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1. 填空：
答案
2x−2y 2x−2y x²−1 x²−1 整式 乘积
解析
【分析】
解题时先从左侧整式的计算入手：1. 计算单项式乘多项式$2(x-y)$，运用乘法分配律展开即可得到结果，将这个等式左右交换，就能得到第二列对应位置的式子；2. 计算多项式乘多项式$(x+1)(x-1)$，运用平方差公式计算得到结果，同样交换等式左右得到第二列对应式子。最后回忆因式分解的概念，填写概念中的关键词即可，要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。
【解析】
1. 第一行整式计算：根据单项式乘多项式的乘法分配律，$2(x-y)=2× x - 2× y = 2x-2y$，将等式左右两边互换，可得$2x-2y=2(x-y)$；
2. 第二行整式计算：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=1$，可得$(x+1)(x-1)=x^2 - 1^2 = x^2 -1$，将等式左右两边互换，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
3. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解，因此两个空依次填整式、乘积。
【答案】
$2x-2y$；$2x-2y$；$x^2-1$；$x^2-1$；整式；乘积
【知识点】
单项式乘多项式；平方差公式；因式分解的定义
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，属于基础概念类题目，只要熟练掌握整式乘法的运算法则，准确记忆因式分解的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
解题时先从左侧整式的计算入手：1. 计算单项式乘多项式$2(x-y)$，运用乘法分配律展开即可得到结果，将这个等式左右交换，就能得到第二列对应位置的式子；2. 计算多项式乘多项式$(x+1)(x-1)$，运用平方差公式计算得到结果，同样交换等式左右得到第二列对应式子。最后回忆因式分解的概念，填写概念中的关键词即可，要注意因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。
【解析】
1. 第一行整式计算：根据单项式乘多项式的乘法分配律，$2(x-y)=2× x - 2× y = 2x-2y$，将等式左右两边互换，可得$2x-2y=2(x-y)$；
2. 第二行整式计算：根据平方差公式$(a+b)(a-b)=a^2-b^2$，代入$a=x,b=1$，可得$(x+1)(x-1)=x^2 - 1^2 = x^2 -1$，将等式左右两边互换，可得$x^2-1=(x+1)(x-1)$；
3. 因式分解的概念：把一个多项式化成几个整式的乘积的形式，这种变形叫做多项式的因式分解，因此两个空依次填整式、乘积。
【答案】
$2x-2y$；$2x-2y$；$x^2-1$；$x^2-1$；整式；乘积
【知识点】
单项式乘多项式；平方差公式；因式分解的定义
【点评】
本题考查整式乘法与因式分解的互逆关系，属于基础概念类题目，只要熟练掌握整式乘法的运算法则，准确记忆因式分解的定义就能顺利解答。
【难度系数】
0.9
2.【例1】下列从左到右的变形:①$(x+4)(x-4)=x^2 -16$;②$x^2 +3x +2 =x(x+3)+2$;③$m +2mn =m(1+2n)$;④$3ax -6ay=3a(x-2y)$;⑤$5a -1 =a(5-\frac{1}{a})$. 其中属于因式分解的是
③④
.(填序号)答案
2. ③④
解析
【分析】
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需同时满足三个条件：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。接下来对照这三个条件逐个分析给出的变形即可。
【解析】
我们逐个判断每个变形：
①$(x+4)(x-4)=x^2 -16$：是把整式的积转化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不属于因式分解；
②$x^2 +3x +2 =x(x+3)+2$：变形的结果是和的形式，不是几个整式的乘积，不属于因式分解；
③$m +2mn =m(1+2n)$：左边是多项式，右边是整式$m$和整式$(1+2n)$的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，属于因式分解；
④$3ax -6ay=3a(x-2y)$：左边是多项式，右边是整式$3a$和整式$(x-2y)$的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，属于因式分解；
⑤$5a -1 =a(5-\frac{1}{a})$：右边的因式$\frac{1}{a}$是分式，不是整式，不符合因式分解的要求，不属于因式分解。
综上，属于因式分解的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法分解因式、整式的概念
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法，同时要注意因式分解的结果中所有因式都必须是整式，不能出现分式。
【难度系数】
0.7
要判断变形是否属于因式分解，首先要明确因式分解的定义：把一个多项式化成几个整式的积的形式，这种变形叫做因式分解。判断时需同时满足三个条件：①变形的对象是多项式；②变形的结果是几个整式的乘积形式；③变形是恒等变形，左右两边相等。接下来对照这三个条件逐个分析给出的变形即可。
【解析】
我们逐个判断每个变形：
