1.【例1】分解因式：
(1)$2xy^2 + xy$；
(2)$6x^3 - 4x^2 + 2x$。

1.(1) 解:原式 = $xy · 2y + xy · 1 = xy(2y + 1)$.
1.(2) 解:原式 = $2x · 3x^2 - 2x · 2x + 2x · 1 = 2x(3x^2 - 2x + 1)$.

【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题思路分为两步：第一步确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，两者的乘积就是公因式；第二步提取公因式，将多项式各项都除以公因式，把得到的结果作为括号内的因式，注意若某一项与公因式完全相同，除以公因式后得到的1不能省略。
对于(1)：多项式两项系数2和1的最大公约数是1，相同字母x、y的最低次幂都是1次，因此公因式为xy，提取后计算剩余因式即可。
对于(2)：多项式三项系数6、-4、2的最大公约数是2，相同字母x的最低次幂是1次，因此公因式为2x，提取后注意符号和剩余项的书写即可。
【解析】
(1) 解：将原式各项拆分为公因式与另一因式的乘积，再提取公因式：
原式 = $xy · 2y + xy · 1 = xy(2y + 1)$
(2) 解：将原式各项拆分为公因式与另一因式的乘积，再提取公因式：
原式 = $2x · 3x^2 - 2x · 2x + 2x · 1 = 2x(3x^2 - 2x + 1)$
【答案】
(1) $xy(2y+1)$
(2) $2x(3x^2 - 2x + 1)$
【知识点】
1. 提公因式法分解因式
2. 公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题核心是准确确定多项式的公因式，提取公因式时要注意不要漏写系数为1的项，同时要保证括号内各项的符号与原式对应项的符号一致。
【难度系数】
0.8

2. 分解因式：
(1) $3x^3y + 6x^4$;
(2) $4a^3b^2 - 10ab^3c + 2a^2b^3$.

2.(1) 解:原式 = $3x^3 · y + 3x^3 · 2x = 3x^3(y + 2x)$.
2.(2) 解:原式 = $2ab^2 · 2a^2 - 2ab^2 · 5bc + 2ab^2 · ab = 2ab^2(2a^2 - 5bc + ab)$.

【分析】
本题考查用提公因式法分解因式，解题思路如下：
1. 确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同字母的最低次幂，二者的乘积就是公因式；
2. 提取公因式：将原式每一项都写成公因式乘另一个因式的形式，再把公因式提出来，剩余部分合并到括号内即可，注意提取后括号内的项数要和原式一致，不要漏项，还要注意各项符号的变化。
针对(1)：系数3和6的最大公约数是3，相同字母为x，最低次幂是$x^3$，因此公因式为$3x^3$；
针对(2)：系数4、-10、2的最大公约数是2，相同字母a的最低次幂是$a^1$，相同字母b的最低次幂是$b^2$，因此公因式为$2ab^2$。
【解析】
(1) 先拆分各项为公因式乘剩余部分的形式，再提取公因式：
原式$=3x^3 · y + 3x^3 · 2x = 3x^3(y + 2x)$
(2) 先拆分各项为公因式乘剩余部分的形式，再提取公因式：
原式$=2ab^2 · 2a^2 - 2ab^2 · 5bc + 2ab^2 · ab = 2ab^2(2a^2 - 5bc + ab)$
【答案】
(1) $3x^3(y + 2x)$；(2) $2ab^2(2a^2 - 5bc + ab)$
【知识点】
提公因式法因式分解；公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，核心是掌握公因式的确定方法，解题时需注意：提取公因式后要检查括号内的项数与原多项式项数是否一致，避免漏项，同时注意各项符号是否正确，也可以用整式乘法展开验证分解结果是否正确。
【难度系数】
0.85

3.【例2】分解因式：
(1) $2a(b - c) + 3(b - c)$；
(2) $6(y - x)^2 + 3(y - x)^3$。

3.(1) 解:原式 = $(b - c)(2a + 3)$.
3.(2) 解:原式 = $3(y - x)^2 · 2 + 3(y - x)^2 · (y - x) = 3(y - x)^2(2 + y - x)$.

【分析】
这两道题均考查提公因式法分解因式，解题核心是先准确找到多项式各项的公因式，再提取公因式，将剩余项整理为另一个因式即可。
第(1)题：观察多项式的两项，都含有共同因式$(b-c)$，即公因式为$(b-c)$，提取公因式后，分别计算两项除以公因式的结果，相加得到剩余因式。
第(2)题：先确定公因式：系数部分6和3的最大公约数是3，相同整式因式是$(y-x)$，最低次幂是2次，因此公因式为$3(y-x)^2$，再把每一项拆分为公因式与另一部分的乘积，提取公因式后合并剩余项即可。
【解析】
(1) 解：确定公因式为$(b-c)$，提取公因式：
原式$=2a·(b-c)+3·(b-c)=(b-c)(2a+3)$
(2) 解：确定公因式为$3(y-x)^2$，先将各项变形为公因式乘剩余项的形式：
原式$=3(y-x)^2·2 + 3(y-x)^2·(y-x)$
提取公因式$3(y-x)^2$得：
原式$=3(y-x)^2(2 + y - x)$
【答案】
(1) $(b - c)(2a + 3)$
(2) $3(y - x)^2(2 + y - x)$
【知识点】
提公因式法分解因式；公因式的确定
【点评】
本题是提公因式法分解因式的基础题型，解题关键是准确识别各项的公因式，提取公因式时注意不要漏写剩余的常数项，保证分解结果正确。
【难度系数】
0.8

4. 分解因式:
(1) $x(y^2 + z^2) - y(z^2 + y^2)$;
(2) $6a^2(b - c)^2 + 8a(b - c)^2$.

