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二、填空题
11. 若$a^x=2$，$a^y=3$，则$a^{2x+y}=$
11. 若$a^x=2$，$a^y=3$，则$a^{2x+y}=$
12
。答案
11. 12
解析
【分析】
解题时首先观察所求代数式的指数形式，2x+y可拆分为2x与y的和，因此可以联想到逆用同底数幂的乘法法则，将$a^{2x+y}$转化为$a^{2x}·a^y$；再逆用幂的乘方法则，将$a^{2x}$转化为$(a^x)^2$，最后代入已知的$a^x=2$、$a^y=3$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用推导：
1. 逆用同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得$a^{2x+y}=a^{2x}· a^y$；
2. 逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$a^{2x}=(a^x)^2$；
3. 把$a^x=2$，$a^y=3$代入式子计算：
$a^{2x+y}=(a^x)^2· a^y=2^2×3=4×3=12$。
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的逆用，解题的核心是能根据所求代数式的指数特征对式子进行合理变形，熟练掌握幂的相关运算法则是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察所求代数式的指数形式，2x+y可拆分为2x与y的和，因此可以联想到逆用同底数幂的乘法法则，将$a^{2x+y}$转化为$a^{2x}·a^y$；再逆用幂的乘方法则，将$a^{2x}$转化为$(a^x)^2$，最后代入已知的$a^x=2$、$a^y=3$计算即可得到结果。
【解析】
根据幂的运算性质逆用推导：
1. 逆用同底数幂的乘法法则：$a^{m+n}=a^m· a^n$，可得$a^{2x+y}=a^{2x}· a^y$；
2. 逆用幂的乘方法则：$a^{mn}=(a^m)^n$，可得$a^{2x}=(a^x)^2$；
3. 把$a^x=2$，$a^y=3$代入式子计算：
$a^{2x+y}=(a^x)^2· a^y=2^2×3=4×3=12$。
【答案】
12
【知识点】
同底数幂的乘法；幂的乘方
【点评】
本题重点考查幂的运算性质的逆用，解题的核心是能根据所求代数式的指数特征对式子进行合理变形，熟练掌握幂的相关运算法则是解决此类题的基础。
【难度系数】
0.8
12. 规定$a\bigstar b=2^a × 2^b$，若$2\bigstar (x+1)=16$，则$x$的值为
1
。答案
12. 1
解析
【分析】首先明确题目给出的新运算“★”的规则，先把$2\bigstar (x+1)$按照新规则转化为常规幂运算形式，再用同底数幂的乘法法则化简，最后将16转化为以2为底的幂，根据“同底数幂相等则指数相等”的性质列一元一次方程求解即可。
【解析】
1. 根据新定义运算规则展开式子：
已知$a\bigstar b=2^a × 2^b$，则$2\bigstar (x+1)=2^2 × 2^{x+1}$。
2. 利用同底数幂乘法法则化简：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$2^2 × 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$。
3. 转化右侧常数为同底幂：
$16=2^4$，原等式变为$2^{x+3}=2^4$。
4. 列方程求解：
同底数幂相等时指数相等，因此$x+3=4$，解得$x=1$。
【答案】1
【知识点】新定义运算；同底数幂的乘法；解一元一次方程
【点评】本题是新定义与幂运算结合的基础题，解题核心是把新运算转化为已学的常规运算，再结合幂的性质列方程求解，只要准确理解新规则、熟练掌握幂运算性质就能轻松解答。
【难度系数】0.8
【解析】
1. 根据新定义运算规则展开式子：
已知$a\bigstar b=2^a × 2^b$，则$2\bigstar (x+1)=2^2 × 2^{x+1}$。
2. 利用同底数幂乘法法则化简：
同底数幂相乘，底数不变，指数相加，因此$2^2 × 2^{x+1}=2^{2+x+1}=2^{x+3}$。
3. 转化右侧常数为同底幂：
$16=2^4$，原等式变为$2^{x+3}=2^4$。
4. 列方程求解：
同底数幂相等时指数相等，因此$x+3=4$，解得$x=1$。
【答案】1
【知识点】新定义运算；同底数幂的乘法；解一元一次方程
【点评】本题是新定义与幂运算结合的基础题，解题核心是把新运算转化为已学的常规运算，再结合幂的性质列方程求解，只要准确理解新规则、熟练掌握幂运算性质就能轻松解答。
【难度系数】0.8
13.当$x^2 + x = 5$时，$(1 - x)(2 + x)$的值是
-3
。答案
13. -3
解析
【分析】
观察题目可知，已知$x^2+x$的整体取值，待求式是两个一次多项式的乘积，解题思路如下：第一步先利用多项式乘多项式的法则将待求式展开，第二步合并同类项后将式子整理为含$x^2+x$的形式，第三步将已知的$x^2+x=5$整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$x$的值，可大幅简化计算过程。
【解析】