①$(x+4)(x-4)=x^2 -16$：是把整式的积转化为多项式，属于整式乘法，是因式分解的逆变形，不属于因式分解；
②$x^2 +3x +2 =x(x+3)+2$：变形的结果是和的形式，不是几个整式的乘积，不属于因式分解；
③$m +2mn =m(1+2n)$：左边是多项式，右边是整式$m$和整式$(1+2n)$的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，属于因式分解；
④$3ax -6ay=3a(x-2y)$：左边是多项式，右边是整式$3a$和整式$(x-2y)$的乘积，且左右两边恒等，符合因式分解的定义，属于因式分解；
⑤$5a -1 =a(5-\frac{1}{a})$：右边的因式$\frac{1}{a}$是分式，不是整式，不符合因式分解的要求，不属于因式分解。
综上，属于因式分解的是③④。
【答案】
③④
【知识点】
因式分解的定义、提公因式法分解因式、整式的概念
【点评】
本题属于因式分解的基础考查题，解题关键是牢记因式分解的判断标准，注意区分因式分解和整式乘法，同时要注意因式分解的结果中所有因式都必须是整式，不能出现分式。
【难度系数】
0.7
3.（人教八上$\mathrm{P}_{125}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编）下列各式从左到右，属于因式分解的是（
A.$2a(m + n) = 2am + 2an$
B.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
C.$m(a + b + c) = am + bm + cm$
D.$x^2 + 6x + 16 = x(x + 6) + 16$
B
）A.$2a(m + n) = 2am + 2an$
B.$a^2 - b^2 = (a - b)(a + b)$
C.$m(a + b + c) = am + bm + cm$
D.$x^2 + 6x + 16 = x(x + 6) + 16$
答案
3. B
解析
【分析】
要判断是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：将一个多项式转化为几个整式的积的形式。解题时只需对照定义，逐个分析选项：首先看变形方向是否是从多项式变乘积，其次看结果是否为纯整式乘积的形式，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$a^2-b^2$，右边是两个整式$(a-b)$和$(a+b)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：同选项A，属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
选项D：右边是$x(x+6)$与16的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的特征：变形的对象是多项式，变形的最终结果必须是几个整式的乘积，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。
【难度系数】
0.8
要判断是否属于因式分解，首先需明确因式分解的核心定义：将一个多项式转化为几个整式的积的形式。解题时只需对照定义，逐个分析选项：首先看变形方向是否是从多项式变乘积，其次看结果是否为纯整式乘积的形式，排除不符合的选项即可得到答案。
【解析】
因式分解的定义：把一个多项式化为几个整式的积的变形，叫做因式分解。
选项A：左边是整式乘积的形式，右边是多项式相加的形式，属于整式乘法运算，不是因式分解，故A错误；
选项B：左边是多项式$a^2-b^2$，右边是两个整式$(a-b)$和$(a+b)$的乘积，完全符合因式分解的定义，故B正确；
选项C：同选项A，属于整式乘法运算，不是因式分解，故C错误；
选项D：右边是$x(x+6)$与16的和，不是几个整式乘积的形式，不符合因式分解的要求，故D错误。
综上，答案选B。
【答案】
B
【知识点】
因式分解的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，解题关键是准确掌握因式分解的特征：变形的对象是多项式，变形的最终结果必须是几个整式的乘积，注意区分因式分解和整式乘法是互逆的变形过程。
【难度系数】
0.8
4. 多项式中各项都有的公共的
因式
叫作这个多项式各项的公因式.答案
4. 因式
解析
【分析】
这道题考查公因式的基础定义，解题时只需回忆教材中公因式的相关概念即可。在学习提公因式法分解因式的知识点时，首先明确了公因式的核心属性：是多项式各项都共同含有的公共因式，对应题干空缺的内容即可确定答案。
【解析】
根据公因式的标准定义：多项式中各项都有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式，因此题干空缺处应填入“因式”。
【答案】
因式
【知识点】
公因式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
这道题考查公因式的基础定义，解题时只需回忆教材中公因式的相关概念即可。在学习提公因式法分解因式的知识点时，首先明确了公因式的核心属性：是多项式各项都共同含有的公共因式，对应题干空缺的内容即可确定答案。
【解析】
根据公因式的标准定义：多项式中各项都有的公共的因式叫作这个多项式各项的公因式，因此题干空缺处应填入“因式”。
【答案】
因式
【知识点】
公因式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，核心考查对教材基础定义的识记能力，熟练掌握相关概念就能快速作答。
【难度系数】
0.9
5.【例2】写出下列多项式各项的公因式:
(1)$ab - a$: ______;
(2)$x^3 + 12xy$: ______.
