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9.【例4】(人教八上P₁₂₅练习T₃改编)利用因式分解计算：$2.1^2 - 2.1×0.1$
答案
9. 解:原式 = 2.1×(2.1−0.1) = 2.1×2 = 4.2.
解析
【分析】
观察算式结构可知，两个运算项中都含有公共因数2.1，因此可优先选用提公因式法简化计算：先提取公因式2.1，将原式转化为两个数相乘的形式，先算括号内的减法、再算乘法，可避免直接计算乘方带来的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：原式 = 2.1×(2.1−0.1)
= 2.1×2
= 4.2
【答案】
4.2
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解简便运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是准确识别算式中的公因式，通过提公因式可有效简化运算步骤，提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.9
观察算式结构可知，两个运算项中都含有公共因数2.1，因此可优先选用提公因式法简化计算：先提取公因式2.1，将原式转化为两个数相乘的形式，先算括号内的减法、再算乘法，可避免直接计算乘方带来的繁琐运算，降低出错概率。
【解析】
解：原式 = 2.1×(2.1−0.1)
= 2.1×2
= 4.2
【答案】
4.2
【知识点】
提公因式法因式分解；因式分解简便运算
【点评】
本题属于因式分解的基础应用类题目，解题核心是准确识别算式中的公因式，通过提公因式可有效简化运算步骤，提升计算效率和正确率。
【难度系数】
0.9
10. 利用因式分解计算：
$16 × 3.14 + 85 × 3.14 - 3.14.$
$16 × 3.14 + 85 × 3.14 - 3.14.$
答案
10. 解:原式 = 3.14×(16+85−1) = 3.14×100 = 314.
解析
【分析】
观察算式可以发现，三个项中都含有共同的因数3.14，符合提公因式法的使用条件，因此可以通过提取公因式简化计算。解题时先把公因式3.14提取出来，将剩下的各项系数放在括号内做加减运算，再把计算结果和3.14相乘即可，能避免分别计算乘法再加减的复杂运算。
【解析】
解：原式 = 3.14×(16+85−1)
= 3.14×100
= 314
【答案】
314
【知识点】
提公因式法，简便计算
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题核心是准确识别出各项的公因式，提取公因式后可将复杂的乘加、乘减运算简化，大幅降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.9
观察算式可以发现，三个项中都含有共同的因数3.14，符合提公因式法的使用条件，因此可以通过提取公因式简化计算。解题时先把公因式3.14提取出来，将剩下的各项系数放在括号内做加减运算，再把计算结果和3.14相乘即可，能避免分别计算乘法再加减的复杂运算。
【解析】
解：原式 = 3.14×(16+85−1)
= 3.14×100
= 314
【答案】
314
【知识点】
提公因式法，简便计算
【点评】
本题是因式分解在简便运算中的典型应用，解题核心是准确识别出各项的公因式，提取公因式后可将复杂的乘加、乘减运算简化，大幅降低计算量和出错概率。
【难度系数】
0.9
1. (2026 湛江市期末)下列各式从左到右的变形为因式分解的是 (
A.$x^2 - 4 = (x - 2)^2 + 4x$
B.$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
C.$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$
D.$a^2 - 1 + 2a = (a + 1)(a - 1) + 2a$
B
)A.$x^2 - 4 = (x - 2)^2 + 4x$
B.$x^2 - 6x + 9 = (x - 3)^2$
C.$(a + 1)(a - 1) = a^2 - 1$
D.$a^2 - 1 + 2a = (a + 1)(a - 1) + 2a$
答案
1. B
解析
【分析】
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，同时变形必须是恒等变形（左右两边相等）。解题时我们就以这两个标准逐一排查每个选项即可：先看右边是不是整式乘积的形式，再验证变形是否恒等，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。我们逐个分析选项：
选项A：右边为$(x-2)^2+4x$，整体是加法形式，不是几个整式的乘积，且展开计算右边得$x^2+4$，和左边$x^2-4$不相等，不符合因式分解要求；
