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1. 请写出整式乘法中的平方差公式:$(a+b)(a-b)=$
$a^2 - b^2$
. 把平方差公式的等号两边互换,就得到:$a^2 - b^2$
$=(a+b)(a-b)$,即两个数的平方差,等于这两个数的和与这两个数的差的积.答案
1. $a^2 - b^2$ $a^2 - b^2$
解析
【分析】
解题时先回忆整式乘法中平方差公式的内容，可通过多项式乘多项式的运算法则推导验证公式，再根据题目要求将公式等号两边互换，即可得到因式分解形式的平方差公式，依次填入对应空即可。
【解析】
1. 推导整式乘法的平方差公式：根据多项式乘多项式法则，计算$(a+b)(a-b)$：
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a· a - a· b + b· a - b· b\\&=a^2 - ab + ab - b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
因此第一个空填$a^2 - b^2$。
2. 将上述公式的等号两边互换位置，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，这就是因式分解中的平方差公式，因此第二个空也填$a^2 - b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法与因式分解的互逆关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式的识记和理解，明确整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆的变形，是后续运用平方差公式进行因式分解、简便运算的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆整式乘法中平方差公式的内容，可通过多项式乘多项式的运算法则推导验证公式，再根据题目要求将公式等号两边互换，即可得到因式分解形式的平方差公式，依次填入对应空即可。
【解析】
1. 推导整式乘法的平方差公式：根据多项式乘多项式法则，计算$(a+b)(a-b)$：
$\begin{aligned}(a+b)(a-b)&=a· a - a· b + b· a - b· b\\&=a^2 - ab + ab - b^2\\&=a^2 - b^2\end{aligned}$
因此第一个空填$a^2 - b^2$。
2. 将上述公式的等号两边互换位置，可得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，这就是因式分解中的平方差公式，因此第二个空也填$a^2 - b^2$。
【答案】
$a^2 - b^2$；$a^2 - b^2$
【知识点】
平方差公式；整式乘法与因式分解的互逆关系
【点评】
本题属于基础概念题，重点考查对平方差公式的识记和理解，明确整式乘法的平方差公式与因式分解的平方差公式是互逆的变形，是后续运用平方差公式进行因式分解、简便运算的基础，需熟练掌握。
【难度系数】
0.9
2.【例1】(人教八上$\mathrm{P}_{129}$练习$\mathrm{T}_{1}$改编)下列多项式:①$x^2 + y^2$;②$x^2 - y^2$;③$-x^2 + y^2$;④$-x^2 - y^2$.其中能用平方差公式分解因式的是 (
A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
D
)A.①②
B.①④
C.③④
D.②③
答案
2. D
解析
【分析】
解题时首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都可表示为某个整式的平方形式，且两项的符号相反（即满足“$a^2 - b^2$”的结构）。接下来我们按照这个条件逐一判断每个多项式是否符合，最终选出正确选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$，需满足二项式、两项为平方形式、符号相反三个特征。
对四个多项式逐一判断：
① $x^2 + y^2$：两项符号均为正，符号相同，不符合平方差结构，不能用平方差公式分解；
② $x^2 - y^2$：符合$a^2 - b^2$的结构，可分解为$(x+y)(x-y)$，符合要求；
③ $-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合$a^2 - b^2$的结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
④ $-x^2 - y^2$：两项符号均为负，符号相同，变形为$-(x^2 + y^2)$后仍不符合平方差结构，不能用平方差公式分解。
综上，符合条件的是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式符号变形
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是抓住平方差公式分解因式的结构特征，解题时遇到符号不一致的多项式可以先调整项的顺序再判断，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：能用平方差公式分解因式的多项式必须是二项式，两项都可表示为某个整式的平方形式，且两项的符号相反（即满足“$a^2 - b^2$”的结构）。接下来我们按照这个条件逐一判断每个多项式是否符合，最终选出正确选项即可。
【解析】
平方差公式分解因式的形式为：$\boldsymbol{a^2 - b^2=(a+b)(a-b)}$，需满足二项式、两项为平方形式、符号相反三个特征。
对四个多项式逐一判断：
