登录
17. 王老师家买了一套新房，其户型如图3所示（单位：m）. 他打算将卧室铺上木地板，其余部分铺上地砖.
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
（1）木地板和地砖分别需要多少平方米？
（2）如果地砖的价格为每平方米x元，木地板的价格为每平方米3x元，那么王老师需要花多少钱？
答案
（1）卧室的面积是$2b（4a−2a）=4ab（\mathrm{m}^2）$. 厨房、卫生间、客厅的面积和是$b · （4a−2a−a）+a · （4b−2b）+2a · 4b=ab+2ab+8ab=11ab（\mathrm{m}^2）$，即木地板需要$4ab\ \mathrm{m}^2$，地砖需要$11ab\ \mathrm{m}^2$ （2）$11ab · x + 4ab · 3x = 11abx + 12abx = 23abx$（元），即王老师需要花$23abx$元
解析
【分析】
本题考查整式运算在实际生活中的应用，解题思路如下：
（1）求木地板面积即求卧室面积，先确定卧室的长和宽，利用长方形面积=长×宽计算即可；求地砖面积需分别计算厨房、卫生间、客厅的面积再求和，先根据图中标注的边长关系确定三个区域各自的长和宽，分别计算面积后相加。
（2）根据“总价=单价×面积”分别计算地砖和木地板的总费用，再相加合并同类项得到总花费。
【解析】
（1）计算木地板面积（即卧室面积）：
卧室的长为$2b\ \mathrm{m}$，宽为$(4a-2a)\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$2b×(4a-2a)=2b×2a=4ab(\mathrm{m}^2)$
计算地砖面积（即厨房、卫生间、客厅的面积和）：
①厨房的长为$b\ \mathrm{m}$，宽为$(4a-2a-a)\ \mathrm{m}$，面积为$b·(4a-2a-a)=ab(\mathrm{m}^2)$
②卫生间的宽为$a\ \mathrm{m}$，长为$(4b-2b)\ \mathrm{m}$，面积为$a·(4b-2b)=2ab(\mathrm{m}^2)$
③客厅的长为$4b\ \mathrm{m}$，宽为$2a\ \mathrm{m}$，面积为$2a·4b=8ab(\mathrm{m}^2)$
因此地砖总面积为$ab+2ab+8ab=11ab(\mathrm{m}^2)$
（2）计算总花费：
地砖总费用为$11ab· x$元，木地板总费用为$4ab·3x$元，因此总花费为：
$11ab· x + 4ab·3x=11abx+12abx=23abx$（元）
【答案】
（1）木地板需要$4ab\ \mathrm{m}^2$，地砖需要$11ab\ \mathrm{m}^2$；（2）王老师需要花$23abx$元
【知识点】
长方形面积计算，整式的运算，列代数式
【点评】
本题紧密结合生活场景，将几何面积计算和整式运算结合考查，解题的关键是准确从图中提取各区域的边长信息，正确计算各部分面积，计算过程中注意不要漏项、正确合并同类项即可。
【难度系数】
0.7
本题考查整式运算在实际生活中的应用，解题思路如下：
（1）求木地板面积即求卧室面积，先确定卧室的长和宽，利用长方形面积=长×宽计算即可；求地砖面积需分别计算厨房、卫生间、客厅的面积再求和，先根据图中标注的边长关系确定三个区域各自的长和宽，分别计算面积后相加。
（2）根据“总价=单价×面积”分别计算地砖和木地板的总费用，再相加合并同类项得到总花费。
【解析】
（1）计算木地板面积（即卧室面积）：
卧室的长为$2b\ \mathrm{m}$，宽为$(4a-2a)\ \mathrm{m}$，因此面积为：
$2b×(4a-2a)=2b×2a=4ab(\mathrm{m}^2)$
计算地砖面积（即厨房、卫生间、客厅的面积和）：
①厨房的长为$b\ \mathrm{m}$，宽为$(4a-2a-a)\ \mathrm{m}$，面积为$b·(4a-2a-a)=ab(\mathrm{m}^2)$
②卫生间的宽为$a\ \mathrm{m}$，长为$(4b-2b)\ \mathrm{m}$，面积为$a·(4b-2b)=2ab(\mathrm{m}^2)$
③客厅的长为$4b\ \mathrm{m}$，宽为$2a\ \mathrm{m}$，面积为$2a·4b=8ab(\mathrm{m}^2)$
因此地砖总面积为$ab+2ab+8ab=11ab(\mathrm{m}^2)$
（2）计算总花费：
地砖总费用为$11ab· x$元，木地板总费用为$4ab·3x$元，因此总花费为：
$11ab· x + 4ab·3x=11abx+12abx=23abx$（元）
【答案】
（1）木地板需要$4ab\ \mathrm{m}^2$，地砖需要$11ab\ \mathrm{m}^2$；（2）王老师需要花$23abx$元
【知识点】
长方形面积计算，整式的运算，列代数式
【点评】
本题紧密结合生活场景，将几何面积计算和整式运算结合考查，解题的关键是准确从图中提取各区域的边长信息，正确计算各部分面积，计算过程中注意不要漏项、正确合并同类项即可。
【难度系数】
0.7
18. 数学活动课上，老师准备了若干张如图4所示的三种纸片.甲种纸片是边长为$a$的正方形，乙种纸片是边长为$b$的正方形，丙种纸片是长为$b$，宽为$a$的长方形.
