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(人教八上$\mathrm{P}_{118}$阅读与思考改编)在我国南宋数学家杨辉(约13世纪)所著的《详解九章算法》(1261年)一书中,用下图的三角形解释二项和的乘方规律.杨辉在注释中提到,在他之前北宋数学家贾宪(1050年左右)也用过上述方法,因此我们称这个三角形为“杨辉三角”或“贾宪三角”.杨辉三角两腰上的数都是1,其余每一个数为它上方(左右)两数的和.事实上,这个三角形给出了$(a + b)^n$($n=1,2,3,4$)的展开式(按$a$的次数由大到小的顺序)的系数规律.例如,此三角形中第3行的3个数1,2,1,恰好对应着$(a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2$展开式中的各项系数;第4行的4个数1,3,3,1,恰好对应着$(a + b)^3 = a^3 + 3a^2b + 3ab^2 + b^3$展开式中的各项系数……
请依据上面介绍的数学知识,解决下列问题:
(1)写出$(a + b)^4$的展开式;
(2)利用整式的乘法验证(1)中的结论;
(3)写出$(1 - 2y)^4$的展开式.
请依据上面介绍的数学知识,解决下列问题:
(1)写出$(a + b)^4$的展开式;
(2)利用整式的乘法验证(1)中的结论;
(3)写出$(1 - 2y)^4$的展开式.
答案
(1) $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(2) $(a + b)^4 = (a + b)^2(a + b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)$
= $a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4$
= $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(3) $(1 - 2y)^4 = 1^4 + 4 × 1^3 × (-2y) + 6 × 1^2 × (-2y)^2 + 4 × 1 × (-2y)^3 + (-2y)^4 = 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4$.
(2) $(a + b)^4 = (a + b)^2(a + b)^2 = (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2)$
= $a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4$
= $a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$.
(3) $(1 - 2y)^4 = 1^4 + 4 × 1^3 × (-2y) + 6 × 1^2 × (-2y)^2 + 4 × 1 × (-2y)^3 + (-2y)^4 = 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4$.
解析
【分析】
(1) 第一问先明确杨辉三角与$(a+b)^n$展开式的对应规律：从上到下第$m$行的$m$个数字，对应$(a+b)^{m-1}$展开式的各项系数，且展开式按$a$降幂、$b$升幂排列。观察杨辉三角第5行的系数为1,4,6,4,1，对应$n=4$的情况，直接套用规律写展开式即可。
(2) 第二问验证时，可将$(a+b)^4$拆为两个$(a+b)^2$相乘，先利用完全平方公式展开两个因式，再按多项式乘多项式法则计算，合并同类项后和第一问结论对比即可完成验证。
(3) 第三问是规律的应用，将$(a+b)^4$中的$a$替换为1，$b$替换为$-2y$，代入第一问的展开式，按幂的运算法则计算每一项，注意负数乘方的符号不要出错，化简后即可得到结果。
【解析】
(1) 根据杨辉三角的系数规律，结合展开式按$a$降幂、$b$升幂排列的规则可得：
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
(2) 验证过程如下：
$\begin{aligned}(a + b)^4 &= (a + b)^2 · (a + b)^2 \\&= (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) \\&= a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4 \\&= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\end{aligned}$
与(1)的结论一致，验证成立。
(3) 令$a=1$，$b=-2y$，代入(1)的展开式得：
$\begin{aligned}(1 - 2y)^4 &= 1^4 + 4 × 1^3 × (-2y) + 6 × 1^2 × (-2y)^2 + 4 × 1 × (-2y)^3 + (-2y)^4 \\&= 1 - 8y + 6× 4y^2 + 4× (-8y^3) + 16y^4 \\&= 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