(1)$ab - a$: ______;
(2)$x^3 + 12xy$: ______.
答案
(1) a (2) x
解析
【分析】
要确定多项式各项的公因式，可按固定方法推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是该多项式各项的公因式。我们按这个方法分别分析两个小题即可。
【解析】
(1) 对多项式$ab - a$分析：
两项分别为$ab$和$-a$，系数的最大公约数是1；两项都含有的相同字母为$a$，$a$的最低次幂是1次，字母$b$仅第一项存在，不纳入公因式，因此公因式为$a$。
(2) 对多项式$x^3 + 12xy$分析：
两项分别为$x^3$和$12xy$，系数的最大公约数是1；两项都含有的相同字母为$x$，$x$的最低次幂是1次，字母$y$仅第二项存在，不纳入公因式，因此公因式为$x$。
【答案】
(1)$a$；(2)$x$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查公因式的确定规则，熟练掌握找公因式的三步法即可快速解题，是学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.9
要确定多项式各项的公因式，可按固定方法推导：第一步找各项系数的最大公约数，第二步找所有项都含有的相同字母，第三步取相同字母的最低次幂，三者的乘积就是该多项式各项的公因式。我们按这个方法分别分析两个小题即可。
【解析】
(1) 对多项式$ab - a$分析：
两项分别为$ab$和$-a$，系数的最大公约数是1；两项都含有的相同字母为$a$，$a$的最低次幂是1次，字母$b$仅第一项存在，不纳入公因式，因此公因式为$a$。
(2) 对多项式$x^3 + 12xy$分析：
两项分别为$x^3$和$12xy$，系数的最大公约数是1；两项都含有的相同字母为$x$，$x$的最低次幂是1次，字母$y$仅第二项存在，不纳入公因式，因此公因式为$x$。
【答案】
(1)$a$；(2)$x$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法
【点评】
本题是因式分解模块的基础题型，主要考查公因式的确定规则，熟练掌握找公因式的三步法即可快速解题，是学习提公因式法分解因式的核心基础。
【难度系数】
0.9
6. 填空：
(1) 多项式$a^2b -5a$的公因式是________；
(2) 多项式$2x^2y +4xy -y^2$的公因式是________。
(1) 多项式$a^2b -5a$的公因式是________；
(2) 多项式$2x^2y +4xy -y^2$的公因式是________。
答案
(1) a (2) y
解析
【分析】
找多项式的公因式可按三步法思考：①定系数：找各项系数的最大公约数，首项系数为正则最大公约数取正，首项系数为负则取负；②定字母：找出所有项都共同含有的字母；③定指数：取共同字母的最低次幂，将系数、共同字母、最低次幂结合就得到公因式。本题按照这三步分别分析两个多项式即可求出结果。
【解析】
(1) 对多项式$a^2b -5a$分析：
两项的系数分别为1和-5，最大公约数是1；两项都含有的相同字母是$a$；$a$在两项中的次数分别是2和1，取最低次幂1次，因此公因式为$a$。
(2) 对多项式$2x^2y +4xy -y^2$分析：
三项的系数分别为2、4、-1，最大公约数是1；三项都含有的相同字母是$y$；$y$在三项中的次数分别是1、1、2，取最低次幂1次，因此公因式为$y$。
【答案】
(1) $a$；(2) $y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于公因式判定的基础题，只要熟练掌握找公因式的三步法就能快速解题，该知识点是提公因式法分解因式的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
找多项式的公因式可按三步法思考：①定系数：找各项系数的最大公约数，首项系数为正则最大公约数取正，首项系数为负则取负；②定字母：找出所有项都共同含有的字母；③定指数：取共同字母的最低次幂，将系数、共同字母、最低次幂结合就得到公因式。本题按照这三步分别分析两个多项式即可求出结果。
【解析】
(1) 对多项式$a^2b -5a$分析：
