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第11课 整式的乘法章末复习
知识体系构建
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答案
1. $a^{m+n}$
2. $a^{mn}$
3. $a^{n}b^{n}$
4. $a^{m-n}$
5. 1
6. $a^{2}-b^{2}$
7. $a^{2}+2ab+b^{2}$
8. $a^{2}-2ab+b^{2}$
2. $a^{mn}$
3. $a^{n}b^{n}$
4. $a^{m-n}$
5. 1
6. $a^{2}-b^{2}$
7. $a^{2}+2ab+b^{2}$
8. $a^{2}-2ab+b^{2}$
解析
【分析】
本题考查整式乘除相关基础公式的识记与应用，解题思路如下：
1. 首先回忆幂的四类运算规则：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的法则，对应填写①-④空；
2. 回忆零指数幂的规定，填写第⑤空；
3. 回忆平方差公式、完全平方公式的内容，对应填写⑥-⑧空。所有空均为教材核心基础公式，准确记忆即可正确作答。
【解析】
根据整式乘除的相关运算法则和公式：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m,n$都是正整数）；
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）；
③ 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$为正整数）；
④ 同底数幂相除，底数不变，指数相减：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0,m,n$都是正整数且$m＞n$）；
⑤ 非零数的0次幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
⑥ 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；
⑦ 完全平方和公式：两个数的和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
⑧ 完全平方差公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【答案】
①$\boldsymbol{a^{m+n}}$；②$\boldsymbol{a^{mn}}$；③$\boldsymbol{a^nb^n}$；④$\boldsymbol{a^{m-n}}$；⑤$\boldsymbol{1}$；⑥$\boldsymbol{a^2-b^2}$；⑦$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2}$；⑧$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$
【知识点】
幂的运算法则；整式乘除运算；乘法公式
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是对整式乘除板块核心公式的记忆考查，这些公式是整式化简、因式分解等后续运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
本题考查整式乘除相关基础公式的识记与应用，解题思路如下：
1. 首先回忆幂的四类运算规则：同底数幂相乘、幂的乘方、积的乘方、同底数幂相除的法则，对应填写①-④空；
2. 回忆零指数幂的规定，填写第⑤空；
3. 回忆平方差公式、完全平方公式的内容，对应填写⑥-⑧空。所有空均为教材核心基础公式，准确记忆即可正确作答。
【解析】
根据整式乘除的相关运算法则和公式：
① 同底数幂相乘，底数不变，指数相加：$a^m · a^n = a^{m+n}$（$m,n$都是正整数）；
② 幂的乘方，底数不变，指数相乘：$(a^m)^n = a^{mn}$（$m,n$都是正整数）；
③ 积的乘方，把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘：$(ab)^n = a^n b^n$（$n$为正整数）；
④ 同底数幂相除，底数不变，指数相减：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0,m,n$都是正整数且$m＞n$）；
⑤ 非零数的0次幂的规定：任何不等于0的数的0次幂都等于1，即$a^0=1$（$a≠0$）；
⑥ 平方差公式：两个数的和与这两个数的差的积，等于这两个数的平方差，即$(a+b)(a-b)=a^2 - b^2$；
⑦ 完全平方和公式：两个数的和的平方，等于它们的平方和加上它们的积的2倍，即$(a+b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$；
⑧ 完全平方差公式：两个数的差的平方，等于它们的平方和减去它们的积的2倍，即$(a-b)^2 = a^2 - 2ab + b^2$。
【答案】
