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11. (2025 常州)先化简,再求值:$x(x + 2)+(x - 1)^2$,其中$x=\sqrt{3}$.
答案
11. 解:原式 = $x^2 + 2x + x^2 - 2x +1 = 2x^2 +1$.
当 $x=\sqrt{3}$ 时,原式 = $2 × (\sqrt{3})^2 +1 =7$.
当 $x=\sqrt{3}$ 时,原式 = $2 × (\sqrt{3})^2 +1 =7$.
解析
【分析】
本题为整式化简求值类题目，解题可分两步进行：第一步先化简整式，首先依据单项式乘多项式的运算法则计算$x(x+2)$，再依据完全平方公式展开$(x-1)^2$，随后合并同类项得到最简形式，先化简再代入可降低计算量、减少出错概率；第二步将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子，计算得到最终数值即可。
【解析】
解：先展开并合并同类项化简原式：
原式$=x^2 + 2x + x^2 - 2x +1 = 2x^2 +1$
将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子计算：
原式$=2 × (\sqrt{3})^2 +1 = 2×3 +1 =7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式乘多项式运算，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查整式混合运算的掌握程度，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式、完全平方公式的展开规则，合并同类项时注意甄别同类项，代入二次根式计算时要注意平方运算的正确性，整体计算量小，只要细心即可得分。
【难度系数】
0.8
本题为整式化简求值类题目，解题可分两步进行：第一步先化简整式，首先依据单项式乘多项式的运算法则计算$x(x+2)$，再依据完全平方公式展开$(x-1)^2$，随后合并同类项得到最简形式，先化简再代入可降低计算量、减少出错概率；第二步将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子，计算得到最终数值即可。
【解析】
解：先展开并合并同类项化简原式：
原式$=x^2 + 2x + x^2 - 2x +1 = 2x^2 +1$
将$x=\sqrt{3}$代入化简后的式子计算：
原式$=2 × (\sqrt{3})^2 +1 = 2×3 +1 =7$
【答案】
$7$
【知识点】
单项式乘多项式运算，完全平方公式，整式化简求值
【点评】
本题是基础运算类题型，核心考查整式混合运算的掌握程度，解题的关键是熟练掌握单项式乘多项式、完全平方公式的展开规则，合并同类项时注意甄别同类项，代入二次根式计算时要注意平方运算的正确性，整体计算量小，只要细心即可得分。
【难度系数】
0.8
12. 若多项式$(x^2 + mx + n)(x^2 - 3x + 4)$的展开式不含$x^3$项和$x^2$项，试求$m,n$的值.
答案
12. 解:原式 = $x^4 -3x^3 +4x^2 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
= $x^4 + (m -3)x^3 + (4 -3m +n)x^2 + (4m -3n)x +4n$.
由题意,得 $m -3 =0,4 -3m +n =0$.
解得 $m=3,n=5$.
= $x^4 + (m -3)x^3 + (4 -3m +n)x^2 + (4m -3n)x +4n$.
由题意,得 $m -3 =0,4 -3m +n =0$.
解得 $m=3,n=5$.
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确：多项式展开后不含某一项，意味着该项的系数为0。解题思路分为三步：第一步，用多项式乘多项式的法则将原式展开；第二步，合并同类项，分别找到$x^3$项和$x^2$项的系数；第三步，令这两项的系数分别为0，得到关于m、n的方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
原式 = $x^4 -3x^3 +4x^2 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
合并同类项后整理得：
= $x^4 + (m -3)x^3 + (4 -3m +n)x^2 + (4m -3n)x +4n$
由题意，展开式不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数为0，可得：
$m - 3 = 0$，$4 - 3m + n = 0$
解第一个方程得$m=3$，将$m=3$代入第二个方程：
$4 - 3×3 + n = 0$，解得$n=5$
【答案】
$m=3$，$n=5$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法章节的基础常考题，核心考查“多项式不含某一项即该项系数为0”的应用，解题关键是准确展开多项式、正确合并同类项，该类题型是掌握整式运算性质的基础训练题。
【难度系数】
0.75
要解决这个问题，首先要明确：多项式展开后不含某一项，意味着该项的系数为0。解题思路分为三步：第一步，用多项式乘多项式的法则将原式展开；第二步，合并同类项，分别找到$x^3$项和$x^2$项的系数；第三步，令这两项的系数分别为0，得到关于m、n的方程，解方程即可求出m、n的值。
【解析】
首先根据多项式乘多项式法则展开原式：
原式 = $x^4 -3x^3 +4x^2 +mx^3 -3mx^2 +4mx +nx^2 -3nx +4n$
合并同类项后整理得：
= $x^4 + (m -3)x^3 + (4 -3m +n)x^2 + (4m -3n)x +4n$
由题意，展开式不含$x^3$项和$x^2$项，因此这两项的系数为0，可得：
$m - 3 = 0$，$4 - 3m + n = 0$
解第一个方程得$m=3$，将$m=3$代入第二个方程：
$4 - 3×3 + n = 0$，解得$n=5$
【答案】
$m=3$，$n=5$
【知识点】
多项式乘多项式；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题是整式乘法章节的基础常考题，核心考查“多项式不含某一项即该项系数为0”的应用，解题关键是准确展开多项式、正确合并同类项，该类题型是掌握整式运算性质的基础训练题。
【难度系数】
0.75
13. (2026东莞市期末)如图,和谐广场有一块长为$(4a+2b)$米、宽为$(3a+b)$米的长方形空地,角上有两块边长均为$(a-b)$米的小正方形空地,现要将阴影部分进行绿化.(单位:米)
(1)用含有$a,b$的式子表示绿化的总面积;(结果写成最简形式)
(2)若$a=30,b=10$,求出绿化的总面积.
