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21. (本小题满分12分)
在直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，D是直线AB上一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转$90°$，得到线段CE，连接BE.
(1)【操作发现】如图①，当点D在线段AB上时，AB与BE之间的位置关系为
(2)【猜想论证】如图②，③，图②是点D在射线BM上运动的情境，图③是点D在射线AN上运动的情境. 请写出这两种情境下线段AB，BD，BE之间的数量关系，并对图②对应的结论进行证明.
(3)【拓展延伸】在图②，③的情境下，连接AE，DE. 若$AB=5$，$BD=7$，分别求出$△ ADE$的面积.
在直角三角形ABC中，$∠ ACB=90°$，$CA=CB$，D是直线AB上一点，连接CD，将线段CD绕点C逆时针旋转$90°$，得到线段CE，连接BE.
(1)【操作发现】如图①，当点D在线段AB上时，AB与BE之间的位置关系为
$AB⊥ BE$
；线段AB，BD，BE之间的数量关系为$AB=BD+BE$
.(2)【猜想论证】如图②，③，图②是点D在射线BM上运动的情境，图③是点D在射线AN上运动的情境. 请写出这两种情境下线段AB，BD，BE之间的数量关系，并对图②对应的结论进行证明.
(3)【拓展延伸】在图②，③的情境下，连接AE，DE. 若$AB=5$，$BD=7$，分别求出$△ ADE$的面积.
答案
21. 解：(1)$AB⊥ BE$，$AB=BD+BE$
(2)在图②中，$BE=AB+BD$.
证明：$\because∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\because\begin{cases}CA=CB,\\∠ ACD=∠ BCE,\\CD=CE,\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AD=BE$.
又$\because AD=AB+BD$，
$\therefore BE=AB+BD$.
在图③中，$BD=AB+BE$.
(3)对于图②中的情境，
$\because AB=5$，$BD=7$，
$\therefore BE=AD=5+7=12$.
由(2)知$△ ACD≌△ BCE$，
$\therefore∠ A=∠ CBE$.
又$\because∠ A+∠ ABC=90°$，
$\therefore∠ CBE+∠ ABC=90°$，
即$BE⊥ AD$，
$\therefore S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· AD· BE=\dfrac{1}{2}×12×12=72$.
对于图③中的情境，
$\because AB=5$，$BD=7$，
$\therefore BE=AD=BD-AB=7-5=2$.
易证$BE⊥ AD$，
$\therefore S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· AD· BE=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.
(2)在图②中，$BE=AB+BD$.
证明：$\because∠ ACB=∠ DCE=90°$，
$\therefore∠ ACB+∠ BCD=∠ DCE+∠ BCD$，
即$∠ ACD=∠ BCE$.
在$△ ACD$和$△ BCE$中，
$\because\begin{cases}CA=CB,\\∠ ACD=∠ BCE,\\CD=CE,\end{cases}$
$\therefore△ ACD≌△ BCE(\mathrm{SAS})$.
$\therefore AD=BE$.
又$\because AD=AB+BD$，
$\therefore BE=AB+BD$.
在图③中，$BD=AB+BE$.
(3)对于图②中的情境，
$\because AB=5$，$BD=7$，
$\therefore BE=AD=5+7=12$.
由(2)知$△ ACD≌△ BCE$，
$\therefore∠ A=∠ CBE$.
又$\because∠ A+∠ ABC=90°$，
$\therefore∠ CBE+∠ ABC=90°$，
即$BE⊥ AD$，
$\therefore S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· AD· BE=\dfrac{1}{2}×12×12=72$.
对于图③中的情境，
$\because AB=5$，$BD=7$，
$\therefore BE=AD=BD-AB=7-5=2$.
易证$BE⊥ AD$，
$\therefore S_{△ ADE}=\dfrac{1}{2}· AD· BE=\dfrac{1}{2}×2×2=2$.