①$\boldsymbol{a^{m+n}}$；②$\boldsymbol{a^{mn}}$；③$\boldsymbol{a^nb^n}$；④$\boldsymbol{a^{m-n}}$；⑤$\boldsymbol{1}$；⑥$\boldsymbol{a^2-b^2}$；⑦$\boldsymbol{a^2+2ab+b^2}$；⑧$\boldsymbol{a^2-2ab+b^2}$
【知识点】
幂的运算法则；整式乘除运算；乘法公式
【点评】
本题属于基础概念类题型，核心是对整式乘除板块核心公式的记忆考查，这些公式是整式化简、因式分解等后续运算的基础，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.9
1. (2025无锡)下列运算正确的是 (
A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^2 · a^4 = a^6$
C.$(a^2)^4 = a^6$
D.$a^4 ÷ a = a^4$
B
)A.$a^2 + a^4 = a^6$
B.$a^2 · a^4 = a^6$
C.$(a^2)^4 = a^6$
D.$a^4 ÷ a = a^4$
答案
1. B
解析
【分析】
本题考查整式运算中幂的相关运算法则及合并同类项规则，解题时需逐个对应选项涉及的运算，结合对应法则判断正误即可：首先明确合并同类项的前提是所含字母及相同字母的指数均一致；其次分别回忆同底数幂的乘除、幂的乘方的运算规则，逐一分析四个选项的运算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$和$a^4$中相同字母$a$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^4=a^{2+4}=a^6$，因此B运算正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8≠a^6$，因此C运算错误；
D选项：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^4÷a=a^{4-1}=a^3≠a^4$，因此D运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的运算；幂的乘方
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整式运算的基础法则，解题的关键是熟练区分不同幂运算的指数变化规律，避免混淆各类运算法则导致出错。
【难度系数】
0.85
本题考查整式运算中幂的相关运算法则及合并同类项规则，解题时需逐个对应选项涉及的运算，结合对应法则判断正误即可：首先明确合并同类项的前提是所含字母及相同字母的指数均一致；其次分别回忆同底数幂的乘除、幂的乘方的运算规则，逐一分析四个选项的运算是否符合规则即可选出正确答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：$a^2$和$a^4$中相同字母$a$的指数不同，不属于同类项，不能直接合并相加，因此A运算错误；
B选项：根据同底数幂的乘法法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，可得$a^2·a^4=a^{2+4}=a^6$，因此B运算正确；
C选项：根据幂的乘方法则：幂的乘方，底数不变，指数相乘，可得$(a^2)^4=a^{2×4}=a^8≠a^6$，因此C运算错误；
D选项：根据同底数幂的除法法则：同底数幂相除，底数不变，指数相减，可得$a^4÷a=a^{4-1}=a^3≠a^4$，因此D运算错误。
综上，运算正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
合并同类项；同底数幂的运算；幂的乘方
【点评】
本题属于基础常考题，核心考查整式运算的基础法则，解题的关键是熟练区分不同幂运算的指数变化规律，避免混淆各类运算法则导致出错。
【难度系数】
0.85
2. 计算$-2x(5x + 2)$的结果是（
A.$-10x^2 - 2$
B.$10x^2 + 4x$
C.$10x^2 - 4x$
D.$-10x^2 - 4x$
D
）A.$-10x^2 - 2$
B.$10x^2 + 4x$
C.$10x^2 - 4x$
D.$-10x^2 - 4x$
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先识别运算类型为单项式乘多项式，回忆对应运算法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得的积相加。运算时需重点关注两点：一是相乘时系数的符号处理，二是同底数幂相乘的运算规则，同时注意不要漏乘多项式的常数项。本题中单项式为$-2x$，多项式为$5x+2$，共有$5x$和$+2$两项，分别计算乘积后合并即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-2x(5x + 2) &= (-2x) × 5x + (-2x) × 2 \\&= (-2 × 5) · (x · x) + (-2 × 2) · x \\&= -10x^2 - 4x\end{aligned}$