① $x^2 + y^2$：两项符号均为正，符号相同，不符合平方差结构，不能用平方差公式分解；
② $x^2 - y^2$：符合$a^2 - b^2$的结构，可分解为$(x+y)(x-y)$，符合要求；
③ $-x^2 + y^2$：变形为$y^2 - x^2$，符合$a^2 - b^2$的结构，可分解为$(y+x)(y-x)$，符合要求；
④ $-x^2 - y^2$：两项符号均为负，符号相同，变形为$-(x^2 + y^2)$后仍不符合平方差结构，不能用平方差公式分解。
综上，符合条件的是②③，答案选D。
【答案】
D
【知识点】
平方差公式分解因式；多项式符号变形
【点评】
本题是基础概念考查题，核心是抓住平方差公式分解因式的结构特征，解题时遇到符号不一致的多项式可以先调整项的顺序再判断，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.8
3. 下列多项式中，不能用平方差公式分解因式的是（
A.$a^2 + (-b)^2$
B.$9m^2 - 1$
C.$16 - x^2$
D.$\frac{1}{4}m^2 - 1$
A
）A.$a^2 + (-b)^2$
B.$9m^2 - 1$
C.$16 - x^2$
D.$\frac{1}{4}m^2 - 1$
答案
3. A
解析
【分析】
要判断哪个多项式不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，能用该公式分解的多项式需满足两个特征：①共有两项，两项都能写成某个整式平方的形式；②两项符号相反（一正一负）。接下来逐个分析选项是否符合上述特征即可。
【解析】
平方差公式分解因式的结构为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
选项A：$a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正，符号相同，属于平方和的形式，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式；
选项B：$9m^2 -1 = (3m)^2 - 1^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(3m+1)(3m-1)$，不符合题意；
选项C：$16 - x^2 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(4+x)(4-x)$，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{4}m^2 -1 = (\frac{1}{2}m)^2 - 1^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(\frac{1}{2}m +1)(\frac{1}{2}m -1)$，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，判断前可先对多项式做初步化简，再对照特征逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
要判断哪个多项式不能用平方差公式分解因式，首先要明确平方差公式分解因式的适用条件：平方差公式的形式为$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$，能用该公式分解的多项式需满足两个特征：①共有两项，两项都能写成某个整式平方的形式；②两项符号相反（一正一负）。接下来逐个分析选项是否符合上述特征即可。
【解析】
平方差公式分解因式的结构为：两个数的平方差，等于这两个数的和与这两个数的差的积，即$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$。
选项A：$a^2 + (-b)^2 = a^2 + b^2$，两项均为正，符号相同，属于平方和的形式，不符合平方差公式的结构特征，不能用平方差公式分解因式；
选项B：$9m^2 -1 = (3m)^2 - 1^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(3m+1)(3m-1)$，不符合题意；
选项C：$16 - x^2 = 4^2 - x^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(4+x)(4-x)$，不符合题意；
选项D：$\frac{1}{4}m^2 -1 = (\frac{1}{2}m)^2 - 1^2$，符合平方差公式的结构，可分解为$(\frac{1}{2}m +1)(\frac{1}{2}m -1)$，不符合题意。
【答案】
A
【知识点】
1. 平方差公式
2. 公式法分解因式
【点评】
本题考查平方差公式分解因式的应用，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征，判断前可先对多项式做初步化简，再对照特征逐一验证即可。
【难度系数】
0.8
4.【例2】分解因式：
(1)$x^2 -25$； (2)$4x^2 - y^2$；
(3)$9x^2 -16y^2$； (4)$a^4 - b^2$。
5.分解因式：
(1)$4 - m^2$； (2)$\frac{1}{36}a^2 -4b^2$；
(3)$-25n^2 + m^2$； (4)$81a^2 -49b^4$。
(1)$x^2 -25$； (2)$4x^2 - y^2$；
(3)$9x^2 -16y^2$； (4)$a^4 - b^2$。
5.分解因式：
(1)$4 - m^2$； (2)$\frac{1}{36}a^2 -4b^2$；
(3)$-25n^2 + m^2$； (4)$81a^2 -49b^4$。
答案
4. (1) 解:原式 = $x^2 - 5^2 = (x + 5)(x - 5)$.