(2) 验证见解析，结论成立
(3) $(1 - 2y)^4 = 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4$
【知识点】
杨辉三角的规律，整式的乘法运算，幂的运算
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，既考查了规律探究的能力，也考查了整式乘法的运算能力。解题的核心是准确把握杨辉三角和二项式展开式系数的对应关系，代入计算时要注意负数乘方的符号，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
(1) 第一问先明确杨辉三角与$(a+b)^n$展开式的对应规律：从上到下第$m$行的$m$个数字，对应$(a+b)^{m-1}$展开式的各项系数，且展开式按$a$降幂、$b$升幂排列。观察杨辉三角第5行的系数为1,4,6,4,1，对应$n=4$的情况，直接套用规律写展开式即可。
(2) 第二问验证时，可将$(a+b)^4$拆为两个$(a+b)^2$相乘，先利用完全平方公式展开两个因式，再按多项式乘多项式法则计算，合并同类项后和第一问结论对比即可完成验证。
(3) 第三问是规律的应用，将$(a+b)^4$中的$a$替换为1，$b$替换为$-2y$，代入第一问的展开式，按幂的运算法则计算每一项，注意负数乘方的符号不要出错，化简后即可得到结果。
【解析】
(1) 根据杨辉三角的系数规律，结合展开式按$a$降幂、$b$升幂排列的规则可得：
$(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
(2) 验证过程如下：
$\begin{aligned}(a + b)^4 &= (a + b)^2 · (a + b)^2 \\&= (a^2 + 2ab + b^2)(a^2 + 2ab + b^2) \\&= a^4 + 2a^3b + a^2b^2 + 2a^3b + 4a^2b^2 + 2ab^3 + a^2b^2 + 2ab^3 + b^4 \\&= a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4\end{aligned}$
与(1)的结论一致，验证成立。
(3) 令$a=1$，$b=-2y$，代入(1)的展开式得：
$\begin{aligned}(1 - 2y)^4 &= 1^4 + 4 × 1^3 × (-2y) + 6 × 1^2 × (-2y)^2 + 4 × 1 × (-2y)^3 + (-2y)^4 \\&= 1 - 8y + 6× 4y^2 + 4× (-8y^3) + 16y^4 \\&= 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4\end{aligned}$
【答案】
(1) $(a + b)^4 = a^4 + 4a^3b + 6a^2b^2 + 4ab^3 + b^4$
(2) 验证见解析，结论成立
(3) $(1 - 2y)^4 = 1 - 8y + 24y^2 - 32y^3 + 16y^4$
【知识点】
杨辉三角的规律，整式的乘法运算，幂的运算
【点评】
本题以我国古代数学成果杨辉三角为背景，既考查了规律探究的能力，也考查了整式乘法的运算能力。解题的核心是准确把握杨辉三角和二项式展开式系数的对应关系，代入计算时要注意负数乘方的符号，避免因符号问题出错。
【难度系数】
0.7
中考新考向 代数推理 月历中的奥秘(续)
(人教八上 $P_{119}$活动1改编)在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是2026年7月份的月历.我们任意选择其中所示的蓝色虚线方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,例如:$7×13 -6×14=7$,$24×30 -23×31=7$,不难发现结果都是7.
(1)请你按上述方法在题目的月历中再框选4个数,并写出算式(直接写出算式即可);
(2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含$n$的等式表示,$n$为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
(人教八上 $P_{119}$活动1改编)在月历上,我们可以发现其中某些数满足一定的规律,如图是2026年7月份的月历.我们任意选择其中所示的蓝色虚线方框部分,将每个方框部分中4个位置上的数交叉相乘,再相减,例如:$7×13 -6×14=7$,$24×30 -23×31=7$,不难发现结果都是7.
(1)请你按上述方法在题目的月历中再框选4个数,并写出算式(直接写出算式即可);
(2)按上面的规律归纳出一个一般性的结论(用含$n$的等式表示,$n$为正整数);
(3)请运用有关知识,推理说明这个结论是正确的.
答案
(1) $10 × 16 - 9 × 17 = 7$. (答案不唯一)
(2) 设方框中左上角的数为$n$,则$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$.