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需注意符号的运算，避免出现漏乘项、符号判断错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
本题考查单项式乘多项式的运算，解题思路如下：首先识别运算类型为单项式乘多项式，回忆对应运算法则：用单项式依次乘多项式的每一项，再将所得的积相加。运算时需重点关注两点：一是相乘时系数的符号处理，二是同底数幂相乘的运算规则，同时注意不要漏乘多项式的常数项。本题中单项式为$-2x$，多项式为$5x+2$，共有$5x$和$+2$两项，分别计算乘积后合并即可得到结果。
【解析】
根据单项式乘多项式的运算法则计算：
$\begin{aligned}-2x(5x + 2) &= (-2x) × 5x + (-2x) × 2 \\&= (-2 × 5) · (x · x) + (-2 × 2) · x \\&= -10x^2 - 4x\end{aligned}$
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
1. 单项式乘多项式
2. 同底数幂的乘法
【点评】
本题是整式乘法的基础题型，主要考查单项式乘多项式的运算规则，解题时需注意符号的运算，避免出现漏乘项、符号判断错误等常见问题。
【难度系数】
0.8
3. 计算$4a · 3a^2b ÷ (2ab)$的结果是（
A.$6a$
B.$6ab$
C.$6a^2$
D.$6a^2b^2$
C
）A.$6a$
B.$6ab$
C.$6a^2$
D.$6a^2b^2$
答案
3. C
解析
【分析】
本题是单项式的乘除混合运算题，解题时按照从左到右的运算顺序计算即可：第一步先根据单项式乘单项式的法则计算乘法部分，分别计算系数的乘积、相同字母的幂的乘积，单独出现的字母直接保留作为积的因式；第二步再根据单项式除以单项式的法则计算除法部分，分别计算系数的商、相同字母的幂的商，最终化简得到结果后匹配选项即可。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 先计算乘法：$4a · 3a^2b$
根据单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数保留
$4×3 = 12$，$a·a^2 = a^{1+2}=a^3$，字母$b$保留
得：$4a · 3a^2b = 12a^3b$
2. 再计算除法：$12a^3b ÷ (2ab)$
根据单项式除以单项式法则：系数相除，同底数幂相除，相同字母都存在时约去
$12÷2 = 6$，$a^3÷a = a^{3-1}=a^2$，$b÷b = b^{1-1}=1$
得：$12a^3b ÷ (2ab) = 6a^2$
综上，计算结果为$6a^2$。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；单项式除以单项式；同底数幂的运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘除的运算法则，解题时需注意运算顺序，以及同底数幂运算时的指数变化规律，避免因指数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
本题是单项式的乘除混合运算题，解题时按照从左到右的运算顺序计算即可：第一步先根据单项式乘单项式的法则计算乘法部分，分别计算系数的乘积、相同字母的幂的乘积，单独出现的字母直接保留作为积的因式；第二步再根据单项式除以单项式的法则计算除法部分，分别计算系数的商、相同字母的幂的商，最终化简得到结果后匹配选项即可。
【解析】
按照运算顺序分步计算：
1. 先计算乘法：$4a · 3a^2b$
根据单项式乘单项式法则：系数相乘，同底数幂相乘，其余字母连同指数保留
$4×3 = 12$，$a·a^2 = a^{1+2}=a^3$，字母$b$保留
得：$4a · 3a^2b = 12a^3b$
2. 再计算除法：$12a^3b ÷ (2ab)$
根据单项式除以单项式法则：系数相除，同底数幂相除，相同字母都存在时约去
$12÷2 = 6$，$a^3÷a = a^{3-1}=a^2$，$b÷b = b^{1-1}=1$
得：$12a^3b ÷ (2ab) = 6a^2$
综上，计算结果为$6a^2$。
【答案】
C
【知识点】
单项式乘单项式；单项式除以单项式；同底数幂的运算
【点评】
本题属于整式运算的基础题型，核心考查单项式乘除的运算法则，解题时需注意运算顺序，以及同底数幂运算时的指数变化规律，避免因指数计算错误丢分。
【难度系数】
0.8
4. (人教八上 $\mathrm{P}_{102}$ 习题 $\mathrm{T}_7$ 改编) 电子文件的大小常用 B, KB, MB, GB 等作为单位,其中 $1\ \mathrm{GB} = 2^{10}\ \mathrm{MB}$, $1\ \mathrm{MB} = 2^{10}\ \mathrm{KB}$, $1\ \mathrm{KB} = 2^{10}\ \mathrm{B}$. 某视频文件的大小约为 $1\ \mathrm{GB}$,则 $1\ \mathrm{GB}$ 等于 (