首先展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(2+x)&=1×2 + 1× x - x×2 - x× x\\&=2 + x - 2x - x^2\\&=2 - x - x^2\end{aligned}$
将式子变形为含$x^2+x$的形式：
$2 - x - x^2=2-(x^2+x)$
把$x^2+x=5$代入上式可得：
原式$=2-5=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算和代数求值的技巧，核心是灵活运用整体代入思想，不需要解一元二次方程求$x$的具体值，直接通过变形待求式即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
观察题目可知，已知$x^2+x$的整体取值，待求式是两个一次多项式的乘积，解题思路如下：第一步先利用多项式乘多项式的法则将待求式展开，第二步合并同类项后将式子整理为含$x^2+x$的形式，第三步将已知的$x^2+x=5$整体代入变形后的式子计算即可，无需单独求解$x$的值，可大幅简化计算过程。
【解析】
首先展开待求式：
$\begin{aligned}(1-x)(2+x)&=1×2 + 1× x - x×2 - x× x\\&=2 + x - 2x - x^2\\&=2 - x - x^2\end{aligned}$
将式子变形为含$x^2+x$的形式：
$2 - x - x^2=2-(x^2+x)$
把$x^2+x=5$代入上式可得：
原式$=2-5=-3$
【答案】
$-3$
【知识点】
多项式乘多项式；整体代入求值
【点评】
本题侧重考查整式运算和代数求值的技巧，核心是灵活运用整体代入思想，不需要解一元二次方程求$x$的具体值，直接通过变形待求式即可快速得到结果，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.8
14. 4个数a，b，c，d的排列$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}$，我们称之为二阶行列式，规定它的运算法则为$\begin{vmatrix} a & b \\ c & d \end{vmatrix}=ad-bc$，若$\begin{vmatrix} x-2 & x+3 \\ x+1 & x-2 \end{vmatrix}=17$，则$x=$ ______
答案
14. -2
解析
【分析】
首先要理解题目给出的二阶行列式的新运算法则，按照“对角线相乘再相减”的规则，将给定的行列式转化为关于x的整式方程，再通过整式乘法运算、去括号、合并同类项、解一元一次方程的步骤求出x的值。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$(x-2)(x-2) - (x+3)(x+1) = 17$
分别展开两个乘积项：
左边第一项：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
左边第二项：$(x+3)(x+1) = x^2 + 4x + 3$
代入方程得：
$x^2 - 4x + 4 - (x^2 + 4x + 3) = 17$
去括号，注意符号变化：
$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 = 17$
合并同类项：
$-8x + 1 = 17$
移项得：
$-8x = 17 - 1$
$-8x = 16$
系数化为1：
$x = -2$
【答案】
-2
【知识点】
新定义运算，整式乘法，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类运算题，解题核心是准确理解新的运算法则，将陌生的行列式运算转化为已经掌握的整式运算与解方程问题，侧重考查知识迁移能力和基础计算能力，计算时要注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
首先要理解题目给出的二阶行列式的新运算法则，按照“对角线相乘再相减”的规则，将给定的行列式转化为关于x的整式方程，再通过整式乘法运算、去括号、合并同类项、解一元一次方程的步骤求出x的值。
【解析】
根据二阶行列式的运算法则$\begin{vmatrix}a&b\\c&d\end{vmatrix}=ad-bc$，可得：
$(x-2)(x-2) - (x+3)(x+1) = 17$
分别展开两个乘积项：
左边第一项：$(x-2)^2 = x^2 - 4x + 4$
左边第二项：$(x+3)(x+1) = x^2 + 4x + 3$
代入方程得：
$x^2 - 4x + 4 - (x^2 + 4x + 3) = 17$
去括号，注意符号变化：
$x^2 - 4x + 4 - x^2 - 4x - 3 = 17$
合并同类项：
$-8x + 1 = 17$
移项得：
$-8x = 17 - 1$
$-8x = 16$
系数化为1：
$x = -2$
【答案】
-2
【知识点】
新定义运算，整式乘法，解一元一次方程
【点评】
本题属于新定义类运算题，解题核心是准确理解新的运算法则，将陌生的行列式运算转化为已经掌握的整式运算与解方程问题，侧重考查知识迁移能力和基础计算能力，计算时要注意去括号的符号变化，避免出错。
【难度系数】
0.7
15. 计算：
(1) $(2x^2)^3 - x^2x^4$.
(2) $3a^3b^2 ÷ a^2 + b(-3ab)$.
(1) $(2x^2)^3 - x^2x^4$.
(2) $3a^3b^2 ÷ a^2 + b(-3ab)$.