(1)用含有$a,b$的式子表示绿化的总面积;(结果写成最简形式)
(2)若$a=30,b=10$,求出绿化的总面积.
答案
13. 解:(1)根据题意,得 $(3a + b)(4a + 2b) - 2(a - b)^2 = 10a^2 +14ab$.
∴ 绿化的总面积为 $(10a^2 +14ab)$ 平方米.
(2)当 $a=30,b=10$ 时, $10a^2 +14ab = 10 × 30^2 +14 × 30 ×10 =13200$(平方米).
∴ 绿化的总面积为 13200 平方米.
∴ 绿化的总面积为 $(10a^2 +14ab)$ 平方米.
(2)当 $a=30,b=10$ 时, $10a^2 +14ab = 10 × 30^2 +14 × 30 ×10 =13200$(平方米).
∴ 绿化的总面积为 13200 平方米.
解析
【分析】
(1) 求阴影部分绿化面积可采用割补法：阴影面积等于大长方形空地的面积减去2个空白小正方形的面积。先分别根据长方形、正方形面积公式写出对应面积的代数式，再利用多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，最后合并同类项化简得到最简结果；
(2) 第二问属于代数式求值问题，将a=30、b=10直接代入第一问得到的最简代数式中，按先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到具体绿化面积。
【解析】
(1) 根据题意，绿化总面积=大长方形面积 - 2个小正方形面积：
$\begin{aligned}&(3a + b)(4a + 2b) - 2(a - b)^2\\=&12a^2 +6ab +4ab +2b^2 -2(a^2 -2ab +b^2)\\=&12a^2 +10ab +2b^2 -2a^2 +4ab -2b^2\\=&10a^2 +14ab\end{aligned}$
(2) 当$a=30,b=10$时，代入$10a^2 +14ab$得：
$\begin{aligned}&10 × 30^2 +14 × 30 ×10\\=&10×900 + 4200\\=&9000+4200\\=&13200\end{aligned}$
【答案】
(1) 绿化的总面积为$\boxed{(10a^2 +14ab)}$平方米；
(2) 当$a=30,b=10$时，绿化的总面积为$\boxed{13200}$平方米。
【知识点】
割补法求面积，整式的混合运算，代数式求值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是利用割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，重点考查整式运算的准确性，计算时注意去括号的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
(1) 求阴影部分绿化面积可采用割补法：阴影面积等于大长方形空地的面积减去2个空白小正方形的面积。先分别根据长方形、正方形面积公式写出对应面积的代数式，再利用多项式乘多项式法则、完全平方公式展开，最后合并同类项化简得到最简结果；
(2) 第二问属于代数式求值问题，将a=30、b=10直接代入第一问得到的最简代数式中，按先乘方、再乘除、最后加减的运算顺序计算即可得到具体绿化面积。
【解析】
(1) 根据题意，绿化总面积=大长方形面积 - 2个小正方形面积：
$\begin{aligned}&(3a + b)(4a + 2b) - 2(a - b)^2\\=&12a^2 +6ab +4ab +2b^2 -2(a^2 -2ab +b^2)\\=&12a^2 +10ab +2b^2 -2a^2 +4ab -2b^2\\=&10a^2 +14ab\end{aligned}$
(2) 当$a=30,b=10$时，代入$10a^2 +14ab$得：
$\begin{aligned}&10 × 30^2 +14 × 30 ×10\\=&10×900 + 4200\\=&9000+4200\\=&13200\end{aligned}$
【答案】
(1) 绿化的总面积为$\boxed{(10a^2 +14ab)}$平方米；
(2) 当$a=30,b=10$时，绿化的总面积为$\boxed{13200}$平方米。
【知识点】
割补法求面积，整式的混合运算，代数式求值
【点评】
本题是几何与代数结合的基础题，核心是利用割补法将不规则的阴影面积转化为规则图形面积的差，重点考查整式运算的准确性，计算时注意去括号的符号问题，避免因计算失误丢分。
【难度系数】
0.75
14.【阅读理解】阅读材料,解决下面的问题.