A.$2^{30}\ \mathrm{B}$
B.$8^{30}\ \mathrm{B}$
C.$8 × 10^{10}\ \mathrm{B}$
D.$2 × 10^{30}\ \mathrm{B}$
A
)A.$2^{30}\ \mathrm{B}$
B.$8^{30}\ \mathrm{B}$
C.$8 × 10^{10}\ \mathrm{B}$
D.$2 × 10^{30}\ \mathrm{B}$
答案
4. A
解析
【分析】
要解决这道题，我们需要按照单位换算的规则，从大单位GB逐级换算到小单位B，再结合同底数幂的乘法法则计算最终结果。首先明确各级相邻单位的进率为$2^{10}$，要把GB换算成B，需要连续三次乘进率$2^{10}$，再运用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题目给出的单位换算关系：
$1\ \mathrm{GB} = 2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB} = 2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB} = 2^{10}\ \mathrm{B}$
将GB逐级换算为B可得：
$\begin{aligned}1\ \mathrm{GB}&=2^{10}×2^{10}×2^{10}\ \mathrm{B} \\&=2^{10+10+10}\ \mathrm{B} \\&=2^{30}\ \mathrm{B}\end{aligned}$
符合A选项的结果。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、单位换算
【点评】
本题结合生活中常见的电子文件单位设置问题，考查基础知识的实际应用能力，情境贴近生活，只要熟练掌握单位换算的方法和同底数幂的运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，我们需要按照单位换算的规则，从大单位GB逐级换算到小单位B，再结合同底数幂的乘法法则计算最终结果。首先明确各级相邻单位的进率为$2^{10}$，要把GB换算成B，需要连续三次乘进率$2^{10}$，再运用同底数幂相乘“底数不变、指数相加”的运算规则计算即可得到结果。
【解析】
解：根据题目给出的单位换算关系：
$1\ \mathrm{GB} = 2^{10}\ \mathrm{MB}$，$1\ \mathrm{MB} = 2^{10}\ \mathrm{KB}$，$1\ \mathrm{KB} = 2^{10}\ \mathrm{B}$
将GB逐级换算为B可得：
$\begin{aligned}1\ \mathrm{GB}&=2^{10}×2^{10}×2^{10}\ \mathrm{B} \\&=2^{10+10+10}\ \mathrm{B} \\&=2^{30}\ \mathrm{B}\end{aligned}$
符合A选项的结果。
【答案】
A
【知识点】
同底数幂的乘法、单位换算
【点评】
本题结合生活中常见的电子文件单位设置问题，考查基础知识的实际应用能力，情境贴近生活，只要熟练掌握单位换算的方法和同底数幂的运算规则就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
5.已知$(a+b)^2=29$，$(a-b)^2=13$，则$ab$的值为（
A.42
B.16
C.8
D.4
D
）A.42
B.16
C.8
D.4
答案
5. D
解析
【分析】
首先回忆完全平方公式的展开形式，已知的两个等式分别是两数和的平方、两数差的平方，将两个等式分别展开后，会发现两个展开式中都含有$a^2+b^2$和$ab$项，将两式作差即可消去$a^2$和$b^2$，得到只含$ab$的方程，求解即可得到$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=29$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=13$ ②
用①式减去②式：
左边$=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$
右边$=29-13=16$
可得$4ab=16$，解得$ab=4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握两数和、两数差的完全平方公式的结构特征，通过两式作差消去公共项是解题的关键，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
首先回忆完全平方公式的展开形式，已知的两个等式分别是两数和的平方、两数差的平方，将两个等式分别展开后，会发现两个展开式中都含有$a^2+b^2$和$ab$项，将两式作差即可消去$a^2$和$b^2$，得到只含$ab$的方程，求解即可得到$ab$的值。
【解析】
根据完全平方公式展开已知等式：
$(a+b)^2=a^2+2ab+b^2=29$ ①
$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2=13$ ②