(2) 解:原式 = $(2x)^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y)$.
(3) 解:原式 = $(3x)^2 - (4y)^2 = (3x + 4y)(3x - 4y)$.
(4) 解:原式 = $(a^2)^2 - b^2 = (a^2 + b)(a^2 - b)$.
5. (1) 解:原式 = $2^2 - m^2 = (2 + m)(2 - m)$.
(2) 解:原式 = $(\frac{1}{6}a)^2 - (2b)^2 = (\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)$.
(3) 解:原式 = $m^2 - (5n)^2 = (m + 5n)(m - 5n)$.
(4) 解:原式 = $(9a)^2 - (7b^2)^2 = (9a + 7b^2)(9a - 7b^2)$.
(2) 解:原式 = $(2x)^2 - y^2 = (2x + y)(2x - y)$.
(3) 解:原式 = $(3x)^2 - (4y)^2 = (3x + 4y)(3x - 4y)$.
(4) 解:原式 = $(a^2)^2 - b^2 = (a^2 + b)(a^2 - b)$.
5. (1) 解:原式 = $2^2 - m^2 = (2 + m)(2 - m)$.
(2) 解:原式 = $(\frac{1}{6}a)^2 - (2b)^2 = (\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)$.
(3) 解:原式 = $m^2 - (5n)^2 = (m + 5n)(m - 5n)$.
(4) 解:原式 = $(9a)^2 - (7b^2)^2 = (9a + 7b^2)(9a - 7b^2)$.
解析
【分析】
本组题目均为利用平方差公式进行因式分解的基础题型，平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$，解题思路如下：首先观察式子特征：需满足“两项式、两项符号相反、每一项都能写成某个整式的平方形式”三个条件，符合特征后将原式转化为“$a^2 - b^2$”的标准结构，准确找到对应公式中的$a$和$b$，最后直接套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
第4题
(1) 先将25改写为$5^2$，得原式=$x^2 - 5^2$，对应平方差公式中$a=x$，$b=5$，代入公式得：$(x + 5)(x - 5)$
(2) 先将$4x^2$改写为$(2x)^2$，得原式=$(2x)^2 - y^2$，对应平方差公式中$a=2x$，$b=y$，代入公式得：$(2x + y)(2x - y)$
(3) 先将$9x^2$改写为$(3x)^2$，$16y^2$改写为$(4y)^2$，得原式=$(3x)^2 - (4y)^2$，对应平方差公式中$a=3x$，$b=4y$，代入公式得：$(3x + 4y)(3x - 4y)$
(4) 先将$a^4$改写为$(a^2)^2$，得原式=$(a^2)^2 - b^2$，对应平方差公式中$a=a^2$，$b=b$，代入公式得：$(a^2 + b)(a^2 - b)$
第5题
(1) 先将4改写为$2^2$，得原式=$2^2 - m^2$，对应平方差公式中$a=2$，$b=m$，代入公式得：$(2 + m)(2 - m)$
(2) 先将$\frac{1}{36}a^2$改写为$(\frac{1}{6}a)^2$，$4b^2$改写为$(2b)^2$，得原式=$(\frac{1}{6}a)^2 - (2b)^2$，对应平方差公式中$a=\frac{1}{6}a$，$b=2b$，代入公式得：$(\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)$
(3) 先交换两项位置改写为$m^2 - 25n^2$，再将$25n^2$改写为$(5n)^2$，得原式=$m^2 - (5n)^2$，对应平方差公式中$a=m$，$b=5n$，代入公式得：$(m + 5n)(m - 5n)$
(4) 先将$81a^2$改写为$(9a)^2$，$49b^4$改写为$(7b^2)^2$，得原式=$(9a)^2 - (7b^2)^2$，对应平方差公式中$a=9a$，$b=7b^2$，代入公式得：$(9a + 7b^2)(9a - 7b^2)$
【答案】
4. (1) $\boldsymbol{(x + 5)(x - 5)}$
(2) $\boldsymbol{(2x + y)(2x - y)}$
(3) $\boldsymbol{(3x + 4y)(3x - 4y)}$
(4) $\boldsymbol{(a^2 + b)(a^2 - b)}$
