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1.某家具厂新购回一批木料生产办公桌椅，用这批木料只做桌子可以做20张，只做椅子可以做30把。现在木料已经用去了$\frac{1}{4}$，剩下的木料还可以做多少套办公桌椅？（一张桌子和一把椅子为1套）
答案
$(1-\frac{1}{4})÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})$
$=\frac{3}{4}÷\frac{1}{12}$
$=9$（套）
答：剩下的木料还可以做9套办公桌椅。
$=\frac{3}{4}÷\frac{1}{12}$
$=9$（套）
答：剩下的木料还可以做9套办公桌椅。
解析
【分析】
我们可以把这批木料的总总量看作单位“1”来解题：第一步，先推导做1张桌子、1把椅子分别需要的木料占总木料的分率，总木料做20张桌子，所以1张桌子耗料为$\frac{1}{20}$，总木料做30把椅子，所以1把椅子耗料为$\frac{1}{30}$；第二步，计算剩余木料的占比，用总量1减去用掉的$\frac{1}{4}$即可；第三步，先算出做1套桌椅的总耗料分率，再用剩余木料分率除以1套的耗料分率，就能得到可做的套数。
【解析】
解：将这批木料总总量看作单位“1”。
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{4})÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})\\=&\frac{3}{4}÷\frac{1}{12}\\=&9（套）\end{aligned}$
答：剩下的木料还可以做9套办公桌椅。
【答案】
9套
【知识点】
单位“1”的应用、分数四则混合运算、工程类实际问题
【点评】
本题是非常典型的分数实际应用题型，解题核心是把未知的总木料量设为单位“1”，再根据单量、总量、数量三者的关系列式计算，能有效锻炼学生转化实际问题为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
我们可以把这批木料的总总量看作单位“1”来解题：第一步，先推导做1张桌子、1把椅子分别需要的木料占总木料的分率，总木料做20张桌子，所以1张桌子耗料为$\frac{1}{20}$，总木料做30把椅子，所以1把椅子耗料为$\frac{1}{30}$；第二步，计算剩余木料的占比，用总量1减去用掉的$\frac{1}{4}$即可；第三步，先算出做1套桌椅的总耗料分率，再用剩余木料分率除以1套的耗料分率，就能得到可做的套数。
【解析】
解：将这批木料总总量看作单位“1”。
$\begin{aligned}&(1-\frac{1}{4})÷(\frac{1}{20}+\frac{1}{30})\\=&\frac{3}{4}÷\frac{1}{12}\\=&9（套）\end{aligned}$
答：剩下的木料还可以做9套办公桌椅。
【答案】
9套
【知识点】
单位“1”的应用、分数四则混合运算、工程类实际问题
【点评】
本题是非常典型的分数实际应用题型，解题核心是把未知的总木料量设为单位“1”，再根据单量、总量、数量三者的关系列式计算，能有效锻炼学生转化实际问题为数学模型的能力。
【难度系数】
0.7
2.甲、乙两个车间生产一批红领巾，甲车间单独做需要8天完成，乙车间单独做需要10天完成。现在两个车间同时做了几天后，剩下的由乙车间继续做，3天后完成，那么甲、乙两个车间同时做了几天？
答案
把这批红领巾的总工作量看作单位“1”。
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{10} × 3) ÷ (\frac{1}{8} + \frac{1}{10})&= (1 - \frac{3}{10}) ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{7}{10} ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{28}{9}（天）\end{aligned}$
答：甲、乙两个车间同时做了$\frac{28}{9}$天。
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{10} × 3) ÷ (\frac{1}{8} + \frac{1}{10})&= (1 - \frac{3}{10}) ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{7}{10} ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{28}{9}（天）\end{aligned}$
答：甲、乙两个车间同时做了$\frac{28}{9}$天。
解析
【分析】
这是工程类应用题，首先我们把这批红领巾的总工作量看作单位“1”，先推导甲、乙的工作效率：甲单独8天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{8}$；乙单独10天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{10}$。接下来先计算乙单独做3天的工作量，用总工作量减去乙单独做的部分，得到甲乙合作完成的工作量，最后用合作工作量除以甲乙的效率和，就能求出两个车间同时工作的天数。
【解析】
把这批红领巾的总工作量看作单位“1”。