用①式减去②式：
左边$=(a^2+2ab+b^2)-(a^2-2ab+b^2)=4ab$
右边$=29-13=16$
可得$4ab=16$，解得$ab=4$。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，整式的加减运算
【点评】
本题考查完全平方公式的灵活应用，掌握两数和、两数差的完全平方公式的结构特征，通过两式作差消去公共项是解题的关键，属于常考的基础题型。
【难度系数】
0.8
6. 计算:$(-3)^0 + 2^8 ÷ 2^6 =$
5
.答案
6. 5
解析
【分析】
这道题考查有理数的混合运算，涉及零指数幂和同底数幂的除法两个核心知识点。解题时遵循先算乘方、再算除法、最后算加法的运算顺序：第一步先计算零指数幂，牢记非零数的零次幂等于1的性质；第二步计算同底数幂的除法，按照“底数不变，指数相减”的法则运算；最后将两部分结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：根据相关运算法则分步计算：
1. 计算零指数幂：
∵ 任何不等于0的数的0次幂都等于1，且$-3≠0$
∴ $(-3)^0 = 1$
2. 计算同底数幂的除法：
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）
可得 $2^8 ÷ 2^6 = 2^{8-6} = 2^2 = 4$
3. 计算加法求和：
$1 + 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 零指数幂性质
2. 同底数幂的除法
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对基础运算法则的记忆和运用，运算时注意先明确运算顺序，再结合对应法则计算，同时要注意零指数幂的底数不能为0的限制条件，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.9
这道题考查有理数的混合运算，涉及零指数幂和同底数幂的除法两个核心知识点。解题时遵循先算乘方、再算除法、最后算加法的运算顺序：第一步先计算零指数幂，牢记非零数的零次幂等于1的性质；第二步计算同底数幂的除法，按照“底数不变，指数相减”的法则运算；最后将两部分结果相加即可得到最终答案。
【解析】
解：根据相关运算法则分步计算：
1. 计算零指数幂：
∵ 任何不等于0的数的0次幂都等于1，且$-3≠0$
∴ $(-3)^0 = 1$
2. 计算同底数幂的除法：
根据同底数幂的除法法则：$a^m ÷ a^n = a^{m-n}$（$a≠0$，m、n为正整数，$m＞n$）
可得 $2^8 ÷ 2^6 = 2^{8-6} = 2^2 = 4$
3. 计算加法求和：
$1 + 4 = 5$
【答案】
5
【知识点】
1. 零指数幂性质
2. 同底数幂的除法
3. 有理数混合运算
【点评】
本题属于基础运算题，主要考查对基础运算法则的记忆和运用，运算时注意先明确运算顺序，再结合对应法则计算，同时要注意零指数幂的底数不能为0的限制条件，避免出现概念性错误。
【难度系数】
0.9
7. 计算：$(\frac{1}{2})^{2026} × (-2)^{2026} =$
1
.答案
7. 1
解析
【分析】
解题时首先观察算式特征，发现两个幂的指数均为2026，符合积的乘方运算性质逆用的条件，因此可以先将两个底数相乘，再求乘积的2026次幂，以此简化高次幂的计算，最后根据负数的偶次幂为正得出结果。
【解析】
根据积的乘方运算性质的逆用：$a^n × b^n = (ab)^n$（$n$为正整数），可得：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2})^{2026} × (-2)^{2026}&=[\frac{1}{2} × (-2)]^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方的逆运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是观察到两个幂指数相同的特征，通过逆用积的乘方公式简化运算，避免直接计算高次幂，是幂运算章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察算式特征，发现两个幂的指数均为2026，符合积的乘方运算性质逆用的条件，因此可以先将两个底数相乘，再求乘积的2026次幂，以此简化高次幂的计算，最后根据负数的偶次幂为正得出结果。
【解析】
根据积的乘方运算性质的逆用：$a^n × b^n = (ab)^n$（$n$为正整数），可得：
$\begin{aligned}(\frac{1}{2})^{2026} × (-2)^{2026}&=[\frac{1}{2} × (-2)]^{2026}\\&=(-1)^{2026}\\&=1\end{aligned}$
【答案】
1
【知识点】
积的乘方的逆运算；有理数的乘方
【点评】
本题属于基础运算题，解题核心是观察到两个幂指数相同的特征，通过逆用积的乘方公式简化运算，避免直接计算高次幂，是幂运算章节的常见考查题型。
【难度系数】
0.8
