21.（本小题满分10分）
已知$AB=AC$，$D$是直线$BC$上一动点，以$AD$为一条边在$AD$的右侧作$△ ADE$，使$AE=AD$，$∠ DAE=∠ BAC$，连接$CE$.
（1）如图，当点$D$在线段$BC$的延长线上时，若$∠ BAC=25°$，则$∠ DCE=$.
（2）设$∠ BAC=α$，$∠ DCE=β$. $α$与$β$之间有什么数量关系？请说明理由.

21. (1) $25°$
(2) 如图①，当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，$α=β$。
理由：$\because ∠ DAE=∠ BAC$,
$\therefore ∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$.
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$.
$\because ∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ DCE$, 即$α=β$.
如图②，当点$D$在线段$BC$上移动时，$α+β=180°$。
理由：$\because ∠ DAE=∠ BAC$,
$\therefore ∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$.
$\therefore ∠ BAD=∠ CAE$.
在$△ BAD$ 和$△ CAE$ 中,
$\because\begin{cases}AB=AC,\\∠ BAD=∠ CAE,\\AD=AE,\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$.
$\because ∠ ACM=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ MCE$,
$\therefore ∠ BAC=∠ MCE=α$.
$\because ∠ DCE+∠ MCE=180°$,
$\therefore α+β=180°$.
当点$D$在线段$CB$的延长线上移动时，同理$α=β$.
综上所述，$α=β$或$α+β=180°$.

【分析】
本题为动点结合全等三角形的角度探究类问题，解题思路如下：
1. 第（1）问：已知两组边相等$AB=AC$、$AD=AE$，且$∠ DAE=∠ BAC$，可先通过角的和差得到相等的夹角，利用SAS证明$△ BAD≌△ CAE$，再结合三角形外角的性质推导$∠ DCE$与$∠ BAC$的等量关系，代入数值即可得到结果。
2. 第（2）问：由于$D$是直线$BC$上的动点，需分三种情况讨论：①点$D$在线段$BC$的延长线上；②点$D$在线段$BC$上；③点$D$在线段$CB$的延长线上。每种情况均先证明$△ BAD$和$△ CAE$全等，得到对应角相等后，结合邻补角、三角形外角的性质，即可推导$α$与$β$的数量关系。
【解析】
（1）
$\because ∠ DAE=∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$，
$\because ∠ ACD$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC$，
又$\because ∠ ACD=∠ ACE+∠ DCE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCE$，
$\because ∠ BAC=25°$，
$\therefore ∠ DCE=25°$。
（2）分三种情况讨论：
① 当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时：
$\because ∠ DAE=∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE+∠ CAD=∠ BAC+∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$，
$\because ∠ ACD=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ DCE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ DCE$，即$α=β$。
② 当点$D$在线段$BC$上移动时：
$\because ∠ DAE=∠ BAC$，
$\therefore ∠ DAE-∠ CAD=∠ BAC-∠ CAD$，即$∠ BAD=∠ CAE$，
在$△ BAD$和$△ CAE$中：
$\begin{cases}AB=AC\\∠ BAD=∠ CAE\\AD=AE\end{cases}$
$\therefore △ BAD≌△ CAE(\mathrm{SAS})$，
$\therefore ∠ ABD=∠ ACE$，
$\because ∠ ACM$是$△ ABC$的外角，
$\therefore ∠ ACM=∠ ABD+∠ BAC=∠ ACE+∠ MCE$，
$\therefore ∠ BAC=∠ MCE=α$，
$\because ∠ DCE+∠ MCE=180°$，
$\therefore α+β=180°$。
③ 当点$D$在线段$CB$的延长线上移动时，同理可证$△ BAD≌△ CAE$，推导得$α=β$。
综上，$α$与$β$的数量关系为$α=β$或$α+β=180°$。
【答案】
(1) $25°$
(2) 如图①，当点$D$在线段$BC$的延长线上移动时，$α=β$。
如图②，当点$D$在线段$BC$上移动时，$α+β=180°$。
当点$D$在线段$CB$的延长线上移动时，同理$α=β$。
综上所述，$α=β$或$α+β=180°$。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 三角形外角性质
3. 角的和差计算
【点评】
本题是动点与全等三角形结合的典型题型，解题核心是利用公共角的和差得到全等所需的相等夹角，再结合角的相关性质推导角度关系；需要注意动点在直线上运动时，要覆盖所有可能的位置分类讨论，避免漏解。
【难度系数】
0.6