答案
解：
(1) 原式 = 2³·(x²)³ - x^(2+4)
= 8x⁶ - x⁶
= 7x⁶
(2) 原式 = 3a^(3-2)b² - 3ab·b
= 3ab² - 3ab²
= 0
(1) 原式 = 2³·(x²)³ - x^(2+4)
= 8x⁶ - x⁶
= 7x⁶
(2) 原式 = 3a^(3-2)b² - 3ab·b
= 3ab² - 3ab²
= 0
解析
【分析】
这两道题都属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减”的运算顺序：
(1) 首先根据积的乘方法则计算$(2x^2)^3$，再根据同底数幂的乘法法则计算$x^2x^4$，最后合并同类项即可得到结果；
(2) 首先根据单项式除以单项式法则计算$3a^3b^2 ÷ a^2$，再根据单项式乘单项式法则计算$b(-3ab)$，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$= 2^3 · (x^2)^3 - x^{2+4}$
$= 8x^6 - x^6$
$= 7x^6$
(2) 原式$= 3a^{3-2}b^2 + b · (-3ab)$
$= 3ab^2 - 3ab^2$
$= 0$
【答案】
(1) $\boxed{7x^6}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
幂的运算性质、整式的乘除、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度和整式混合运算的顺序，计算时注意区分不同运算法则中指数的计算规则，避免因混淆法则出错。
【难度系数】
0.8
这两道题都属于整式的混合运算，解题时遵循“先乘方、再乘除、最后算加减”的运算顺序：
(1) 首先根据积的乘方法则计算$(2x^2)^3$，再根据同底数幂的乘法法则计算$x^2x^4$，最后合并同类项即可得到结果；
(2) 首先根据单项式除以单项式法则计算$3a^3b^2 ÷ a^2$，再根据单项式乘单项式法则计算$b(-3ab)$，最后合并同类项即可得到结果。
【解析】
(1) 原式$= 2^3 · (x^2)^3 - x^{2+4}$
$= 8x^6 - x^6$
$= 7x^6$
(2) 原式$= 3a^{3-2}b^2 + b · (-3ab)$
$= 3ab^2 - 3ab^2$
$= 0$
【答案】
(1) $\boxed{7x^6}$；(2) $\boxed{0}$
【知识点】
幂的运算性质、整式的乘除、合并同类项
【点评】
本题是整式运算的基础题型，核心考查对幂的各类运算法则的掌握程度和整式混合运算的顺序，计算时注意区分不同运算法则中指数的计算规则，避免因混淆法则出错。
【难度系数】
0.8
16. 先化简，再求值：$(x+y)^2+(3y+x)(3y-x)$，其中$x=2$，$y=-1$。
答案
16. 原式=$2xy+10y^2$，当$x=2$，$y=-1$时，原式=6
解析
【分析】
本题属于整式的化简求值题，解题思路可分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个部分，$(x+y)^2$符合完全平方公式的结构，$(3y+x)(3y-x)$符合平方差公式的结构，先分别利用对应的乘法公式展开，再合并同类项得到最简整式；第二步代入$x$、$y$的数值，按有理数运算规则计算出最终结果即可，先化简再代入能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先利用乘法公式展开原式：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2xy+y^2+[(3y)^2 - x^2]\\&=x^2+2xy+y^2+9y^2 - x^2\\&=2xy + 10y^2\end{aligned}$
将$x=2$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=2×2×(-1) + 10×(-1)^2\\&=-4 + 10×1\\&=-4+10\\&=6\end{aligned}$
【答案】
原式化简结果为$2xy+10y^2$，当$x=2$，$y=-1$时，原式的值为6
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方差公式
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式的识别与应用能力，以及合并同类项、有理数运算的计算能力，熟记乘法公式、运算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题属于整式的化简求值题，解题思路可分为两步：第一步先化简整式，观察原式的两个部分，$(x+y)^2$符合完全平方公式的结构，$(3y+x)(3y-x)$符合平方差公式的结构，先分别利用对应的乘法公式展开，再合并同类项得到最简整式；第二步代入$x$、$y$的数值，按有理数运算规则计算出最终结果即可，先化简再代入能大幅降低计算量，减少出错概率。
【解析】
解：先利用乘法公式展开原式：
$\begin{aligned}原式&=x^2+2xy+y^2+[(3y)^2 - x^2]\\&=x^2+2xy+y^2+9y^2 - x^2\\&=2xy + 10y^2\end{aligned}$
将$x=2$，$y=-1$代入化简后的式子：
$\begin{aligned}原式&=2×2×(-1) + 10×(-1)^2\\&=-4 + 10×1\\&=-4+10\\&=6\end{aligned}$
【答案】
原式化简结果为$2xy+10y^2$，当$x=2$，$y=-1$时，原式的值为6
【知识点】
1. 完全平方公式
2. 平方差公式
3. 整式化简求值
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对乘法公式的识别与应用能力，以及合并同类项、有理数运算的计算能力，熟记乘法公式、运算时细心即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
