1. 多项式$3a^2b^2 - 15a^3b^3 - 12a^2b^2c$的公因式是（）

A.$3a^2b^2$
B.$-15a^3b^3$
C.$3a^2b^2c$
D.$-12a^2b^2c$

1. A

【分析】
要确定多项式的公因式，需按照三步法思考：第一步先找各项系数绝对值的最大公约数，第二步找所有项都共同含有的字母，第三步取相同字母的最低次幂，最后组合得到公因式，注意公因式的符号一般取正，仅当所有项系数均为负时才取负号。
【解析】
第一步：确定系数的最大公约数：多项式各项系数分别为3、-15、-12，它们绝对值的最大公约数是3；
第二步：找共同含有的字母：三个项中，前两项不含字母c，因此c不属于共同字母，共同字母只有a和b；
第三步：取相同字母的最低次幂：a在各项的次数分别为2、3、2，最低次是2；b在各项的次数分别为2、3、2，最低次是2；
综上，该多项式的公因式为$3a^2b^2$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
公因式的确定,提公因式法因式分解
【点评】
本题考查公因式的确定，属于基础题型，熟练掌握找公因式的步骤是解题的核心，注意只有所有项都包含的字母才能纳入公因式，次数要取所有项中该字母的最低次数。
【难度系数】
0.8

2. 把多项式$x^2y^5 - xy^n z$因式分解时，提取的公因式是$xy^5$，则$n$的值可能为（）

A.6
B.4
C.3
D.2

2. A

【分析】
解决这道题首先要回忆提公因式法中确定公因式的规则：公因式里相同字母的指数，要取多项式各个项中该字母的最低次幂。已知提取的公因式是$xy^5$，说明两个项中y的指数的最小值是5，第一个项中y的指数是5，因此第二个项中y的指数$n$必须大于或等于5，再结合选项选出符合条件的数值即可。
【解析】
根据提公因式法的规则，公因式中相同字母的指数取多项式各项中该字母的最低次幂：
1. 已知提取的公因式为$xy^5$，因此字母$y$在两项中的指数的最小值为5；
2. 第一项$x^2y^5$中$y$的指数是5，因此第二项$-xy^n z$中$y$的指数$n$需要满足$n≥5$；
3. 观察选项，只有6满足$n≥5$，因此$n$的值可能为6。
【答案】
A
【知识点】
提公因式法，公因式的确定
【点评】
本题考查提公因式法分解因式中公因式的确定方法，核心是理解公因式中相同字母的指数取各项对应字母的最低次幂，掌握该规则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

3. (2025 广东) 因式分解：$a^2b + ab^2 =$ .

3. $ab(a + b)$

【分析】
拿到这道因式分解题，首先观察多项式特征：本题是两项式，优先考虑提公因式法。找公因式按照三步来：①找各项系数的最大公约数，本题两项系数都是1，最大公约数为1；②找各项都含有的相同字母，两项都含有a、b；③取相同字母的最低次幂，a的最低次是1次，b的最低次是1次，因此确定公因式为ab。提取公因式后，再检查剩余部分是否还能分解，确保分解彻底即可。
【解析】
解：先确定多项式$a^2b + ab^2$的公因式为$ab$，再提取公因式：
$\begin{aligned}a^2b + ab^2&=ab· a + ab· b\\&=ab(a + b)\end{aligned}$
括号内$a+b$没有公因式，也无法用公式继续分解，分解完成。
【答案】
$ab(a + b)$
【知识点】
提公因式法因式分解，公因式的确定
【点评】
本题是因式分解的基础题型，主要考查提公因式法的应用，解题核心是准确找出多项式各项的公因式，提取后注意检查结果是否分解彻底，是因式分解模块的常考基础题。
【难度系数】
0.9

4.多项式$(m+1)(m-1)+(m-1)$提取公因式$(m-1)$后，另一个因式为（）

A.$m+1$
B.$2m$
C.$2$
D.$m+2$

4. D

【分析】
这道题考查提公因式法分解因式的应用，解题思路如下：首先明确提公因式的规则：将多项式各项的公因式提取出来后，剩余的因式是原多项式每一项除以公因式所得的商的和。首先观察原式，两项都含有公因式$(m-1)$，第一步先分别计算每一项除以公因式$(m-1)$的结果：第一项$(m+1)(m-1)$除以$(m-1)$得$(m+1)$，第二项$(m-1)$除以$(m-1)$得1，第二步将两个商相加，即可得到提取公因式后的另一个因式。
【解析】
对原式提取公因式$(m-1)$计算：
$\begin{aligned}&(m+1)(m-1)+(m-1)\\=&(m-1)[(m+1)+1]\\=&(m-1)(m+2)\end{aligned}$
因此提取公因式$(m-1)$后，另一个因式为$m+2$。
【答案】
D
【知识点】
提公因式法因式分解
【点评】
本题是因式分解的基础题，解题的关键是注意提取公因式后，单独成一项的部分除以公因式后得到的1不能遗漏，避免因漏写1导致计算错误。
【难度系数】
0.8