【观察发现】（1）用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图5所示的大正方形.观察图5的面积关系，写出正确的等式：$\underline{\hspace{5cm}}$.
【操作探究】（2）若要拼出一个面积为$(a+b)(a+2b)$的长方形，则需要甲种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张，乙种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张，丙种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张.（所拼图形不重叠、无缝隙）
【拓展延伸】（3）两个正方形$ABCD$，$AEFG$如图6所示摆放，边长分别为$x$，$y$，连接$CE$，$DF$.若$x^2+y^2=52$，$DG=2$，求图中阴影部分的面积.
【观察发现】（1）用甲种纸片一张，乙种纸片一张，丙种纸片两张拼成如图5所示的大正方形.观察图5的面积关系，写出正确的等式：$\underline{\hspace{5cm}}$.
【操作探究】（2）若要拼出一个面积为$(a+b)(a+2b)$的长方形，则需要甲种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张，乙种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张，丙种纸片$\underline{\hspace{1cm}}$张.（所拼图形不重叠、无缝隙）
【拓展延伸】（3）两个正方形$ABCD$，$AEFG$如图6所示摆放，边长分别为$x$，$y$，连接$CE$，$DF$.若$x^2+y^2=52$，$DG=2$，求图中阴影部分的面积.
答案
（1）$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$ （2）1 2 3
（3）$\because DG=AD-AG=2$，$AD=x$，$AG=y$，$\therefore x-y=2$，$\therefore (x-y)^2=4$，即$x^2+y^2-2xy=4$，$52-2xy=4$，$\therefore 2xy=48$，$xy=24$. $\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=52+48=100$，$\therefore x+y=10$或$-10$（不合题意，舍去），$\therefore$ 阴影部分的面积=$x^2-y^2-\frac{1}{2}×2y-\frac{1}{2}x(x-y)=(x+y)(x-y)-y-\frac{1}{2}x(x-y)=10×2-y-\frac{1}{2}x · 2=10×2-(x+y)=10$
（3）$\because DG=AD-AG=2$，$AD=x$，$AG=y$，$\therefore x-y=2$，$\therefore (x-y)^2=4$，即$x^2+y^2-2xy=4$，$52-2xy=4$，$\therefore 2xy=48$，$xy=24$. $\because (x+y)^2=x^2+y^2+2xy=52+48=100$，$\therefore x+y=10$或$-10$（不合题意，舍去），$\therefore$ 阴影部分的面积=$x^2-y^2-\frac{1}{2}×2y-\frac{1}{2}x(x-y)=(x+y)(x-y)-y-\frac{1}{2}x(x-y)=10×2-y-\frac{1}{2}x · 2=10×2-(x+y)=10$
解析
【分析】
（1）本题利用面积法推导等式：大正方形边长为$a+b$，直接计算面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张甲、1张乙、2张丙拼接而成，面积等于四个小图形的面积之和，即$a^2+b^2+2ab$，联立两个面积表达式即可得到对应等式。
（2）先将长方形面积的多项式$(a+b)(a+2b)$展开，根据展开式中$a^2$、$b^2$、$ab$的系数，即可对应得到甲、乙、丙三种纸片的数量（甲对应$a^2$的系数，乙对应$b^2$的系数，丙对应$ab$的系数）。
（3）首先根据$DG=AD-AG$得到$x-y=2$，结合已知$x^2+y^2=52$，利用完全平方公式变形求出$xy$和$x+y$的值；再用割补法：阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积，将得到的$x-y$、$x+y$等数值代入化简后的面积表达式，即可求出结果。
【解析】
（1）大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；1张甲纸片面积为$a^2$，1张乙纸片面积为$b^2$，2张丙纸片面积为$2ab$，总面积为$a^2+2ab+b^2$，因此可得等式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