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{10} × 3) ÷ (\frac{1}{8} + \frac{1}{10})&= (1 - \frac{3}{10}) ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{7}{10} ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{28}{9}（天）\end{aligned}$
【答案】
$\frac{28}{9}$天
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率与总量关系
【点评】
本题是典型的工程基础题，解题关键是明确总工作量为单位“1”，理清各阶段工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，计算时注意分数通分、约分的准确性即可。
【难度系数】
0.7
这是工程类应用题，首先我们把这批红领巾的总工作量看作单位“1”，先推导甲、乙的工作效率：甲单独8天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{8}$；乙单独10天完成，每天完成总工作量的$\frac{1}{10}$。接下来先计算乙单独做3天的工作量，用总工作量减去乙单独做的部分，得到甲乙合作完成的工作量，最后用合作工作量除以甲乙的效率和，就能求出两个车间同时工作的天数。
【解析】
把这批红领巾的总工作量看作单位“1”。
$\begin{aligned}(1 - \frac{1}{10} × 3) ÷ (\frac{1}{8} + \frac{1}{10})&= (1 - \frac{3}{10}) ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{7}{10} ÷ \frac{9}{40}\\&= \frac{28}{9}（天）\end{aligned}$
【答案】
$\frac{28}{9}$天
【知识点】
工程问题、分数四则混合运算、工作效率与总量关系
【点评】
本题是典型的工程基础题，解题关键是明确总工作量为单位“1”，理清各阶段工作量、工作效率、工作时间三者的对应关系，计算时注意分数通分、约分的准确性即可。
【难度系数】
0.7
3.一项工程，甲、乙两队合作需6天完成。现在乙队先做7天，然后甲队做4天，共完成这项工程的$\frac{13}{15}$。如果把其余的工程交给乙队单独做，那么还要几天才能完成？
答案
$1÷6=\frac{1}{6}$
$(\frac{13}{15}-\frac{1}{6}×4)÷(7-4)=\frac{1}{15}$
$1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}$
$\frac{2}{15}÷\frac{1}{15}=2$（天）
答：还要2天才能完成。
$(\frac{13}{15}-\frac{1}{6}×4)÷(7-4)=\frac{1}{15}$
$1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}$
$\frac{2}{15}÷\frac{1}{15}=2$（天）
答：还要2天才能完成。
解析
【分析】
这是典型的工程问题，我们先将这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步，根据“甲、乙两队合作需6天完成”的条件，先算出甲乙合作的工作效率。第二步，把“乙队先做7天，甲队做4天”的工作安排，转化为“甲乙两队先合作4天，剩下的由乙队单独做7-4=3天”，这样就能用合作效率算出合作4天的工作量，用总共完成的$\frac{13}{15}$减去合作4天的工作量，即可得到乙队3天单独完成的工作量，进而求出乙队的工作效率。第三步，算出剩余的工作量，除以乙队的工作效率就能得到还需要的工作时间。
【解析】
解：将这项工程总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲乙两队合作的工作效率：
$1÷6=\frac{1}{6}$
2. 计算乙队的工作效率：
乙队单独做3天的工作量：$\frac{13}{15}-\frac{1}{6}×4=\frac{13}{15}-\frac{2}{3}=\frac{1}{5}$
乙队工作效率：$\frac{1}{5}÷(7-4)=\frac{1}{15}$
3. 计算剩余工作量：
$1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}$
4. 计算乙队完成剩余工作所需时间：
$\frac{2}{15}÷\frac{1}{15}=2$（天）
【答案】
还要2天才能完成。
【知识点】
工程问题，工作效率计算，分数四则运算
【点评】
本题是工程问题的常规变式，解题核心是对分散的工作时间进行合理重组，转化为合作加单独工作的组合，能很好地考察学生对工程量、工作效率、工作时间三者关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
这是典型的工程问题，我们先将这项工程的总工作量看作单位“1”。第一步，根据“甲、乙两队合作需6天完成”的条件，先算出甲乙合作的工作效率。第二步，把“乙队先做7天，甲队做4天”的工作安排，转化为“甲乙两队先合作4天，剩下的由乙队单独做7-4=3天”，这样就能用合作效率算出合作4天的工作量，用总共完成的$\frac{13}{15}$减去合作4天的工作量，即可得到乙队3天单独完成的工作量，进而求出乙队的工作效率。第三步，算出剩余的工作量，除以乙队的工作效率就能得到还需要的工作时间。