5. (1) $\boldsymbol{(2 + m)(2 - m)}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)}$
(3) $\boldsymbol{(m + 5n)(m - 5n)}$
(4) $\boldsymbol{(9a + 7b^2)(9a - 7b^2)}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的乘方
【点评】
本组题目为平方差公式分解因式的基础训练题，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题关键是准确将原式的两项转化为整式平方的形式，通过练习可快速掌握公式法因式分解的基本步骤，提升对整式平方结构的敏感度。
【难度系数】
0.85
本组题目均为利用平方差公式进行因式分解的基础题型，平方差公式为$\boldsymbol{a^2 - b^2 = (a + b)(a - b)}$，解题思路如下：首先观察式子特征：需满足“两项式、两项符号相反、每一项都能写成某个整式的平方形式”三个条件，符合特征后将原式转化为“$a^2 - b^2$”的标准结构，准确找到对应公式中的$a$和$b$，最后直接套用平方差公式即可完成因式分解。
【解析】
第4题
(1) 先将25改写为$5^2$，得原式=$x^2 - 5^2$，对应平方差公式中$a=x$，$b=5$，代入公式得：$(x + 5)(x - 5)$
(2) 先将$4x^2$改写为$(2x)^2$，得原式=$(2x)^2 - y^2$，对应平方差公式中$a=2x$，$b=y$，代入公式得：$(2x + y)(2x - y)$
(3) 先将$9x^2$改写为$(3x)^2$，$16y^2$改写为$(4y)^2$，得原式=$(3x)^2 - (4y)^2$，对应平方差公式中$a=3x$，$b=4y$，代入公式得：$(3x + 4y)(3x - 4y)$
(4) 先将$a^4$改写为$(a^2)^2$，得原式=$(a^2)^2 - b^2$，对应平方差公式中$a=a^2$，$b=b$，代入公式得：$(a^2 + b)(a^2 - b)$
第5题
(1) 先将4改写为$2^2$，得原式=$2^2 - m^2$，对应平方差公式中$a=2$，$b=m$，代入公式得：$(2 + m)(2 - m)$
(2) 先将$\frac{1}{36}a^2$改写为$(\frac{1}{6}a)^2$，$4b^2$改写为$(2b)^2$，得原式=$(\frac{1}{6}a)^2 - (2b)^2$，对应平方差公式中$a=\frac{1}{6}a$，$b=2b$，代入公式得：$(\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)$
(3) 先交换两项位置改写为$m^2 - 25n^2$，再将$25n^2$改写为$(5n)^2$，得原式=$m^2 - (5n)^2$，对应平方差公式中$a=m$，$b=5n$，代入公式得：$(m + 5n)(m - 5n)$
(4) 先将$81a^2$改写为$(9a)^2$，$49b^4$改写为$(7b^2)^2$，得原式=$(9a)^2 - (7b^2)^2$，对应平方差公式中$a=9a$，$b=7b^2$，代入公式得：$(9a + 7b^2)(9a - 7b^2)$
【答案】
4. (1) $\boldsymbol{(x + 5)(x - 5)}$
(2) $\boldsymbol{(2x + y)(2x - y)}$
(3) $\boldsymbol{(3x + 4y)(3x - 4y)}$
(4) $\boldsymbol{(a^2 + b)(a^2 - b)}$
5. (1) $\boldsymbol{(2 + m)(2 - m)}$
(2) $\boldsymbol{(\frac{1}{6}a + 2b)(\frac{1}{6}a - 2b)}$
(3) $\boldsymbol{(m + 5n)(m - 5n)}$
(4) $\boldsymbol{(9a + 7b^2)(9a - 7b^2)}$
【知识点】
平方差公式，因式分解，幂的乘方
【点评】
本组题目为平方差公式分解因式的基础训练题，重点考查对平方差公式结构特征的识别能力，解题关键是准确将原式的两项转化为整式平方的形式，通过练习可快速掌握公式法因式分解的基本步骤，提升对整式平方结构的敏感度。
【难度系数】
0.85
6.【例3】分解因式：$(2x+y)^2 - (x+2y)^2$
答案
6. 解:原式 = $[(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) - (x + 2y)]$
= $(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
= $(3x + 3y)(x - y) = 3(x + y)(x - y)$.
