1$，因此公因式为$b(x-3)$。
提取公因式：
$\begin{aligned}b^2(x-3)+b(x-3)&=b(x-3)· b + b(x-3)· 1\\&=b(x-3)(b+1)\end{aligned}$
注意选项A中$(b^2+b)$仍有公因式$b$，分解不彻底，排除；C、D中剩余因式的项或符号错误，排除。
因此本题选B。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定，因式分解的彻底性
【点评】
本题是因式分解的基础题型，易错点有两个：一是公因式找不全，漏提$b$或者$(x-3)$，二是提取公因式后漏写常数项1，或者分解不彻底，学习时要牢记因式分解需分解到每个因式不能再分解为止。
【难度系数】
0.8
4. 多项式$mx^2 - m$与多项式$x^2 - 2x + 1$的公因式是（
A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
A
）.A.$x-1$
B.$x+1$
C.$x^2 -1$
D.$(x-1)^2$
答案
4. A
解析
【分析】
要确定两个多项式的公因式，解题思路非常清晰：首先分别对两个多项式做因式分解，分解到每个因式都不能再分解为止，之后对比两个分解结果，找出二者共同含有的因式，就是所求的公因式。
【解析】
1. 分解多项式$mx^2 - m$：
先提取公因式$m$，可得$mx^2 - m = m(x^2 - 1)$，再利用平方差公式分解$x^2-1$，最终得$mx^2 - m = m(x+1)(x-1)$。
2. 分解多项式$x^2 - 2x + 1$：
利用完全平方公式直接分解，可得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$。
3. 确定公因式：对比两个分解后的结果，二者共同含有的因式为$x-1$，因此两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解，公因式，乘法公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法这两类因式分解的常用方法，能将多项式彻底分解到不能再分解的形式，就能快速找出公因式。
【难度系数】
0.8
要确定两个多项式的公因式，解题思路非常清晰：首先分别对两个多项式做因式分解，分解到每个因式都不能再分解为止，之后对比两个分解结果，找出二者共同含有的因式，就是所求的公因式。
【解析】
1. 分解多项式$mx^2 - m$：
先提取公因式$m$，可得$mx^2 - m = m(x^2 - 1)$，再利用平方差公式分解$x^2-1$，最终得$mx^2 - m = m(x+1)(x-1)$。
2. 分解多项式$x^2 - 2x + 1$：
利用完全平方公式直接分解，可得$x^2 - 2x +1 = (x-1)^2 = (x-1)(x-1)$。
3. 确定公因式：对比两个分解后的结果，二者共同含有的因式为$x-1$，因此两个多项式的公因式是$x-1$。
【答案】
A
【知识点】
因式分解，公因式，乘法公式
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是熟练掌握提公因式法、公式法这两类因式分解的常用方法，能将多项式彻底分解到不能再分解的形式，就能快速找出公因式。
【难度系数】
0.8
5. 下列因式分解正确的是（
A.$2a^2 - a = 2a(a - 1)$
B.$-a^2 - 2ab = -a(a - 2b)$
C.$a^2 + 3ab = a(a + 3b)$
D.$-3a + 3b = -3(a + b)$
C
）.A.$2a^2 - a = 2a(a - 1)$
B.$-a^2 - 2ab = -a(a - 2b)$
C.$a^2 + 3ab = a(a + 3b)$
D.$-3a + 3b = -3(a + b)$
答案
5. C
解析
【分析】
本题考查提公因式法分解因式，解题思路为：先明确提公因式的步骤：①确定多项式各项的公因式（系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂）；②提取公因式，若公因式带负号，提取后括号内各项都要变号；③可通过整式乘法逆运算验证分解结果是否与原式一致，逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：$2a^2 - a$的公因式为$a$，提取公因式得$a(2a-1)$，与选项给出的$2a(a-1)$不符，A错误；
B选项：$-a^2 -2ab$的公因式为$-a$，提取公因式得$-a(a+2b)$，与选项给出的$-a(a-2b)$不符，B错误；
C选项：$a^2 +3ab$的公因式为$a$，提取公因式得$a(a+3b)$，与原式一致，C正确；
D选项：$-3a+3b$的公因式为$-3$，提取公因式得$-3(a-b)$，与选项给出的$-3(a+b)$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、因式分解的验证
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式的识别能力和提取公因式时的符号处理能力，易错点为提取带负号的公因式时忘记改变括号内各项的符号，做题时可通过整式乘法展开的方式反向验证结果，有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
本题考查提公因式法分解因式，解题思路为：先明确提公因式的步骤：①确定多项式各项的公因式（系数取各项系数的最大公约数，字母取各项都含有的相同字母的最低次幂）；②提取公因式，若公因式带负号，提取后括号内各项都要变号；③可通过整式乘法逆运算验证分解结果是否与原式一致，逐一判断每个选项即可。
【解析】
我们逐一验证各选项：
A选项：$2a^2 - a$的公因式为$a$，提取公因式得$a(2a-1)$，与选项给出的$2a(a-1)$不符，A错误；
B选项：$-a^2 -2ab$的公因式为$-a$，提取公因式得$-a(a+2b)$，与选项给出的$-a(a-2b)$不符，B错误；
C选项：$a^2 +3ab$的公因式为$a$，提取公因式得$a(a+3b)$，与原式一致，C正确；
D选项：$-3a+3b$的公因式为$-3$，提取公因式得$-3(a-b)$，与选项给出的$-3(a+b)$不符，D错误。
【答案】
C
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、因式分解的验证
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对公因式的识别能力和提取公因式时的符号处理能力，易错点为提取带负号的公因式时忘记改变括号内各项的符号，做题时可通过整式乘法展开的方式反向验证结果，有效降低错误率。
【难度系数】
0.8