若 $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $, 求 $ m + n^2 $ 的值.
解:原等式即为 $ m^2 + 2mn + n^2 + n^2 - 6n + 9 = 0 $,
∴ $ (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0 $.
∴ $ m + n = 0, n - 3 = 0 $. 解得 $ n = 3, m = -3 $.
∴ $ m + n^2 = -3 + 9 = 6 $.
(1)若 $ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 0 $, 求 $ x + y $ 的值;
(2)求证:不论 $ x, y $ 取什么数, 多项式 $ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3 $ 的值总是正数;
(3)已知 $ a, b, c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长, 满足 $ a^2 + b^2 = 10a + 8b - 41 $, 且 $ △ ABC $ 的周长是14,求边长 $ c $.
若 $ m^2 + 2mn + 2n^2 - 6n + 9 = 0 $, 求 $ m + n^2 $ 的值.
解:原等式即为 $ m^2 + 2mn + n^2 + n^2 - 6n + 9 = 0 $,
∴ $ (m + n)^2 + (n - 3)^2 = 0 $.
∴ $ m + n = 0, n - 3 = 0 $. 解得 $ n = 3, m = -3 $.
∴ $ m + n^2 = -3 + 9 = 6 $.
(1)若 $ x^2 + 4x + 4 + y^2 - 8y + 16 = 0 $, 求 $ x + y $ 的值;
(2)求证:不论 $ x, y $ 取什么数, 多项式 $ x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3 $ 的值总是正数;
(3)已知 $ a, b, c $ 是 $ △ ABC $ 的三边长, 满足 $ a^2 + b^2 = 10a + 8b - 41 $, 且 $ △ ABC $ 的周长是14,求边长 $ c $.
答案
14. (1) 解:原等式即为 $(x + 2)^2 + (y -4)^2 =0$,
∴ $x +2 =0,y -4 =0$.
∴ $x = -2,y =4$.
∴ $x + y =2$.
(2) 证明: $x^2 + y^2 -2x +2y +3 = x^2 -2x +1 + y^2 +2y +1 +1 = (x -1)^2 + (y +1)^2 +1$.
∵ $(x -1)^2 ≥0,(y +1)^2 ≥0,∴ (x -1)^2 + (y +1)^2 +1 ＞0$.
∴ 不论 $x,y$ 取什么数,多项式 $x^2 + y^2 -2x + 2y + 3$ 的值总是正数.
(3) 解:
∵ $a^2 + b^2 =10a +8b -41$,
∴ $a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 =0$.
∴ $(a -5)^2 + (b -4)^2 =0$.
∴ $a -5 =0,b -4 =0$.
∴ $a =5,b =4$.
∵ $△ABC$ 的周长是 14,
∴ $c =14 -5 -4 =5$.
∴ $x +2 =0,y -4 =0$.
∴ $x = -2,y =4$.
∴ $x + y =2$.
(2) 证明: $x^2 + y^2 -2x +2y +3 = x^2 -2x +1 + y^2 +2y +1 +1 = (x -1)^2 + (y +1)^2 +1$.
∵ $(x -1)^2 ≥0,(y +1)^2 ≥0,∴ (x -1)^2 + (y +1)^2 +1 ＞0$.
∴ 不论 $x,y$ 取什么数,多项式 $x^2 + y^2 -2x + 2y + 3$ 的值总是正数.
(3) 解:
∵ $a^2 + b^2 =10a +8b -41$,
∴ $a^2 -10a +25 + b^2 -8b +16 =0$.
∴ $(a -5)^2 + (b -4)^2 =0$.
∴ $a -5 =0,b -4 =0$.
∴ $a =5,b =4$.