8. 一个长方形的面积为$6a^2 - 2ab^2$,其中一边长为$2a$,则长方形的另一边长为
$3a - b^2$
.答案
8. $3a - b^2$
解析
【分析】
要计算长方形的另一边长，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=相邻两边长的乘积，因此另一边长=长方形面积÷已知边长。接下来只需运用多项式除以单项式的运算法则计算即可，运算时要注意每一项的符号不要出错。
【解析】
根据长方形面积公式可得，另一边长为：
$\begin{split}&(6a^2 - 2ab^2) ÷ 2a \\=&6a^2 ÷ 2a - 2ab^2 ÷ 2a \\=&3a - b^2\end{split}$
【答案】
$3a - b^2$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的面积计算和整式的除法运算相结合，只要熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
要计算长方形的另一边长，首先回忆长方形的面积公式：长方形面积=相邻两边长的乘积，因此另一边长=长方形面积÷已知边长。接下来只需运用多项式除以单项式的运算法则计算即可，运算时要注意每一项的符号不要出错。
【解析】
根据长方形面积公式可得，另一边长为：
$\begin{split}&(6a^2 - 2ab^2) ÷ 2a \\=&6a^2 ÷ 2a - 2ab^2 ÷ 2a \\=&3a - b^2\end{split}$
【答案】
$3a - b^2$
【知识点】
长方形面积计算、多项式除以单项式
【点评】
本题属于基础题，将几何图形的面积计算和整式的除法运算相结合，只要熟练掌握多项式除以单项式的运算规则，就能快速求解。
【难度系数】
0.8
9.已知$3^{2a}=2^{b},6^{b}=81$,则$2a + b =$
4
.答案
9. 4
解析
【分析】
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，所求的$2a+b$可出现在幂的指数位置，因此可通过幂的运算性质对已知式变形：首先利用积的乘方法则拆分$6^b$，再将已知的$3^{2a}=2^b$代入拆分后的式子，通过同底数幂的乘法法则合并得到同底数幂相等的形式，最后根据同底数幂相等则指数相等的性质求出结果。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则可得：
$6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$
将$3^{2a}=2^b$代入上式，结合同底数幂的乘法法则：
$6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$
已知$6^b=81$，且$81=3^4$，因此：
$3^{2a+b}=3^4$
因为底数为3且不为0、1的两个幂相等时，指数相等，所以：
$2a+b=4$
【答案】
4
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是通过等量代换将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用指数的对应关系求解，是幂运算章节的典型基础变形题。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件和所求代数式的关联，所求的$2a+b$可出现在幂的指数位置，因此可通过幂的运算性质对已知式变形：首先利用积的乘方法则拆分$6^b$，再将已知的$3^{2a}=2^b$代入拆分后的式子，通过同底数幂的乘法法则合并得到同底数幂相等的形式，最后根据同底数幂相等则指数相等的性质求出结果。
【解析】
解：根据积的乘方运算法则可得：
$6^b=(2×3)^b=2^b·3^b$
将$3^{2a}=2^b$代入上式，结合同底数幂的乘法法则：
$6^b=3^{2a}·3^b=3^{2a+b}$
已知$6^b=81$，且$81=3^4$，因此：
$3^{2a+b}=3^4$
因为底数为3且不为0、1的两个幂相等时，指数相等，所以：
$2a+b=4$
【答案】
4
【知识点】
积的乘方、同底数幂的乘法、有理数的乘方
【点评】
本题考查幂的运算性质的灵活应用，解题核心是通过等量代换将不同底数的幂转化为同底数幂，再利用指数的对应关系求解，是幂运算章节的典型基础变形题。
【难度系数】
0.7
三、解答题
10. 计算:(1)$(-2xy)^2 · (-y^2) · 6xy^2$；
(2)$(15x^2y -10xy^2) ÷ (5xy)$；
(3)$(2a + b +6)(2a -b +6)$。
10. 计算:(1)$(-2xy)^2 · (-y^2) · 6xy^2$；
(2)$(15x^2y -10xy^2) ÷ (5xy)$；
(3)$(2a + b +6)(2a -b +6)$。
答案
10. (1)解:原式 = $4x^2y^2 · (-y^2) · 6xy^2 = -24x^3y^6$.
(2)解:原式 = $(15x^2y) ÷ (5xy) - (10xy^2) ÷ (5xy) = 3x - 2y$.