解析
【分析】
本题围绕等腰直角三角形与旋转的性质展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据旋转性质得到CD=CE、∠DCE=90°，结合已知∠ACB=90°推导得∠ACD=∠BCE，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到对应边AD=BE、对应角∠A=∠CBE；再结合等腰直角△ABC的底角互余，推导∠ABE=90°得到垂直关系，再根据线段和差整理AB、BD、BE的数量关系。
2. 第(2)问：图②和图③仍沿用上述全等证明思路，仅根据点D的位置不同，调整AD的线段和差表达式，即可得到对应三者的数量关系。
3. 第(3)问：由全等推导得BE始终垂直于AD，△ADE为直角三角形，且AD=BE，结合已知AB、BD的长度分别求出两种情境下AD、BE的长度，代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质得：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠A=∠CBE，
∵△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，即$AB⊥BE$，
又
∵AD=AB-BD，AD=BE，
∴AB-BD=BE，即$AB=BD+BE$。
(2) 图②中结论：$BE=AB+BD$，图③中结论：$BD=AB+BE$。
证明图②的结论：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
又
∵点D在射线BM上，AD=AB+BD，
∴$BE=AB+BD$。
(3) ① 图②情境下：
已知AB=5，BD=7，
∴BE=AD=AB+BD=5+7=12，
由△ACD≌△BCE得∠A=∠CBE，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，即BE⊥AD，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}·AD·BE=\frac{1}{2}×12×12=72$。
② 图③情境下：
已知AB=5，BD=7，
∴BE=AD=BD-AB=7-5=2，
同理可证BE⊥AD，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}·AD·BE=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $AB⊥BE$，$AB=BD+BE$
(2) 图②：$BE=AB+BD$；图③：$BD=AB+BE$
(3) 图②情境下△ADE的面积为72，图③情境下△ADE的面积为2
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何变换综合题，以等腰直角三角形和旋转为背景，核心考查全等三角形的构造与线段、角度关系的转化，解题的关键是抓住旋转前后线段相等、角相等的性质，证明三角形全等实现边和角的转移，同时需注意动点位置不同时线段和差关系的变化，避免漏解。
【难度系数】
0.6
本题围绕等腰直角三角形与旋转的性质展开，解题思路如下：
1. 第(1)问：先根据旋转性质得到CD=CE、∠DCE=90°，结合已知∠ACB=90°推导得∠ACD=∠BCE，利用SAS证明△ACD≌△BCE，得到对应边AD=BE、对应角∠A=∠CBE；再结合等腰直角△ABC的底角互余，推导∠ABE=90°得到垂直关系，再根据线段和差整理AB、BD、BE的数量关系。
2. 第(2)问：图②和图③仍沿用上述全等证明思路，仅根据点D的位置不同，调整AD的线段和差表达式，即可得到对应三者的数量关系。
3. 第(3)问：由全等推导得BE始终垂直于AD，△ADE为直角三角形，且AD=BE，结合已知AB、BD的长度分别求出两种情境下AD、BE的长度，代入直角三角形面积公式计算即可。
【解析】
(1) 由旋转的性质得：CD=CE，∠DCE=90°，
∵∠ACB=90°，
∴∠ACB-∠BCD=∠DCE-∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，∠A=∠CBE，
∵△ABC中，∠ACB=90°，CA=CB，
∴∠A=∠ABC=45°，
∴∠CBE=45°，
∴∠ABE=∠ABC+∠CBE=45°+45°=90°，即$AB⊥BE$，
又
∵AD=AB-BD，AD=BE，
∴AB-BD=BE，即$AB=BD+BE$。
(2) 图②中结论：$BE=AB+BD$，图③中结论：$BD=AB+BE$。
证明图②的结论：
∵∠ACB=∠DCE=90°，
∴∠ACB+∠BCD=∠DCE+∠BCD，即∠ACD=∠BCE，
在△ACD和△BCE中，
$\begin{cases}CA=CB\\∠ACD=∠BCE\\CD=CE\end{cases}$
∴△ACD≌△BCE(SAS)，
∴AD=BE，
又
∵点D在射线BM上，AD=AB+BD，
∴$BE=AB+BD$。
(3) ① 图②情境下：
已知AB=5，BD=7，
∴BE=AD=AB+BD=5+7=12，
由△ACD≌△BCE得∠A=∠CBE，
∵∠A+∠ABC=90°，
∴∠CBE+∠ABC=90°，即BE⊥AD，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}·AD·BE=\frac{1}{2}×12×12=72$。
② 图③情境下：
已知AB=5，BD=7，
∴BE=AD=BD-AB=7-5=2，
同理可证BE⊥AD，
∴$S_{△ADE}=\frac{1}{2}·AD·BE=\frac{1}{2}×2×2=2$。
【答案】
(1) $AB⊥BE$，$AB=BD+BE$
(2) 图②：$BE=AB+BD$；图③：$BD=AB+BE$
(3) 图②情境下△ADE的面积为72，图③情境下△ADE的面积为2
【知识点】
旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何变换综合题，以等腰直角三角形和旋转为背景，核心考查全等三角形的构造与线段、角度关系的转化，解题的关键是抓住旋转前后线段相等、角相等的性质，证明三角形全等实现边和角的转移，同时需注意动点位置不同时线段和差关系的变化，避免漏解。
【难度系数】
0.6