两项的系数分别为1和-5，最大公约数是1；两项都含有的相同字母是$a$；$a$在两项中的次数分别是2和1，取最低次幂1次，因此公因式为$a$。
(2) 对多项式$2x^2y +4xy -y^2$分析：
三项的系数分别为2、4、-1，最大公约数是1；三项都含有的相同字母是$y$；$y$在三项中的次数分别是1、1、2，取最低次幂1次，因此公因式为$y$。
【答案】
(1) $a$；(2) $y$
【知识点】
公因式的确定，提公因式法分解因式
【点评】
本题属于公因式判定的基础题，只要熟练掌握找公因式的三步法就能快速解题，该知识点是提公因式法分解因式的核心基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
7.【例3】(人教八上$P_{125}$练习$T_{2}$改编)分解因式:
(1)$ax + ay =$
(2)$x^2 - 3x =$
(3)$x^2 + 2xy =$
(4)$a^2bc + abc^2 + b =$
(5)$xyz - y^2 + yz =$
(1)$ax + ay =$
a(x+y)
;(2)$x^2 - 3x =$
x(x-3)
;(3)$x^2 + 2xy =$
x(x+2y)
;(4)$a^2bc + abc^2 + b =$
b(a²c + ac² + 1)
;(5)$xyz - y^2 + yz =$
y(xz - y + z)
.答案
7. (1) a(x+y) (2) x(x−3) (3) x(x+2y) (4) b(a²c+ac²+1) (5) y(xz−y+z)
解析
【分析】
这组题目均用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是要提取的公因式；第二步提取公因式：将公因式写在括号外，用原式的每一项分别除以公因式，所得的结果按原式的符号顺序写在括号内；第三步检查：确认括号内没有可继续提取的公因式，尤其注意如果原式某一项恰好等于公因式，提取后括号内对应位置要保留1，不能漏写。
【解析】
(1) 观察$ax$和$ay$，各项的公因式是$a$，提取公因式$a$后，剩余部分为$x+y$，因此原式$=a(x+y)$；
(2) 观察$x^2$和$-3x$，各项的公因式是$x$，提取公因式$x$后，剩余部分为$x-3$，因此原式$=x(x-3)$；
(3) 观察$x^2$和$2xy$，各项的公因式是$x$，提取公因式$x$后，剩余部分为$x+2y$，因此原式$=x(x+2y)$；
(4) 观察$a^2bc$、$abc^2$和$b$，各项的公因式是$b$，提取公因式$b$后，剩余部分为$a^2c+ac^2+1$（注意最后一项$b÷ b=1$，不能省略），因此原式$=b(a^2c+ac^2+1)$；
(5) 观察$xyz$、$-y^2$和$yz$，各项的公因式是$y$，提取公因式$y$后，剩余部分为$xz-y+z$，因此原式$=y(xz-y+z)$。
【答案】
(1)$a(x+y)$；(2)$x(x-3)$；(3)$x(x+2y)$；(4)$b(a^2c+ac^2+1)$；(5)$y(xz-y+z)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础练习，核心是准确找到公因式，提取公因式时要注意符号正确，且不要漏写提取公因式后剩余的项，特别是整项作为公因式提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
这组题目均用提公因式法分解因式，解题思路如下：第一步先确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是要提取的公因式；第二步提取公因式：将公因式写在括号外，用原式的每一项分别除以公因式，所得的结果按原式的符号顺序写在括号内；第三步检查：确认括号内没有可继续提取的公因式，尤其注意如果原式某一项恰好等于公因式，提取后括号内对应位置要保留1，不能漏写。
【解析】
(1) 观察$ax$和$ay$，各项的公因式是$a$，提取公因式$a$后，剩余部分为$x+y$，因此原式$=a(x+y)$；
(2) 观察$x^2$和$-3x$，各项的公因式是$x$，提取公因式$x$后，剩余部分为$x-3$，因此原式$=x(x-3)$；
(3) 观察$x^2$和$2xy$，各项的公因式是$x$，提取公因式$x$后，剩余部分为$x+2y$，因此原式$=x(x+2y)$；