(3)解:原式 = $[(2a +6) + b][(2a +6) - b]$
= $(2a +6)^2 - b^2 = 4a^2 +24a +36 -b^2$.
(2)解:原式 = $(15x^2y) ÷ (5xy) - (10xy^2) ÷ (5xy) = 3x - 2y$.
(3)解:原式 = $[(2a +6) + b][(2a +6) - b]$
= $(2a +6)^2 - b^2 = 4a^2 +24a +36 -b^2$.
解析
【分析】
(1) 本题是单项式乘法混合运算，先根据积的乘方运算法则计算$(-2xy)^2$，再按照单项式乘单项式的运算规则，将系数相乘、同底数幂分别相乘，最后合并结果即可，运算时注意符号的处理。
(2) 本题是多项式除以单项式运算，依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式$5xy$，再把所得的商相加，注意每一项的符号不要出错。
(3) 本题是多项式乘多项式运算，观察两个因式的结构：都含有$2a+6$，$b$的符号相反，因此可以把$2a+6$看作整体，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开$(2a+6)^2$，最终合并得到结果，可避免逐项相乘的繁琐运算。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
原式 = $4x^2y^2 · (-y^2) · 6xy^2 = [4×(-1)×6]·(x^2·x)·(y^2·y^2·y^2) = -24x^3y^6$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分运算：
原式 = $(15x^2y) ÷ (5xy) - (10xy^2) ÷ (5xy) = 3x - 2y$
(3) 先变形凑平方差公式，再展开计算：
原式 = $[(2a +6) + b][(2a +6) - b]$
$= (2a +6)^2 - b^2$
$= (2a)^2 + 2×2a×6 + 6^2 - b^2$
$= 4a^2 +24a +36 -b^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-24x^3y^6}$
(2) $\boldsymbol{3x - 2y}$
(3) $\boldsymbol{4a^2 +24a +36 -b^2}$
【知识点】
幂的运算；整式乘除；乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对运算法则和乘法公式的掌握程度，解题时要注意观察式子结构，灵活选用简便公式简化运算，同时要注意运算过程中的符号和指数计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
(1) 本题是单项式乘法混合运算，先根据积的乘方运算法则计算$(-2xy)^2$，再按照单项式乘单项式的运算规则，将系数相乘、同底数幂分别相乘，最后合并结果即可，运算时注意符号的处理。
(2) 本题是多项式除以单项式运算，依据多项式除以单项式的法则，将多项式的每一项分别除以单项式$5xy$，再把所得的商相加，注意每一项的符号不要出错。
(3) 本题是多项式乘多项式运算，观察两个因式的结构：都含有$2a+6$，$b$的符号相反，因此可以把$2a+6$看作整体，将原式变形为平方差公式的标准形式，先利用平方差公式化简，再利用完全平方公式展开$(2a+6)^2$，最终合并得到结果，可避免逐项相乘的繁琐运算。
【解析】
(1) 先计算积的乘方，再计算单项式乘法：
原式 = $4x^2y^2 · (-y^2) · 6xy^2 = [4×(-1)×6]·(x^2·x)·(y^2·y^2·y^2) = -24x^3y^6$
(2) 按多项式除以单项式法则拆分运算：
原式 = $(15x^2y) ÷ (5xy) - (10xy^2) ÷ (5xy) = 3x - 2y$
(3) 先变形凑平方差公式，再展开计算：
原式 = $[(2a +6) + b][(2a +6) - b]$
$= (2a +6)^2 - b^2$
$= (2a)^2 + 2×2a×6 + 6^2 - b^2$
$= 4a^2 +24a +36 -b^2$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-24x^3y^6}$
(2) $\boldsymbol{3x - 2y}$
(3) $\boldsymbol{4a^2 +24a +36 -b^2}$
【知识点】
幂的运算；整式乘除；乘法公式
【点评】
本题是整式运算的基础题型，重点考查对运算法则和乘法公式的掌握程度，解题时要注意观察式子结构，灵活选用简便公式简化运算，同时要注意运算过程中的符号和指数计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.8