选项B：左边是多项式$x^2-6x+9$，右边$(x-3)^2$是两个相同整式$(x-3)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项D：右边为$(a+1)(a-1)+2a$，整体是加法形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对因式分解定义的掌握，判断时要牢牢抓住两个核心要点：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形必须是恒等变形，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
要判断一个变形是不是因式分解，首先要明确因式分解的核心定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，同时变形必须是恒等变形（左右两边相等）。解题时我们就以这两个标准逐一排查每个选项即可：先看右边是不是整式乘积的形式，再验证变形是否恒等，同时注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系。
【解析】
首先明确因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的乘积的形式，这类变形叫做因式分解。我们逐个分析选项：
选项A：右边为$(x-2)^2+4x$，整体是加法形式，不是几个整式的乘积，且展开计算右边得$x^2+4$，和左边$x^2-4$不相等，不符合因式分解要求；
选项B：左边是多项式$x^2-6x+9$，右边$(x-3)^2$是两个相同整式$(x-3)$的乘积，且左右两边恒等，完全符合因式分解的定义；
选项C：左边是两个整式的乘积，右边是多项式，属于整式乘法运算，是因式分解的逆过程，不属于因式分解；
选项D：右边为$(a+1)(a-1)+2a$，整体是加法形式，不是几个整式的乘积，不符合因式分解要求。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义、整式乘法
【点评】
本题是基础概念题，核心考查对因式分解定义的掌握，判断时要牢牢抓住两个核心要点：一是变形结果必须是几个整式的乘积形式，二是变形必须是恒等变形，同时要注意区分因式分解和整式乘法的互逆关系，避免把整式乘法错认成因式分解。
【难度系数】
0.8
2. (2025 长沙) 分解因式：$mx - 2my =$
$m(x - 2y)$
.答案
2. $m(x - 2y)$
解析
【分析】
这是一道因式分解的基础题，解题时首先观察多项式的两项特征：先判断各项是否存在公共的因式，可发现两项都含有因式m，因此确定公因式为m，随后直接提取公因式，将每项除去公因式后的剩余部分整理到括号内即可完成分解。
【解析】
解：观察多项式$mx - 2my$，确定两项的公因式为$m$，
提取公因式$m$后，剩余部分为$x-2y$，因此可得：
$mx - 2my = m(x - 2y)$
【答案】
$m(x - 2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对提公因式法的掌握，解题时只需准确识别公因式，提取后注意核对括号内的项数和符号即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
这是一道因式分解的基础题，解题时首先观察多项式的两项特征：先判断各项是否存在公共的因式，可发现两项都含有因式m，因此确定公因式为m，随后直接提取公因式，将每项除去公因式后的剩余部分整理到括号内即可完成分解。
【解析】
解：观察多项式$mx - 2my$，确定两项的公因式为$m$，
提取公因式$m$后，剩余部分为$x-2y$，因此可得：
$mx - 2my = m(x - 2y)$
【答案】
$m(x - 2y)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，核心考查对提公因式法的掌握，解题时只需准确识别公因式，提取后注意核对括号内的项数和符号即可，不易出错。
【难度系数】
0.9
3. 下列式子中，
①$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；②$x - 2xy = x(1 - 2y)$；
③$a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3)$；④$m^2 + 3m - n = m(m + 3) - n$；
⑤$m^2 + 2m - 3 = m(m + 2 - \dfrac{3}{m})$。
②③
是因式分解，①
是整式乘法.(填序号)①$(x+1)^2 = x^2 + 2x + 1$；②$x - 2xy = x(1 - 2y)$；
③$a^2 - 9 = (a + 3)(a - 3)$；④$m^2 + 3m - n = m(m + 3) - n$；
⑤$m^2 + 2m - 3 = m(m + 2 - \dfrac{3}{m})$。