(4) 观察$a^2bc$、$abc^2$和$b$，各项的公因式是$b$，提取公因式$b$后，剩余部分为$a^2c+ac^2+1$（注意最后一项$b÷ b=1$，不能省略），因此原式$=b(a^2c+ac^2+1)$；
(5) 观察$xyz$、$-y^2$和$yz$，各项的公因式是$y$，提取公因式$y$后，剩余部分为$xz-y+z$，因此原式$=y(xz-y+z)$。
【答案】
(1)$a(x+y)$；(2)$x(x-3)$；(3)$x(x+2y)$；(4)$b(a^2c+ac^2+1)$；(5)$y(xz-y+z)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
这是提公因式法分解因式的基础练习，核心是准确找到公因式，提取公因式时要注意符号正确，且不要漏写提取公因式后剩余的项，特别是整项作为公因式提取后剩余的1不能省略。
【难度系数】
0.85
8. 分解因式:
(1) $m^2 - m$;
(2) $ab^2 - 3a^2b + b$.
(1) $m^2 - m$;
(2) $ab^2 - 3a^2b + b$.
答案
8. (1) 解:原式 = m·m − m·1 = m(m−1).
(2) 解:原式 = b·ab − b·3a² + b·1 = b(ab−3a²+1).
(2) 解:原式 = b·ab − b·3a² + b·1 = b(ab−3a²+1).
解析
【分析】
这两道题均使用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者组合就是公因式；第二步提取公因式，将公因式写在括号外，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果作为括号内的项，注意单独等于公因式的项提取后要保留1，不可漏写。
(1) 多项式$m^2 - m$的两项都含有公因式$m$，提取$m$后剩余的项分别为$m$和$-1$，组合即可得到分解结果。
(2) 多项式$ab^2 - 3a^2b + b$的三项都含有公因式$b$，提取$b$后剩余的项分别为$ab$、$-3a^2$和$1$，组合即可得到分解结果，注意最后一项提取$b$后剩余的$1$不能省略。
【解析】
(1) 原式$= m· m - m·1 = m(m - 1)$
(2) 原式$= b· ab - b·3a^2 + b·1 = b(ab - 3a^2 + 1)$
【答案】
(1) $m(m-1)$；(2) $b(ab-3a^2+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的易错点是提取公因式后，若某一项全部被提取，剩余的常数项1容易漏写，做题时可通过检查括号内的项数是否和原多项式的项数一致来避免漏项。
【难度系数】
0.85
这两道题均使用提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步先确定多项式各项的公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者组合就是公因式；第二步提取公因式，将公因式写在括号外，用多项式的每一项分别除以公因式，得到的结果作为括号内的项，注意单独等于公因式的项提取后要保留1，不可漏写。
(1) 多项式$m^2 - m$的两项都含有公因式$m$，提取$m$后剩余的项分别为$m$和$-1$，组合即可得到分解结果。
(2) 多项式$ab^2 - 3a^2b + b$的三项都含有公因式$b$，提取$b$后剩余的项分别为$ab$、$-3a^2$和$1$，组合即可得到分解结果，注意最后一项提取$b$后剩余的$1$不能省略。
【解析】
(1) 原式$= m· m - m·1 = m(m - 1)$
(2) 原式$= b· ab - b·3a^2 + b·1 = b(ab - 3a^2 + 1)$
【答案】
(1) $m(m-1)$；(2) $b(ab-3a^2+1)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心考查提公因式法的应用，解题的易错点是提取公因式后，若某一项全部被提取，剩余的常数项1容易漏写，做题时可通过检查括号内的项数是否和原多项式的项数一致来避免漏项。
【难度系数】
0.85
