(10)对于任意正数$m$，$n$，定义运算$*$：
$m*n=\begin{cases}\sqrt{m}-\sqrt{n}&(m≥ n),\\\sqrt{m}+\sqrt{n}&(m＜ n).\end{cases}$
计算$(3*2)×(8*12)$的结果是（）

A.$2-4\sqrt{6}$
B.$2$
C.$2\sqrt{5}$
D.$20$

(10) B

【分析】
本题是新定义运算类题目，解题思路分为三步：第一步先明确新运算*的规则，即先比较运算符号前后两个数的大小，再对应选择减法或加法的根式运算；第二步分别计算两个括号内的(3*2)和(8*12)的结果，注意对二次根式进行化简；第三步将两个结果相乘，观察式子特征，利用平方差公式简化计算即可得到最终结果。
【解析】
1. 计算$3*2$：
因为$3≥2$，根据新运算规则，$3*2=\sqrt{3}-\sqrt{2}$。
2. 计算$8*12$：
因为$8＜12$，根据新运算规则，$8*12=\sqrt{8}+\sqrt{12}$，化简得$\sqrt{8}+\sqrt{12}=2\sqrt{2}+2\sqrt{3}=2(\sqrt{2}+\sqrt{3})$。
3. 计算乘积：
原式$=(\sqrt{3}-\sqrt{2})×2(\sqrt{3}+\sqrt{2})$
利用平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$，得：
$=2×[(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2]$
$=2×(3-2)$
$=2×1=2$
【答案】
B
【知识点】
新定义运算，二次根式运算，平方差公式
【点评】
本题重点考察对新定义的理解运用能力，以及二次根式的化简和整式乘法公式的灵活应用，解题的核心是先严格按照定义算出每个部分的结果，再结合公式简化计算，能有效避免复杂的根式运算。
【难度系数】
0.7

(1)当时，代数式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$有意义。

(1) x≥1 且 x≠3

【分析】
要判断该代数式有意义的条件，首先观察代数式的构成：它是分式，且分子是二次根式，因此需要同时满足两个要求：一是二次根式的被开方数必须是非负数，保证根号有意义；二是分式的分母不能为0，保证分式有意义。我们只需要分别列出两个限制条件，求解后取公共的取值范围即可。
【解析】
要使代数式$\frac{\sqrt{x-1}}{x-3}$有意义，需同时满足：
1. 二次根式被开方数非负：$x-1≥0$，解得$x≥1$；
2. 分式分母不为0：$x-3≠0$，解得$x≠3$。
综合两个条件，可得x的取值范围是$x≥1$且$x≠3$。
【答案】
x≥1 且 x≠3
【知识点】
二次根式有意义的条件；分式有意义的条件
【点评】
本题属于基础题型，解题时需注意代数式同时包含二次根式和分式时，要同时满足两类式子的有意义条件，不要遗漏分母不为0的限制。
【难度系数】
0.8

(2)若 $y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 5$，则 $\sqrt{2xy} =$

(2) 2√10

【分析】
要解决这道题，首先要回忆二次根式有意义的条件：被开方数必须是非负数。题中两个根号下的式子x-4和4-x互为相反数，要同时满足非负要求，只能二者都为0，由此先求出x的值，再代入原式求出y的值，最后把x、y代入$\sqrt{2xy}$化简计算即可得到结果。
【解析】
第一步：根据二次根式有意义的条件，被开方数≥0，列不等式组：
$\begin{cases}x - 4 ≥ 0 \\4 - x ≥ 0\end{cases}$
解x-4≥0得x≥4，解4-x≥0得x≤4，因此x=4。
第二步：将x=4代入$y = \sqrt{x - 4} + \sqrt{4 - x} + 5$计算y的值：
$y = \sqrt{4-4} + \sqrt{4-4} +5 = 0+0+5=5$
第三步：把x=4、y=5代入$\sqrt{2xy}$化简：
$\sqrt{2xy} = \sqrt{2×4×5} = \sqrt{40} = 2\sqrt{10}$
【答案】
$2\sqrt{10}$
【知识点】
1.二次根式有意义的条件 2.二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算题，解题突破口是利用二次根式的定义确定x的取值，重点考查对二次根式核心概念的掌握和基本代数运算能力。
【难度系数】
0.8

（3）已知$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数.请写出一个符合条件的整数$n$的值：.