5.（整体思想）若$xy=-3$，$x-2y=2$，则$2x^2y -4xy^2$的值为。

5. $-12$

【分析】
观察所求代数式的结构，发现各项含有公因式，首先考虑用提公因式法对代数式进行因式分解，分解后可以发现所得式子恰好是已知的两个代数式的乘积形式，此时不需要单独求解x、y的值，直接将已知条件整体代入即可算出结果，契合整体思想的应用。
【解析】
第一步，对所求代数式提公因式分解因式：
$2x^2y -4xy^2 = 2xy(x - 2y)$
第二步，将$xy=-3$，$x-2y=2$整体代入上式：
原式$=2×(-3)×2 = -12$
【答案】
$-12$
【知识点】
提公因式法分解因式；整体代入求值
【点评】
本题是因式分解在代数式求值中的典型应用，通过因式分解将所求式子转化为含已知条件的形式，利用整体思想代入计算，大幅简化了运算过程，避免了求解单个未知数的繁琐步骤。
【难度系数】
0.8

6. 分解因式：
(1) $-9x^2y + 36xy^2 - 3xy$；
(2) $2x(x - y)^2 - (x - y)^3$；
(3) $2a(x - y) - 2b(y - x)$。

6.(1) 解:原式 = $-3xy(3x - 12y + 1)$.
6.(2) 解:原式 = $(x - y)^2 · 2x - (x - y)^2 · (x - y) = (x - y)^2(2x - x + y) = (x - y)^2(x + y)$.
6.(3) 解:原式 = $2a(x - y) + 2b(x - y) = 2(x - y)(a + b)$.

【分析】
这三道题均考查提公因式法分解因式，解题思路统一遵循三步：①确定公因式：先找系数的最大公约数，再找相同字母或多项式的最低次幂，若首项系数为负，公因式通常带负号；②将原式每一项改写为公因式与另一个因式的乘积形式，遇到(y-x)这类与(x-y)互为相反数的项，先变形为-(x-y)统一公因式；③提取公因式后，对剩余的因式合并同类项，注意不要漏写常数项1。
【解析】
(1) 先确定公因式为$-3xy$，拆分每一项：
原式$=-3xy· 3x + (-3xy)· (-12y) + (-3xy)· 1 = -3xy(3x - 12y + 1)$
(2) 公因式为多项式$(x-y)^2$，拆分每一项后提取公因式，再合并剩余项：
原式$=(x-y)^2· 2x - (x-y)^2· (x-y) = (x-y)^2[2x - (x-y)] = (x-y)^2(2x - x + y) = (x-y)^2(x+y)$
(3) 先将$(y-x)$变形为$-(x-y)$，统一公因式为$2(x-y)$后提取：
原式$=2a(x-y) - 2b· [-(x-y)] = 2a(x-y) + 2b(x-y) = 2(x-y)(a+b)$
【答案】
(1) $-3xy(3x - 12y + 1)$
(2) $(x - y)^2(x + y)$
(3) $2(x - y)(a + b)$
【知识点】
提公因式法分解因式、公因式的确定、多项式符号变形
【点评】
这三道题是提公因式法分解因式的典型基础题，核心在于准确识别公因式，尤其要注意多项式形式的公因式以及符号的处理，提取公因式后需检查剩余项是否漏项、是否合并同类项完全，保证分解结果最简。
【难度系数】
0.8

7. 先分解因式,再求值.
$9a(a-b)-a(a-b)^2$,其中$a=-1,b=2$.

7. 解:原式 = $a(a - b) · 9 - a(a - b) · (a - b) = a(a - b)(9 - a + b)$.
当 $a = -1,b = 2$ 时,
原式 = $-1 × (-1 - 2) × [9 - (-1) + 2] = -1 × (-3) × 12 = 36$.