【解析】
解：将这项工程总工作量看作单位“1”。
1. 计算甲乙两队合作的工作效率：
$1÷6=\frac{1}{6}$
2. 计算乙队的工作效率：
乙队单独做3天的工作量：$\frac{13}{15}-\frac{1}{6}×4=\frac{13}{15}-\frac{2}{3}=\frac{1}{5}$
乙队工作效率：$\frac{1}{5}÷(7-4)=\frac{1}{15}$
3. 计算剩余工作量：
$1-\frac{13}{15}=\frac{2}{15}$
4. 计算乙队完成剩余工作所需时间：
$\frac{2}{15}÷\frac{1}{15}=2$（天）
【答案】
还要2天才能完成。
【知识点】
工程问题，工作效率计算，分数四则运算
【点评】
本题是工程问题的常规变式，解题核心是对分散的工作时间进行合理重组，转化为合作加单独工作的组合，能很好地考察学生对工程量、工作效率、工作时间三者关系的灵活运用能力。
【难度系数】
0.6
4.水果批发店有苹果、香蕉和梨共1500箱，当卖出苹果总数的$\frac{3}{5}$和30箱香蕉后，又运来15箱梨，这时剩下的三种水果的箱数恰好相等。水果店原有这三种水果各多少箱？
答案
解：设此时剩下的三种水果各为$x$箱。
原有苹果：$x÷(1-\frac{3}{5})=\frac{5}{2}x$箱
原有香蕉：$(x+30)$箱
原有梨：$(x-15)$箱
$\frac{5}{2}x + x + 30 + x - 15 = 1500$
$\frac{9}{2}x = 1485$
$x = 330$
原有苹果：$330÷(1-\frac{3}{5})=825$（箱）
原有香蕉：$330+30=360$（箱）
原有梨：$330-15=315$（箱）
答：水果店原有苹果825箱，香蕉360箱，梨315箱。
原有苹果：$x÷(1-\frac{3}{5})=\frac{5}{2}x$箱
原有香蕉：$(x+30)$箱
原有梨：$(x-15)$箱
$\frac{5}{2}x + x + 30 + x - 15 = 1500$
$\frac{9}{2}x = 1485$
$x = 330$
原有苹果：$330÷(1-\frac{3}{5})=825$（箱）
原有香蕉：$330+30=360$（箱）
原有梨：$330-15=315$（箱）
答：水果店原有苹果825箱，香蕉360箱，梨315箱。
解析
【分析】
解题的突破口是题目中“剩下的三种水果的箱数恰好相等”这一条件，我们可以设这个相等的剩下的箱数为x箱，再反向推导原有三种水果的箱数：①苹果卖出$\frac{3}{5}$后剩下x箱，说明剩下的苹果占原有苹果的$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，因此原有苹果的箱数可用x表示为$x÷\frac{2}{5}$；②香蕉卖出30箱后剩x箱，原有香蕉就是$x+30$箱；③梨运来15箱后是x箱，原有梨就是$x-15$箱。最后根据原有三种水果总箱数是1500箱的等量关系列方程，求出x后再分别计算三种水果原有的箱数即可。
【解析】
解：设此时剩下的三种水果各为$x$箱。
原有苹果：$x÷(1-\frac{3}{5})=\frac{5}{2}x$箱
原有香蕉：$(x+30)$箱
原有梨：$(x-15)$箱
根据总箱数可列方程：
$\frac{5}{2}x + x + 30 + x - 15 = 1500$
合并同类项得：$\frac{9}{2}x = 1485$
解得：$x = 330$
原有苹果：$330÷(1-\frac{3}{5})=825$（箱）
原有香蕉：$330+30=360$（箱）
原有梨：$330-15=315$（箱）
【答案】
水果店原有苹果825箱，香蕉360箱，梨315箱。
【知识点】
1. 列方程解实际问题
2. 分数除法应用
3. 等量关系分析
【点评】
本题的核心是抓住“剩下三种水果箱数相等”的关键条件，选择中间未知量设为x，能简化原有各量的表达，再结合总数量的等量关系列方程求解，降低了解题难度，是解决多量关系应用题的常用思路。
【难度系数】
0.6
解题的突破口是题目中“剩下的三种水果的箱数恰好相等”这一条件，我们可以设这个相等的剩下的箱数为x箱，再反向推导原有三种水果的箱数：①苹果卖出$\frac{3}{5}$后剩下x箱，说明剩下的苹果占原有苹果的$1-\frac{3}{5}=\frac{2}{5}$，因此原有苹果的箱数可用x表示为$x÷\frac{2}{5}$；②香蕉卖出30箱后剩x箱，原有香蕉就是$x+30$箱；③梨运来15箱后是x箱，原有梨就是$x-15$箱。最后根据原有三种水果总箱数是1500箱的等量关系列方程，求出x后再分别计算三种水果原有的箱数即可。
【解析】
解：设此时剩下的三种水果各为$x$箱。
原有苹果：$x÷(1-\frac{3}{5})=\frac{5}{2}x$箱
原有香蕉：$(x+30)$箱
原有梨：$(x-15)$箱
根据总箱数可列方程：
$\frac{5}{2}x + x + 30 + x - 15 = 1500$
合并同类项得：$\frac{9}{2}x = 1485$
解得：$x = 330$
原有苹果：$330÷(1-\frac{3}{5})=825$（箱）
原有香蕉：$330+30=360$（箱）
原有梨：$330-15=315$（箱）
【答案】
水果店原有苹果825箱，香蕉360箱，梨315箱。
【知识点】
1. 列方程解实际问题
2. 分数除法应用
3. 等量关系分析
【点评】
本题的核心是抓住“剩下三种水果箱数相等”的关键条件，选择中间未知量设为x，能简化原有各量的表达，再结合总数量的等量关系列方程求解，降低了解题难度，是解决多量关系应用题的常用思路。
【难度系数】
0.6
