1. 下列运算正确的是 （）

A.$x + y + 2 = x - (y + 2)$
B.$x - y - 2 = x + (y - 2)$
C.$x - (y + 2) = x - y + 2$
D.$x + y - 2 = x + (y - 2)$

1. D

【分析】
本题考查添去括号法则的应用，解题思路如下：首先回忆添去括号的核心规则：括号前是“+”号时，去（添）括号后括号内各项符号不变；括号前是“-”号时，去（添）括号后括号内所有项的符号都要改变。解题时可将每个选项等号的一侧去括号，和另一侧的式子对比是否相等，逐一排除错误选项即可得到正确答案。
【解析】
我们通过去括号验证各选项等号左右两边是否相等：
A选项：等号右侧$x-(y+2)=x-y-2$，与左侧$x+y+2$不相等，运算错误；
B选项：等号右侧$x+(y-2)=x+y-2$，与左侧$x-y-2$不相等，运算错误；
C选项：等号左侧$x-(y+2)=x-y-2$，与右侧$x-y+2$不相等，运算错误；
D选项：等号右侧$x+(y-2)=x+y-2$，与左侧完全相等，运算正确。
【答案】
D
【知识点】
添去括号法则；整式的恒等变形
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考查对添去括号符号变化规则的掌握，做题时要格外注意括号前为负号的情况，括号内所有项都要改变符号，避免出现漏改符号的错误。
【难度系数】
0.7

2. 在括号前填入正号或负号,使等式成立.
(1)$y - x =$ $(x - y)$;
(2)$(x - y)^2 =$ $(y - x)^2$;
(3)$(x - y)^3 =$ $(y - x)^3$.

(1) -
(2) +
(3) -

【分析】
解题时首先观察等式两侧括号内的式子，可发现x-y与y-x互为相反数，接下来结合式子的次数判断符号：1. 一次式的情况下，互为相反数的两个数仅差一个负号；2. 偶次幂时，互为相反数的两个数的偶次幂相等；3. 奇次幂时，互为相反数的两个数的奇次幂仍互为相反数，据此即可推导需要添加的符号。
【解析】
首先明确：y-x与x-y互为相反数，即$y-x=-(x-y)$。
(1) 左边为$y-x$，直接可得$y-x=-(x-y)$，故填负号；
(2) 根据乘方运算法则，$(y-x)^2=[-(x-y)]^2=(-1)^2·(x-y)^2=(x-y)^2$，因此$(x-y)^2=+(y-x)^2$，故填正号；
(3) 根据乘方运算法则，$(y-x)^3=[-(x-y)]^3=(-1)^3·(x-y)^3=-(x-y)^3$，变形可得$(x-y)^3=-(y-x)^3$，故填负号。
【答案】
(1) -；(2) +；(3) -
【知识点】
相反数的性质；乘方的符号规律；整式恒等变形
【点评】
本题是整式变形的基础题型，核心考查互为相反数的数的同次幂的符号规律，掌握“偶次幂相等、奇次幂互为相反数”的结论可以快速解题，该规律是后续因式分解、整式化简运算的常用技巧，需熟练掌握。
【难度系数】
0.8

3. 计算:
(1)$(a - b + 1)^2$;
(2)$(x - 2y - 3)(x + 2y + 3)$;

(1) 解:原式 = $[(a - b)^2 + 1]^2 = (a - b)^2 + 2(a - b) + 1 = a^2 - 2ab + b^2 + 2a - 2b + 1 = a^2 + b^2 - 2ab + 2a - 2b + 1$.
(2) 解:原式 = $[x - (2y + 3)][x + (2y + 3)] = x^2 - (2y + 3)^2 = x^2 - 4y^2 - 12y - 9$.

【分析】
(1) 计算三项式的平方时，可运用整体思想，把$a-b$看成一个整体，将原式转化为我们熟悉的两数和的完全平方形式，再逐步展开计算即可。
(2) 观察两个多项式的结构，发现$x$是相同的项，$-2y-3$与$+2y+3$互为相反数，因此可以把$2y+3$看成一个整体，将原式转化为两数和乘两数差的形式，先利用平方差公式计算，再展开完全平方、去括号得到最终结果。
【解析】
(1) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[(a - b) + 1]^2\\&=(a - b)^2 + 2(a - b)×1 + 1^2\\&=a^2 - 2ab + b^2 + 2a - 2b + 1\\&=a^2 + b^2 - 2ab + 2a - 2b + 1\end{aligned}$
(2) 解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[x - (2y + 3)][x + (2y + 3)]\\&=x^2 - (2y + 3)^2\\&=x^2 - (4y^2 + 12y + 9)\\&=x^2 - 4y^2 - 12y - 9\end{aligned}$
【答案】
(1) $a^2 + b^2 - 2ab + 2a - 2b + 1$
(2) $x^2 - 4y^2 - 12y - 9$
【知识点】
完全平方公式，平方差公式，整体思想
【点评】
本题是整式乘法的常见题型，重点考查乘法公式的灵活运用，解题核心是通过合理分组，把陌生的多式运算转化为已学的公式形式，既能简化运算步骤，也能降低计算出错的概率。
【难度系数】
0.7

5. 已知$(m - 53)(m - 47) = 24$,求$(m - 53)^2 + (m - 47)^2$的值.
(3)$(m + \frac{1}{2}n)^2(m - \frac{1}{2}n)^2.$

(3) 解:原式 = $[(m + \frac{1}{2}n)(m - \frac{1}{2}n)]^2 = (m^2 - \frac{1}{4}n^2)^2 = m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{16}n^4$.
5. 解:
∵ $(m - 53)(m - 47) = 24$,$(m - 53) - (m - 47) = m - 53 - m + 47 = -6$,
∴ $(m - 53)^2 + (m - 47)^2$
= $[(m - 53) - (m - 47)]^2 + 2(m - 53)(m - 47)$
= $(-6)^2 + 48 = 84$.