答案
3. ②③ ①
解析
【分析】
解题首先要明确两个核心概念：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这个变形叫做因式分解；2. 整式乘法的定义：把几个整式相乘的形式展开为多项式（和/差的形式），和因式分解是互逆的变形过程。接下来我们逐个分析每一个式子，先看式子左右两边的形式，判断是从积变多项式，还是多项式变积，同时注意因式分解要求右边的每个因式都必须是整式，最终结果必须是乘积形式。
【解析】
先明确判断依据：
1. 因式分解需满足两个条件：变形对象是多项式，变形结果是几个整式的乘积形式；
2. 整式乘法是因式分解的逆过程，特征是从几个整式的乘积形式变形为多项式。
逐个判断5个式子：
①：左边$(x+1)^2$是两个整式的乘积形式，右边$x^2+2x+1$是多项式，属于整式乘法；
②：左边是多项式$x-2xy$，右边$x(1-2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解要求，属于因式分解；
③：左边是多项式$a^2-9$，右边$(a+3)(a-3)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解要求，属于因式分解；
④：右边$m(m+3)-n$是差的形式，不是乘积形式，既不属于因式分解也不属于整式乘法；
⑤：右边的因式$(m+2-\dfrac{3}{m})$中分母含字母，属于分式不是整式，不符合因式分解要求，既不属于因式分解也不属于整式乘法。
【答案】②③；①
【知识点】因式分解的定义；整式乘法的定义；整式的概念
【点评】本题主要考查因式分解和整式乘法的区分，解题的关键是牢牢掌握两个概念的本质特征，尤其注意因式分解的结果必须是几个整式的乘积，避免出现结果不是乘积、因式含分式的错误。
【难度系数】0.8
解题首先要明确两个核心概念：1. 因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这个变形叫做因式分解；2. 整式乘法的定义：把几个整式相乘的形式展开为多项式（和/差的形式），和因式分解是互逆的变形过程。接下来我们逐个分析每一个式子，先看式子左右两边的形式，判断是从积变多项式，还是多项式变积，同时注意因式分解要求右边的每个因式都必须是整式，最终结果必须是乘积形式。
【解析】
先明确判断依据：
1. 因式分解需满足两个条件：变形对象是多项式，变形结果是几个整式的乘积形式；
2. 整式乘法是因式分解的逆过程，特征是从几个整式的乘积形式变形为多项式。
逐个判断5个式子：
①：左边$(x+1)^2$是两个整式的乘积形式，右边$x^2+2x+1$是多项式，属于整式乘法；
②：左边是多项式$x-2xy$，右边$x(1-2y)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解要求，属于因式分解；
③：左边是多项式$a^2-9$，右边$(a+3)(a-3)$是两个整式的乘积形式，符合因式分解要求，属于因式分解；
④：右边$m(m+3)-n$是差的形式，不是乘积形式，既不属于因式分解也不属于整式乘法；
⑤：右边的因式$(m+2-\dfrac{3}{m})$中分母含字母，属于分式不是整式，不符合因式分解要求，既不属于因式分解也不属于整式乘法。
【答案】②③；①
【知识点】因式分解的定义；整式乘法的定义；整式的概念
【点评】本题主要考查因式分解和整式乘法的区分，解题的关键是牢牢掌握两个概念的本质特征，尤其注意因式分解的结果必须是几个整式的乘积，避免出现结果不是乘积、因式含分式的错误。
【难度系数】0.8
4. 用提公因式法因式分解$2x^2 - xy$时，应提取的公因式是
$x$
.答案
4. $x$
解析
【分析】
要确定提公因式法因式分解时的公因式，需按照“定系数→定字母→定次数”的步骤思考：第一步先找多项式各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步对相同字母取次数最低的幂，三者结合就是公因式。本题中先看两项的系数，2和-1的最大公约数是1；再看公共字母，两项都含有的字母只有x，y仅在第二项存在，不属于公共字母；最后看x的次数，最低是1次，因此可确定公因式。
【解析】
1. 定系数：多项式$2x^2 - xy$的两项系数分别为2和-1，最大公约数是1；
2. 定字母：两项中共同含有的字母只有x，y仅出现在第二项，不是公共字母；
3. 定次数：x在两项中的次数分别为2和1，取最低次幂1次。
综上，应提取的公因式为$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定次数”的三步规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
要确定提公因式法因式分解时的公因式，需按照“定系数→定字母→定次数”的步骤思考：第一步先找多项式各项系数的最大公约数；第二步找各项都含有的相同字母；第三步对相同字母取次数最低的幂，三者结合就是公因式。本题中先看两项的系数，2和-1的最大公约数是1；再看公共字母，两项都含有的字母只有x，y仅在第二项存在，不属于公共字母；最后看x的次数，最低是1次，因此可确定公因式。