(3) 左边 = $(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = n^2 + 8n + 7 - n^2 - 8n = 7$,右边 = 7.
∴ 左边 = 右边,即$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$.
(2) 设方框中左上角的数为$n$,则$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$.
(3) 左边 = $(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = n^2 + 8n + 7 - n^2 - 8n = 7$,右边 = 7.
∴ 左边 = 右边,即$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$.
解析
【分析】
本题是月历规律探究类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：只需在月历中任选一个2×2的方框，按照“右上角数×左下角数 - 左上角数×右下角数”的规则列式即可，注意只要符合2×2方框的数字规则都正确；
2. 第(2)问：首先明确月历的数字特点：同一行相邻数字差1，同一列相邻数字差7。设方框左上角的数为n，依次表示出其余三个数：右上角为n+1，左下角为n+7，右下角为n+8，再按照交叉相减的规则写出含n的等式；
3. 第(3)问：利用整式乘法的运算法则将等式左边展开，合并同类项后验证结果等于7，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 选取2×2方框中的数9、10、16、17，按要求列式即可，答案不唯一；
(2) 设方框左上角的数为$n$，根据月历数字规律，另外三个数分别为$n+1$、$n+7$、$n+8$，按题意列出等式即可；
(3) 对等式左边化简：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+1)(n+7)-n(n+8)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7\end{aligned}$
左边化简结果和右边相等，因此结论成立。
【答案】
(1) $10 × 16 - 9 × 17 = 7$（答案不唯一）
(2) 设方框中左上角的数为$n$，则$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$（$n$为正整数）
(3) 左边化简后等于右边，结论正确，化简过程为：$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = n^2 + 8n + 7 - n^2 - 8n = 7$，左边=右边，等式成立。
【知识点】
月历数字规律，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，既考查了观察、归纳规律的能力，又考查了整式运算的相关知识，是规律探究类的典型题型，能够引导学生掌握“从特殊到一般再到验证”的探究思维。
【难度系数】
0.7
本题是月历规律探究类问题，解题思路如下：
1. 第(1)问：只需在月历中任选一个2×2的方框，按照“右上角数×左下角数 - 左上角数×右下角数”的规则列式即可，注意只要符合2×2方框的数字规则都正确；
2. 第(2)问：首先明确月历的数字特点：同一行相邻数字差1，同一列相邻数字差7。设方框左上角的数为n，依次表示出其余三个数：右上角为n+1，左下角为n+7，右下角为n+8，再按照交叉相减的规则写出含n的等式；
3. 第(3)问：利用整式乘法的运算法则将等式左边展开，合并同类项后验证结果等于7，即可证明结论成立。
【解析】
(1) 选取2×2方框中的数9、10、16、17，按要求列式即可，答案不唯一；
(2) 设方框左上角的数为$n$，根据月历数字规律，另外三个数分别为$n+1$、$n+7$、$n+8$，按题意列出等式即可；
(3) 对等式左边化简：
$\begin{aligned}\mathrm{左边}&=(n+1)(n+7)-n(n+8)\\&=n^2+8n+7-n^2-8n\\&=7\end{aligned}$
左边化简结果和右边相等，因此结论成立。
【答案】
(1) $10 × 16 - 9 × 17 = 7$（答案不唯一）
(2) 设方框中左上角的数为$n$，则$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = 7$（$n$为正整数）
(3) 左边化简后等于右边，结论正确，化简过程为：$(n + 1)(n + 7) - n(n + 8) = n^2 + 8n + 7 - n^2 - 8n = 7$，左边=右边，等式成立。
【知识点】
月历数字规律，整式乘法运算，代数式化简
【点评】
本题结合生活中常见的月历设置问题，既考查了观察、归纳规律的能力，又考查了整式运算的相关知识，是规律探究类的典型题型，能够引导学生掌握“从特殊到一般再到验证”的探究思维。
【难度系数】
0.7