∵ $△ABC$ 的周长是 14,
∴ $c =14 -5 -4 =5$.
解析
【分析】
这组题目考查配方法与非负数性质的综合应用，解题核心是将含字母的项通过拆分常数项凑成完全平方的形式，利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解：
(1) 观察等式左侧，$x^2+4x+4$、$y^2-8y+16$都是完全平方式，直接写成两个平方和为0的形式，分别求出x、y的值再计算x+y即可；
(2) 要证明多项式值恒为正，将多项式中含x的项、含y的项分别分组凑完全平方，剩余的常数项为正数，结合平方的非负性即可证明整体恒大于0；
(3) 先将等式右侧的项移到左侧，对含a、含b的项分别配方求出a、b的值，再结合三角形周长即可求出边长c。
【解析】
(1) 解：原等式整理得 $(x+2)^2 + (y-4)^2 = 0$，
根据平方的非负性可得：$x+2=0$，$y-4=0$，
解得 $x=-2$，$y=4$，
∴ $x+y = -2 + 4 = 2$。
(2) 证明：将多项式配方得：
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3$
$= (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + 1$
$= (x-1)^2 + (y+1)^2 + 1$，
∵ 任意数的平方都是非负数，即 $(x-1)^2 ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，
∴ $(x-1)^2 + (y+1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
∴ 不论$x,y$取什么数，多项式$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3$的值总是正数。
(3) 解：将已知等式移项得：$a^2 + b^2 - 10a - 8b + 41 = 0$，
配方得：$(a^2 -10a +25) + (b^2 -8b +16) = 0$，
即 $(a-5)^2 + (b-4)^2 = 0$，
根据非负数性质得：$a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$，
∵ $△ ABC$的周长为14，
∴ $c = 14 - a - b = 14 -5 -4 =5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) 多项式的值总是正数，得证；
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据字母的一次项系数拆分常数项凑完全平方，结合非负数的性质可解决求值、恒正证明、几何结合等多类问题，是代数中常用的基础解题方法。
【难度系数】
0.7
这组题目考查配方法与非负数性质的综合应用，解题核心是将含字母的项通过拆分常数项凑成完全平方的形式，利用“若几个非负数的和为0，则每个非负数均为0”的性质求解：
(1) 观察等式左侧，$x^2+4x+4$、$y^2-8y+16$都是完全平方式，直接写成两个平方和为0的形式，分别求出x、y的值再计算x+y即可；
(2) 要证明多项式值恒为正，将多项式中含x的项、含y的项分别分组凑完全平方，剩余的常数项为正数，结合平方的非负性即可证明整体恒大于0；
(3) 先将等式右侧的项移到左侧，对含a、含b的项分别配方求出a、b的值，再结合三角形周长即可求出边长c。
【解析】
(1) 解：原等式整理得 $(x+2)^2 + (y-4)^2 = 0$，
根据平方的非负性可得：$x+2=0$，$y-4=0$，
解得 $x=-2$，$y=4$，
∴ $x+y = -2 + 4 = 2$。
(2) 证明：将多项式配方得：
$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3$
$= (x^2 - 2x + 1) + (y^2 + 2y + 1) + 1$
$= (x-1)^2 + (y+1)^2 + 1$，
∵ 任意数的平方都是非负数，即 $(x-1)^2 ≥ 0$，$(y+1)^2 ≥ 0$，
∴ $(x-1)^2 + (y+1)^2 + 1 ≥ 1 ＞ 0$，
∴ 不论$x,y$取什么数，多项式$x^2 + y^2 - 2x + 2y + 3$的值总是正数。
(3) 解：将已知等式移项得：$a^2 + b^2 - 10a - 8b + 41 = 0$，
配方得：$(a^2 -10a +25) + (b^2 -8b +16) = 0$，
即 $(a-5)^2 + (b-4)^2 = 0$，
根据非负数性质得：$a-5=0$，$b-4=0$，
解得 $a=5$，$b=4$，
∵ $△ ABC$的周长为14，
∴ $c = 14 - a - b = 14 -5 -4 =5$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{2}$；
(2) 多项式的值总是正数，得证；
(3) $\boldsymbol{5}$
【知识点】
配方法的应用，完全平方公式，非负数的性质
【点评】
本题重点考查配方法的灵活运用，需要熟练掌握完全平方公式的结构特征，能根据字母的一次项系数拆分常数项凑完全平方，结合非负数的性质可解决求值、恒正证明、几何结合等多类问题，是代数中常用的基础解题方法。
【难度系数】
0.7