【解析】
1. 定系数：多项式$2x^2 - xy$的两项系数分别为2和-1，最大公约数是1；
2. 定字母：两项中共同含有的字母只有x，y仅出现在第二项，不是公共字母；
3. 定次数：x在两项中的次数分别为2和1，取最低次幂1次。
综上，应提取的公因式为$x$。
【答案】
$x$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查公因式的确定方法，熟练掌握“定系数、定字母、定次数”的三步规则就能快速解题。
【难度系数】
0.9
5. 分解因式：
(1) $ab - ac =$
(2) $mn + n =$
(3) $a^2 + am =$
(4) $3x^2 + 2xy - x =$
(1) $ab - ac =$
$a(b - c)$
；(2) $mn + n =$
$n(m + 1)$
；(3) $a^2 + am =$
$a(a + m)$
；(4) $3x^2 + 2xy - x =$
$x(3x + 2y - 1)$
。答案
5. (1) $a(b - c)$ (2) $n(m + 1)$ (3) $a(a + m)$ (4) $x(3x + 2y - 1)$
解析
【分析】
这4道小题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：
1. 先确定各项的公因式：找所有项共同含有的因式，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂；
2. 提取公因式，将原式写成公因式乘剩余多项式的形式，注意每一项除以公因式得到的剩余项不能漏写，若某一项刚好就是公因式，提取后剩余的1不能省略。
逐题来看：(1)两项共有的因式是a；(2)两项共有的因式是n，第二项n提取n后剩余1；(3)两项共有的因式是a；(4)三项共有的因式是x，第三项-x提取x后剩余-1。
【解析】
(1) 原式中ab和ac的公因式为a，提取公因式得：
$ab - ac = a· b - a· c = a(b - c)$
(2) 原式中mn和n的公因式为n，提取公因式得：
$mn + n = n· m + n·1 = n(m + 1)$
(3) 原式中$a^2$和$am$的公因式为a，提取公因式得：
$a^2 + am = a· a + a· m = a(a + m)$
(4) 原式中$3x^2$、$2xy$、$-x$的公因式为x，提取公因式得：
$3x^2 + 2xy - x = x·3x + x·2y + x·(-1) = x(3x + 2y - 1)$
【答案】
(1) $a(b - c)$ (2) $n(m + 1)$ (3) $a(a + m)$ (4) $x(3x + 2y - 1)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出公因式，提取公因式时要注意剩余项不能漏写，尤其不要遗漏单独项提取公因式后剩余的1。
【难度系数】
0.9
这4道小题均考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：
1. 先确定各项的公因式：找所有项共同含有的因式，系数取最大公约数，相同字母取最低次幂；
2. 提取公因式，将原式写成公因式乘剩余多项式的形式，注意每一项除以公因式得到的剩余项不能漏写，若某一项刚好就是公因式，提取后剩余的1不能省略。
逐题来看：(1)两项共有的因式是a；(2)两项共有的因式是n，第二项n提取n后剩余1；(3)两项共有的因式是a；(4)三项共有的因式是x，第三项-x提取x后剩余-1。
【解析】
(1) 原式中ab和ac的公因式为a，提取公因式得：
$ab - ac = a· b - a· c = a(b - c)$
(2) 原式中mn和n的公因式为n，提取公因式得：
$mn + n = n· m + n·1 = n(m + 1)$
(3) 原式中$a^2$和$am$的公因式为a，提取公因式得：
$a^2 + am = a· a + a· m = a(a + m)$
(4) 原式中$3x^2$、$2xy$、$-x$的公因式为x，提取公因式得：
$3x^2 + 2xy - x = x·3x + x·2y + x·(-1) = x(3x + 2y - 1)$
【答案】
(1) $a(b - c)$ (2) $n(m + 1)$ (3) $a(a + m)$ (4) $x(3x + 2y - 1)$
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查提公因式法的应用，解题的关键是准确找出公因式，提取公因式时要注意剩余项不能漏写，尤其不要遗漏单独项提取公因式后剩余的1。
【难度系数】
0.9
6. 分解因式:(1)$3x + x^3$；
(2)$8a^3b^2 - 12ac + ab$.
(2)$8a^3b^2 - 12ac + ab$.