【分析】
本题要求先分解因式再求值，解题时先观察多项式的结构特征，发现两项中均含有公因式$a(a-b)$，因此优先采用提公因式法分解因式，将原式化简为最简形式后，再代入$a$、$b$的数值计算，相比直接代入原式计算更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：先对原式分解因式：
原式 = $a(a - b)·9 - a(a - b)·(a - b)$
提取公因式$a(a-b)$，得：
$= a(a - b)[9 - (a - b)]$
去括号整理，得：
$= a(a - b)(9 - a + b)$
再代入$a=-1$，$b=2$求值：
原式 = $-1 × (-1 - 2) × [9 - (-1) + 2]$
先计算括号内的部分：
$= -1 × (-3) × (9 + 1 + 2)$
$= -1 × (-3) × 12$
$= 3 × 12$
$= 36$
【答案】
$36$
【知识点】
提公因式法分解因式；代数式求值
【点评】
本题属于基础运算题，核心是掌握提公因式法分解因式的方法，先化简再求值的思路能大幅降低运算复杂度，解题时需注意公因式要找全，去括号时注意符号的变化。
【难度系数】
0.8

8.（过程性学习）在讲提取公因式一课时，张老师出了这样一道题目：把多项式$3(x-y)^3 - (y-x)^2$分解因式，并请甲、乙两名同学在黑板上演算.
甲演算的过程：
$3(x-y)^3 - (y-x)^2 = 3(x-y)^3 + (x-y)^2 = (x-y)^2[3(x-y)+1] = (x-y)^2(3x - 3y + 1)$.
乙演算的过程：
$3(x-y)^3 - (y-x)^2 = 3(x-y)^3 - (x-y)^2 = (x-y)^2(3x - 3y)$.
他们的计算正确吗？若错误，请你写出正确答案.

8. 解:不正确. 正确答案如下:
原式 = $3(x - y)^3 - (x - y)^2 = (x - y)^2[3(x - y) - 1] = (x - y)^2(3x - 3y - 1)$.

【分析】
解题时首先观察多项式两项的底数x-y和y-x，利用“互为相反数的偶次幂相等”的性质统一底数，注意变形时不能改变原式的运算符号；接着确定公因式是$(x-y)^2$，提取公因式时需将每一项都除以公因式，避免漏项，最后化简括号内的式子即可。同时可判断甲乙的错误：甲错误将$-(y-x)^2$变形为$+(x-y)^2$，属于符号变形错误；乙提取公因式后漏了第二项的-1，属于漏项错误。
【解析】
甲、乙两名同学的计算都不正确，正确解题过程如下：
第一步：统一底数，由偶次幂的性质可得$(y-x)^2=(x-y)^2$，因此：
$3(x-y)^3 - (y-x)^2 = 3(x-y)^3 - (x-y)^2$
第二步：确定公因式为$(x-y)^2$，提取公因式：
$3(x-y)^3 - (x-y)^2 = (x-y)^2[3(x-y) - 1]$
第三步：化简括号内的整式：
$3(x-y)-1 = 3x - 3y - 1$
因此分解结果为$(x-y)^2(3x - 3y - 1)$
【答案】
$(x-y)^2(3x - 3y - 1)$
【知识点】
1.提公因式法分解因式
2.偶次幂的符号性质
3.因式分解正误判断
【点评】
这道题是提公因式分解因式的典型易错题，重点考查底数互为相反数的幂的变形规则，以及提取公因式的运算规范性，提醒学生运算时注意符号准确性，提取公因式后不要漏项。
【难度系数】
0.7

9. (拓展题)若$△ ABC$的三边长分别为$a,b,c$，且$a + 2ab = c + 2bc$，请判断$△ ABC$的形状，并说明理由.

9. 解:$△ ABC$ 是等腰三角形. 理由如下:
整理,得 $a + 2ab - c - 2bc = 0$.
$\therefore (a - c) + 2b(a - c) = 0. \therefore (a - c)(1 + 2b) = 0.$
$\therefore a - c = 0$ 或 $1 + 2b = 0. \therefore a = c$ 或 $b = -\dfrac{1}{2}$(舍去).
$\therefore △ ABC$ 是等腰三角形.

【分析】
要判断三角形的形状，需先推导三边的等量关系。首先对已知等式进行移项整理，再用提公因式法分解因式，将等式转化为两个因式乘积为0的形式；结合三角形边长为正数的性质，排除不符合实际的解，得到边的等量关系，即可判断三角形形状。
【解析】
△ABC是等腰三角形，理由如下：
对已知等式移项整理，得$a + 2ab - c - 2bc = 0$，
分组可得$(a - c) + 2b(a - c) = 0$，
提取公因式$(a - c)$，得$(a - c)(1 + 2b) = 0$，
因此$a - c = 0$或$1 + 2b = 0$，
解得$a = c$或$b = -\dfrac{1}{2}$，
因为b是三角形的边长，必为正数，故$b = -\dfrac{1}{2}$不符合实际，舍去，
因此$a = c$，△ABC为等腰三角形。
【答案】
△ABC是等腰三角形
【知识点】
提公因式法分解因式，等腰三角形的判定，三角形边长的非负性
【点评】
本题是因式分解在三角形形状判定中的典型应用，解题核心是通过移项、分组提公因式对等式变形，再结合边长的实际意义排除无效解，能很好地考查学生对因式分解的掌握程度和逻辑分析能力。
【难度系数】
0.7