【分析】
我们分两小题梳理思路：
1. 第(3)题：观察到式子是两个同指数幂相乘，可先逆用积的乘方法则$a^2b^2=(ab)^2$，将两个底数合并相乘，相乘的底数刚好符合平方差公式的结构，计算得到差的平方后，再用完全平方公式展开即可得到结果。
2. 第5题：如果直接求m的值再代入计算会非常复杂，观察所求式子是两个整式的平方和，已知这两个整式的乘积，且可算出两个整式的差为定值，因此利用完全平方公式的变形$a^2+b^2=(a-b)^2+2ab$，整体代入已知条件就能快速求解，无需单独计算m的值。
【解析】
第(3)题解答：
原式 = $[(m + \frac{1}{2}n)(m - \frac{1}{2}n)]^2$
= $(m^2 - \frac{1}{4}n^2)^2$
= $m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{16}n^4$
第5题解答：
∵ $(m - 53)(m - 47) = 24$，且$(m - 53) - (m - 47) = m - 53 - m + 47 = -6$
∴ $(m - 53)^2 + (m - 47)^2$
= $[(m - 53) - (m - 47)]^2 + 2(m - 53)(m - 47)$
= $(-6)^2 + 2×24$
= $36 + 48 = 84$
【答案】
(3) $m^4 - \frac{1}{2}m^2n^2 + \frac{1}{16}n^4$；
5. $84$
【知识点】
积的乘方运算，平方差公式，完全平方公式
【点评】
这两道题重点考查整式乘法公式的灵活运用，解题时要先观察式子的结构特征，合理逆用运算律或者对乘法公式进行变形，运用整体代入的思想可以大幅简化计算过程，提升解题准确率。
【难度系数】
0.7

4.（整体思想）已知$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = 80$，求$a + b$的值.

解:$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = [3(a + b) + 1][3(a + b) - 1] = [3(a + b)]^2 - 1 = 80$.
∴ $9(a + b)^2 = 81$.
∴ $(a + b)^2 = 9$.
∴ $a + b = ±3$.

【分析】
观察已知等式左边的结构，属于两个相同部分的和与差相乘的形式，符合平方差公式的特征。本题运用整体思想解题，先把$3(a+b)$看作一个整体，利用平方差公式展开等式左边，再通过移项、化简求出$(a+b)^2$的值，最后开平方即可得到$a+b$的值，无需单独求解$a$和$b$。
【解析】
解：先对等式左边的代数式变形，得
$(3a + 3b + 1)(3a + 3b - 1) = [3(a + b) + 1][3(a + b) - 1]$
根据平方差公式$(m+n)(m-n)=m^2-n^2$，令$m=3(a+b)$，$n=1$，代入等式得：
$[3(a + b)]^2 - 1^2 = 80$
整理得：
$9(a + b)^2 - 1 = 80$
移项合并同类项：
$9(a + b)^2 = 81$
两边同时除以9：
$(a + b)^2 = 9$
对等式两边开平方：
$a + b = \pm3$
【答案】
$a + b = ±3$
【知识点】
平方差公式，整体代换思想，开平方运算
【点评】
本题是整式乘法与代数运算结合的典型题型，核心考查整体思想的应用，通过识别代数式的结构特征选用平方差公式，可大幅简化计算过程，避免拆分求解单个未知数的繁琐，掌握整体代换思路是快速解题的关键。
【难度系数】
0.7

6. 若实数$n$满足$(n - 46)^2 + (45 - n)^2 = 2$，求代数式$(n - 46)(45 - n)$的值.

解:
∵ $(n - 46)^2 + (45 - n)^2 = 2$,
∴ $[(n - 46) + (45 - n)]^2 - 2(n - 46)(45 - n) = 2$.
整理,得 $1 - 2(n - 46)(45 - n) = 2$.
∴ $(n - 46)(45 - n) = -\frac{1}{2}$.

【分析】
观察题目已知条件是两个含n的代数式的平方和，所求代数式是这两个代数式的乘积，联想到完全平方公式的变形：$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$。进一步发现两个代数式$(n-46)$与$(45-n)$相加时，含n的项会相互抵消得到常数，因此可以通过整体代入的方法直接求解，不需要单独算出n的值，能大幅简化计算过程。
【解析】
解：已知$(n - 46)^2 + (45 - n)^2 = 2$，
根据完全平方公式的变形$a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$，令$a=n-46$，$b=45-n$，代入得：
$[(n - 46) + (45 - n)]^2 - 2(n - 46)(45 - n) = 2$
计算括号内的部分：$(n - 46) + (45 - n) = -1$，代入上式得：
$(-1)^2 - 2(n - 46)(45 - n) = 2$
整理得：$1 - 2(n - 46)(45 - n) = 2$
移项得：$-2(n - 46)(45 - n) = 2 - 1 = 1$
两边同时除以$-2$得：$(n - 46)(45 - n) = -\frac{1}{2}$
【答案】
$-\frac{1}{2}$
【知识点】
完全平方公式，整体代入思想，代数式求值
【点评】
本题是整式乘法中的典型技巧题型，核心考查完全平方公式的变形应用，解题的关键是观察到两个因式的和为常数，利用整体代入的方法避免了直接展开计算的繁琐，能有效提升解题效率。
【难度系数】
0.7