4.(1) 解:原式 = $(y^2 + z^2)(x - y)$.
4.(2) 解:原式 = $2a(b - c)^2 · 3a + 2a(b - c)^2 · 4 = 2a(b - c)^2(3a + 4)$.

【分析】
分解因式优先考虑提公因式法，解题步骤为：①确定公因式：先找各项系数的最大公约数，再找各项都含有的相同因式（可以是单项式也可以是多项式），相同因式取最低次幂；②提取公因式，将原式写成公因式与剩余因式乘积的形式。
(1)观察式子可发现，两项都含有相同的多项式因式$y^2+z^2$（$z^2+y^2$和$y^2+z^2$完全相等），因此公因式为$y^2+z^2$，提取公因式即可得到结果。
(2)观察式子：系数6和8的最大公约数是2，两项都含字母$a$（最低次为1次），都含多项式因式$(b-c)^2$（最低次为2次），因此公因式为$2a(b-c)^2$，提取公因式后合并剩余部分即可。
【解析】
(1) 原式中两项的公因式为$y^2+z^2$，提取公因式可得：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=(y^2 + z^2)·x - (y^2 + z^2)·y \\&=(y^2 + z^2)(x - y)\end{aligned}$
(2) 原式中两项的公因式为$2a(b - c)^2$，将每一项拆分为公因式乘另一个因式，再提取公因式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=2a(b - c)^2 · 3a + 2a(b - c)^2 · 4 \\&=2a(b - c)^2(3a + 4)\end{aligned}$
【答案】
(1) $(y^2 + z^2)(x - y)$
(2) $2a(b - c)^2(3a + 4)$
【知识点】
提公因式法分解因式，公因式的确定
【点评】
这两道题是提公因式法分解因式的基础题型，核心是准确识别公因式，需注意公因式既可以是单项式，也可以是多项式，提取公因式后要确认剩余因式没有公因式，保证分解彻底。
【难度系数】
0.8

5.【例3】分解因式：
(1) $4a(x-y)-2b(y-x)$；
(2) $5(a-b)^3 + m(b-a)^3$.
6.分解因式：
(1) $2xy(a-2)^3 - 2y(2-a)^3$；
(2) $a^2(6b-3) + a(3-6b)$.

5.(1) 解:原式 = $4a(x - y) + 2b(x - y) = 2(x - y) · 2a + 2(x - y) · b = 2(x - y)(2a + b)$.
5.(2) 解:原式 = $5(a - b)^3 - m(a - b)^3 = (a - b)^3(5 - m)$.
6.(1) 解:原式 = $2y(a - 2)^3 · x + 2y(a - 2)^3 · 1 = 2y(a - 2)^3(x + 1)$.
6.(2) 解:原式 = $a^2(6b - 3) - a(6b - 3) = 3a(2b - 1) · a - 3a(2b - 1) · 1 = 3a(2b - 1)(a - 1)$.

【分析】
这组题目均考查提公因式法分解因式，解题思路可分为三步：①统一互为相反的因式的符号：若互为相反数的因式是奇数次幂，变形时整体需加负号，例如$y-x=-(x-y)$、$(b-a)^3=-(a-b)^3$；②确定公因式：取各项系数的最大公约数、相同因式的最低次幂作为公因式；③提取公因式后合并化简剩余的项，保证最终结果为最简因式乘积形式即可。
【解析】
5.(1) 先将$y-x$变形为$-(x-y)$，则原式$=4a(x - y) + 2b(x - y)$，可得公因式为$2(x-y)$，提取公因式得$2(x - y) · 2a + 2(x - y) · b = 2(x - y)(2a + b)$。
5.(2) 先将$(b-a)^3$变形为$-(a-b)^3$，则原式$=5(a - b)^3 - m(a - b)^3$，可得公因式为$(a-b)^3$，提取公因式得$(a - b)^3(5 - m)$。
6.(1) 先将$(2-a)^3$变形为$-(a-2)^3$，则原式$=2xy(a - 2)^3 + 2y(a - 2)^3$，可得公因式为$2y(a-2)^3$，提取公因式得$2y(a - 2)^3 · x + 2y(a - 2)^3 · 1 = 2y(a - 2)^3(x + 1)$。
6.(2) 先将$3-6b$变形为$-(6b-3)$，再把$6b-3$化简为$3(2b-1)$，则原式$=a^2(6b - 3) - a(6b - 3)=3a(2b - 1) · a - 3a(2b - 1) · 1 = 3a(2b - 1)(a - 1)$。
【答案】
5.(1) $\boxed{2(x - y)(2a + b)}$
5.(2) $\boxed{(a - b)^3(5 - m)}$
6.(1) $\boxed{2y(a - 2)^3(x + 1)}$
6.(2) $\boxed{3a(2b - 1)(a - 1)}$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.奇次幂的符号性质
3.公因式的确定
【点评】
这几道是提公因式法分解因式的常规训练题，易错点为互为相反数的奇次幂变形时符号处理错误，提取公因式后需注意检查剩余项是否合并完全，确保因式分解彻底。
【难度系数】
0.7