（2）展开多项式得：$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$，其中$a^2$的系数为1，对应甲种纸片1张；$b^2$的系数为2，对应乙种纸片2张；$ab$的系数为3，对应丙种纸片3张。
（3）由图可知$DG=AD-AG=x-y=2$，将等式两边平方得：$(x-y)^2=4$，由完全平方公式展开得$x^2+y^2-2xy=4$。
将$x^2+y^2=52$代入上式得：$52-2xy=4$，解得$xy=24$。
再由完全平方和公式得：$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=52+2×24=100$，因为边长为正数，因此$x+y=10$（负值舍去）。
阴影部分面积 = 大正方形面积 + 小正方形面积 - 空白三角形EBC面积 - 空白三角形DFG面积，即：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=x^2+y^2-\frac{1}{2}x(x-y)-\frac{1}{2}y(x-y)\\&=52-\frac{1}{2}x·2-\frac{1}{2}y·2\\&=52-(x+y)\\&=52-10=10\end{aligned}$
【答案】
（1）$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
（2）1；2；3
（3）10
【知识点】
完全平方公式；多项式乘多项式；割补法求面积
【点评】
本题以几何拼图为载体，将整式乘法公式和图形面积计算相结合，既考查了对乘法公式的理解和变形应用能力，也考查了用割补法求解不规则图形面积的几何分析能力，题目设置由浅入深，能有效检验知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.6
（1）本题利用面积法推导等式：大正方形边长为$a+b$，直接计算面积为$(a+b)^2$；同时大正方形由1张甲、1张乙、2张丙拼接而成，面积等于四个小图形的面积之和，即$a^2+b^2+2ab$，联立两个面积表达式即可得到对应等式。
（2）先将长方形面积的多项式$(a+b)(a+2b)$展开，根据展开式中$a^2$、$b^2$、$ab$的系数，即可对应得到甲、乙、丙三种纸片的数量（甲对应$a^2$的系数，乙对应$b^2$的系数，丙对应$ab$的系数）。
（3）首先根据$DG=AD-AG$得到$x-y=2$，结合已知$x^2+y^2=52$，利用完全平方公式变形求出$xy$和$x+y$的值；再用割补法：阴影部分面积等于两个正方形面积之和减去两个空白三角形的面积，将得到的$x-y$、$x+y$等数值代入化简后的面积表达式，即可求出结果。
【解析】
（1）大正方形边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$；1张甲纸片面积为$a^2$，1张乙纸片面积为$b^2$，2张丙纸片面积为$2ab$，总面积为$a^2+2ab+b^2$，因此可得等式$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$。
（2）展开多项式得：$(a+b)(a+2b)=a^2+3ab+2b^2$，其中$a^2$的系数为1，对应甲种纸片1张；$b^2$的系数为2，对应乙种纸片2张；$ab$的系数为3，对应丙种纸片3张。
（3）由图可知$DG=AD-AG=x-y=2$，将等式两边平方得：$(x-y)^2=4$，由完全平方公式展开得$x^2+y^2-2xy=4$。
将$x^2+y^2=52$代入上式得：$52-2xy=4$，解得$xy=24$。
再由完全平方和公式得：$(x+y)^2=x^2+y^2+2xy=52+2×24=100$，因为边长为正数，因此$x+y=10$（负值舍去）。
阴影部分面积 = 大正方形面积 + 小正方形面积 - 空白三角形EBC面积 - 空白三角形DFG面积，即：
$\begin{aligned}S_{阴影}&=x^2+y^2-\frac{1}{2}x(x-y)-\frac{1}{2}y(x-y)\\&=52-\frac{1}{2}x·2-\frac{1}{2}y·2\\&=52-(x+y)\\&=52-10=10\end{aligned}$
【答案】
（1）$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$
（2）1；2；3
（3）10
【知识点】
完全平方公式；多项式乘多项式；割补法求面积
【点评】
本题以几何拼图为载体，将整式乘法公式和图形面积计算相结合，既考查了对乘法公式的理解和变形应用能力，也考查了用割补法求解不规则图形面积的几何分析能力，题目设置由浅入深，能有效检验知识的灵活运用水平。
【难度系数】
0.6