= $(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
= $(3x + 3y)(x - y) = 3(x + y)(x - y)$.
解析
【分析】首先观察待分解的式子，可发现它是两个整式的平方作差的结构，完全符合平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$的形式，因此可先将$2x+y$看作公式里的$a$，$x+2y$看作公式里的$b$，套用平方差公式完成第一步分解；之后对分解得到的两个括号内的式子分别去括号、合并同类项，再检查所得结果是否存在公因式，提取公因式直到结果无法再分解即可。
【解析】
解：原式套用平方差公式分解得：
$[(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) - (x + 2y)]$
去括号并合并同类项：
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
提取公因式3得：
$=3(x + y)(x - y)$
【答案】
$3(x+y)(x-y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、合并同类项、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，分解过程中要注意去括号的符号问题，最后要确保因式分解的结果彻底，没有可再分解的因式。
【难度系数】
0.8
【解析】
解：原式套用平方差公式分解得：
$[(2x + y) + (x + 2y)][(2x + y) - (x + 2y)]$
去括号并合并同类项：
$=(2x + y + x + 2y)(2x + y - x - 2y)$
$=(3x + 3y)(x - y)$
提取公因式3得：
$=3(x + y)(x - y)$
【答案】
$3(x+y)(x-y)$
【知识点】
平方差公式分解因式、合并同类项、提公因式法分解因式
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，分解过程中要注意去括号的符号问题，最后要确保因式分解的结果彻底，没有可再分解的因式。
【难度系数】
0.8
7. 分解因式:$9x^2 - (x - 2y)^2$
答案
7. 解:原式 = $(3x)^2 - (x - 2y)^2$
= $[3x + (x - 2y)] · [3x - (x - 2y)]$
= $(3x + x - 2y)(3x - x + 2y) = (4x - 2y)(2x + 2y)$
= $4(2x - y)(x + y)$.
= $[3x + (x - 2y)] · [3x - (x - 2y)]$
= $(3x + x - 2y)(3x - x + 2y) = (4x - 2y)(2x + 2y)$
= $4(2x - y)(x + y)$.
解析
【分析】
观察原式结构，发现是两个整式的平方相减，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$的特征，解题思路如下：第一步先将原式转化为平方差的标准形式，确定公式里的$a$为$3x$，$b$为$x-2y$；第二步套用平方差公式初步分解；第三步去掉括号合并同类项；第四步检查每个因式是否还有公因式，提取公因式直至所有因式都不能再分解为止。
【解析】
原式$=(3x)^2 - (x - 2y)^2$
$=[3x + (x - 2y)] · [3x - (x - 2y)]$
$=(3x + x - 2y)(3x - x + 2y)$
$=(4x - 2y)(2x + 2y)$
$=4(2x - y)(x + y)$
【答案】
$4(2x - y)(x + y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，分解过程中要注意去括号的符号规则，最终结果要保证每一个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
观察原式结构，发现是两个整式的平方相减，符合平方差公式$a^2 - b^2 = (a+b)(a-b)$的特征，解题思路如下：第一步先将原式转化为平方差的标准形式，确定公式里的$a$为$3x$，$b$为$x-2y$；第二步套用平方差公式初步分解；第三步去掉括号合并同类项；第四步检查每个因式是否还有公因式，提取公因式直至所有因式都不能再分解为止。
【解析】
原式$=(3x)^2 - (x - 2y)^2$
$=[3x + (x - 2y)] · [3x - (x - 2y)]$
$=(3x + x - 2y)(3x - x + 2y)$
$=(4x - 2y)(2x + 2y)$
$=4(2x - y)(x + y)$
【答案】
$4(2x - y)(x + y)$
【知识点】
平方差公式分解因式，提公因式法分解因式，合并同类项
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是准确识别平方差公式的结构特征，分解过程中要注意去括号的符号规则，最终结果要保证每一个因式都不能再继续分解。
【难度系数】
0.8