答案
6. (1) 解:原式 = $x · 3 + x · x^2 = x(3 + x^2)$.
(2) 解:原式 = $a · 8a^2b^2 - a · 12c + a · b$
$= a(8a^2b^2 - 12c + b)$.
(2) 解:原式 = $a · 8a^2b^2 - a · 12c + a · b$
$= a(8a^2b^2 - 12c + b)$.
解析
【分析】
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，把得到的商作为括号内的项，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。第(1)题两项的公因式是x，第(2)题三项的公因式是a，分别提取即可完成分解。
【解析】
(1) 拆分原式各项为含公因式x的形式：
原式 = $x · 3 + x · x^2$
提取公因式x，可得结果为$x(3 + x^2)$。
(2) 拆分原式各项为含公因式a的形式：
原式 = $a · 8a^2b^2 - a · 12c + a · b$
提取公因式a，可得结果为$a(8a^2b^2 - 12c + b)$。
【答案】
(1) $x(3 + x^2)$；(2) $a(8a^2b^2 - 12c + b)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确找出多项式的公因式，提取公因式时要注意不要漏写原多项式中单独的项，提取完成后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.9
这两道因式分解题均适用提公因式法求解，解题思路如下：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母，取相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；第二步将公因式提取出来，用原多项式的每一项除以公因式，把得到的商作为括号内的项，最终写成公因式乘括号内多项式的形式即可。第(1)题两项的公因式是x，第(2)题三项的公因式是a，分别提取即可完成分解。
【解析】
(1) 拆分原式各项为含公因式x的形式：
原式 = $x · 3 + x · x^2$
提取公因式x，可得结果为$x(3 + x^2)$。
(2) 拆分原式各项为含公因式a的形式：
原式 = $a · 8a^2b^2 - a · 12c + a · b$
提取公因式a，可得结果为$a(8a^2b^2 - 12c + b)$。
【答案】
(1) $x(3 + x^2)$；(2) $a(8a^2b^2 - 12c + b)$
【知识点】
提公因式法分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是准确找出多项式的公因式，提取公因式时要注意不要漏写原多项式中单独的项，提取完成后可通过整式乘法反向验证结果是否正确。
【难度系数】
0.9
7.（跨学科）如图，把$R_1,R_2,R_3$三个电阻串联起来，线路AB上的电流为$I$，电压为$U$，则$U=IR_1+IR_2+IR_3$，当$R_1=21.4,R_2=32.7,R_3=33.9,I=2.5$时，$U$的值为
220
。答案
7. 220
解析
【分析】
解题时首先观察所求电压U的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现各项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行变形，将式子简化为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，先计算三个电阻的和再乘以电流$I$，既能减少计算量，也能降低计算出错的概率，最后代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
首先对U的表达式提取公因式$I$进行因式分解：
$U=IR_1+IR_2+IR_3=I(R_1+R_2+R_3)$
先计算三个电阻的和：
$R_1+R_2+R_3=21.4+32.7+33.9=88$
将$I=2.5$、$R_1+R_2+R_3=88$代入简化后的式子：
$U=2.5×88=220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合物理串联电路的电压规律设置问题，考查了因式分解在代数简便计算中的实际应用，通过提取公因式简化运算步骤，体现了跨学科知识融合的特点，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.85
解题时首先观察所求电压U的表达式$U=IR_1+IR_2+IR_3$，发现各项都含有公因式$I$，因此可以先利用提公因式法对代数式进行变形，将式子简化为$U=I(R_1+R_2+R_3)$，先计算三个电阻的和再乘以电流$I$，既能减少计算量，也能降低计算出错的概率，最后代入对应数值计算即可得到结果。
【解析】
首先对U的表达式提取公因式$I$进行因式分解：
$U=IR_1+IR_2+IR_3=I(R_1+R_2+R_3)$
先计算三个电阻的和：
$R_1+R_2+R_3=21.4+32.7+33.9=88$
将$I=2.5$、$R_1+R_2+R_3=88$代入简化后的式子：
$U=2.5×88=220$
【答案】
220
【知识点】
提公因式法因式分解；代数式求值；有理数混合运算
【点评】
本题结合物理串联电路的电压规律设置问题，考查了因式分解在代数简便计算中的实际应用，通过提取公因式简化运算步骤，体现了跨学科知识融合的特点，侧重对基础运算能力的考查。
【难度系数】
0.85
8. (拓展题)若$2026^{2026} - 2026^{2024} = 2027 × 2025 × 2026^n$，求$n$的值.
答案
8. 解:$2\ 026^{2\ 026} - 2\ 026^{2\ 024} = 2\ 026^{2\ 024} × (2\ 026^2 - 1)$.
$2\ 027 × 2\ 025 × 2\ 026^n = (2\ 026 + 1) × (2\ 026 - 1) × 2\ 026^n = (2\ 026^2 - 1) × 2\ 026^n$.
$\therefore 2\ 026^{2\ 024} × (2\ 026^2 - 1) = (2\ 026^2 - 1) × 2\ 026^n$.
$\therefore 2\ 026^{2\ 024} = 2\ 026^n. \therefore n = 2\ 024$.
$2\ 027 × 2\ 025 × 2\ 026^n = (2\ 026 + 1) × (2\ 026 - 1) × 2\ 026^n = (2\ 026^2 - 1) × 2\ 026^n$.
$\therefore 2\ 026^{2\ 024} × (2\ 026^2 - 1) = (2\ 026^2 - 1) × 2\ 026^n$.
$\therefore 2\ 026^{2\ 024} = 2\ 026^n. \therefore n = 2\ 024$.
解析
【分析】
解题时首先观察等式左边的结构，两项均含2026的幂，且最高次与最低次相差2，因此第一步先提取公因式$2026^{2024}$，提取后剩余的部分为$2026^2-1$，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，可分解为$(2026+1)(2026-1)=2027×2025$，再将变形后的左边和右边对比，约去两侧相同的因式后，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可直接求出n的值。
【解析】
解：对等式左边变形：
$2026^{2026} - 2026^{2024} = 2026^{2024} × (2026^2 - 1)$
对等式右边的常数项变形：
$2027 × 2025 × 2026^n = (2026 + 1) × (2026 - 1) × 2026^n = (2026^2 - 1) × 2026^n$
因为左右两边相等，可得：
$2026^{2024} × (2026^2 - 1) = (2026^2 - 1) × 2026^n$
由于$2026^2 -1 ≠ 0$，两边同时除以$2026^2 -1$，得：
$2026^{2024} = 2026^n$
根据同底数幂相等，指数相等，因此$n = 2024$。
【答案】
$n=2024$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，同底数幂的性质
【点评】
本题综合考查整式运算相关知识的灵活应用，解题核心是通过提取公因式、套用平方差公式对等号两侧的式子做恒等变形，消去相同的因式后即可快速得到未知指数的值，有利于提升对因式分解和乘法公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
解题时首先观察等式左边的结构，两项均含2026的幂，且最高次与最低次相差2，因此第一步先提取公因式$2026^{2024}$，提取后剩余的部分为$2026^2-1$，刚好符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，可分解为$(2026+1)(2026-1)=2027×2025$，再将变形后的左边和右边对比，约去两侧相同的因式后，根据同底数幂相等时指数相等的性质，即可直接求出n的值。
【解析】
解：对等式左边变形：
$2026^{2026} - 2026^{2024} = 2026^{2024} × (2026^2 - 1)$
对等式右边的常数项变形：
$2027 × 2025 × 2026^n = (2026 + 1) × (2026 - 1) × 2026^n = (2026^2 - 1) × 2026^n$
因为左右两边相等，可得：
$2026^{2024} × (2026^2 - 1) = (2026^2 - 1) × 2026^n$
由于$2026^2 -1 ≠ 0$，两边同时除以$2026^2 -1$，得：
$2026^{2024} = 2026^n$
根据同底数幂相等，指数相等，因此$n = 2024$。
【答案】
$n=2024$
【知识点】
提公因式法因式分解，平方差公式，同底数幂的性质
【点评】
本题综合考查整式运算相关知识的灵活应用，解题核心是通过提取公因式、套用平方差公式对等号两侧的式子做恒等变形，消去相同的因式后即可快速得到未知指数的值，有利于提升对因式分解和乘法公式的应用能力。
【难度系数】
0.6