(3) 1(答案不唯一)

【分析】
要解决这道题，首先回忆二次根式有意义的条件，再对给出的二次根式化简，结合结果是整数的要求推导n的取值：第一步，先确定被开方数的取值范围，保证二次根式有意义且分母不为0，得到n是正整数；第二步，化简$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$为$\dfrac{4}{\sqrt{n}}$，要让这个式子是整数，说明$\sqrt{n}$必须是4的正因数，由此就能得出符合条件的n的值，比如当$\sqrt{n}=1$时，n=1就符合要求。
【解析】
首先根据二次根式有意义的条件和分母不为0的要求，可得：
$\dfrac{16}{n}＞0$，即整数$n＞0$。
对二次根式化简：$\sqrt{\dfrac{16}{n}}=\dfrac{\sqrt{16}}{\sqrt{n}}=\dfrac{4}{\sqrt{n}}$。
因为$\sqrt{\dfrac{16}{n}}$是整数，所以$\dfrac{4}{\sqrt{n}}$是整数，即$\sqrt{n}$是4的正因数。
当$\sqrt{n}=1$时，$n=1$，此时$\sqrt{\dfrac{16}{1}}=4$，是整数，符合条件。
（注：n取4、16等也符合要求，答案不唯一）
【答案】
1（答案不唯一）
【知识点】
1.二次根式有意义的条件
2.二次根式的化简
【点评】
本题是开放型填空题，核心考查二次根式的相关性质，解题时需先保证二次根式有意义，再结合整数的要求推导n的取值，思维灵活，答案不唯一。
【难度系数】
0.8

(4)计算:
$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)=$ ,
$(\sqrt{5}-1)^2=$ ,
$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}=$ ,
$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{50}=$ .

(4) 2，6−2√5，4，5

【分析】
这是一组二次根式的运算题，解题思路如下：
1. 第一个式子符合平方差公式$(a-b)(a+b)=a^2-b^2$的结构，直接套用公式计算即可；
2. 第二个式子符合完全平方差公式$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$的结构，代入公式展开计算；
3. 第三、四个式子用二次根式乘除运算法则：$\sqrt{a}÷\sqrt{b}=\sqrt{\frac{a}{b}}(a≥0,b＞0)$、$\sqrt{a}×\sqrt{b}=\sqrt{ab}(a≥0,b≥0)$，先算根号内的运算，再开方化简。
【解析】
1. 计算$(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)$：
根据平方差公式，原式$=(\sqrt{3})^2 - 1^2 = 3 - 1 = 2$；
2. 计算$(\sqrt{5}-1)^2$：
根据完全平方差公式，原式$=(\sqrt{5})^2 - 2×\sqrt{5}×1 + 1^2 = 5 - 2\sqrt{5} + 1 = 6 - 2\sqrt{5}$；
3. 计算$\sqrt{48} ÷ \sqrt{3}$：
根据二次根式除法法则，原式$=\sqrt{48÷3}=\sqrt{16}=4$；
4. 计算$\sqrt{\frac{1}{2}} × \sqrt{50}$：
根据二次根式乘法法则，原式$=\sqrt{\frac{1}{2}×50}=\sqrt{25}=5$。
【答案】
2，$6-2\sqrt{5}$，4，5
【知识点】
乘法公式应用，二次根式乘除运算，二次根式化简
【点评】
本题属于基础运算类题目，主要考察乘法公式在二次根式运算中的应用以及二次根式的基本运算法则，运算时注意识别公式的结构特征，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.8

(5)在算式“$◯+\sqrt{8}□\sqrt{\dfrac{1}{2}}$”中，$◯$表示某一个实数，$□$表示“+” “−” “×” “÷”中的某一个运算符号.
①当$□$表示“−”时，算式的运算结果是$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$，则$◯$表示的实数是.
②当算式的运算结果最大时，$□$表示的运算符号是.

(5) ①3√2 ②÷

【分析】
①先将算式中的二次根式化简，再结合已知的运算符号和运算结果，把问题转化为解一元一次方程，即可求出○表示的实数。②由于○是固定的实数，要让整个算式的结果最大，只需计算√8与√(1/2)分别进行加、减、乘、除运算的结果，比较四个结果的大小，选结果最大的对应的运算符号即可。
【解析】
①先化简二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$。
已知表示“−”，运算结果为$\dfrac{9\sqrt{2}}{2}$，代入算式得：
$◯ + 2\sqrt{2} - \dfrac{\sqrt{2}}{2} = \dfrac{9\sqrt{2}}{2}$
计算左侧已知的二次根式部分：$2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}$
因此$◯ = \dfrac{9\sqrt{2}}{2} - \dfrac{3\sqrt{2}}{2} = 3\sqrt{2}$。
②分别计算√8和√(1/2)进行四种运算的结果：
若为“+”：$\sqrt{8}+\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{5\sqrt{2}}{2}\approx3.54$
若为“−”：$\sqrt{8}-\sqrt{\dfrac{1}{2}}=2\sqrt{2}-\dfrac{\sqrt{2}}{2}=\dfrac{3\sqrt{2}}{2}\approx2.12$
若为“×”：$\sqrt{8}×\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{8×\dfrac{1}{2}}=\sqrt{4}=2$
若为“÷”：$\sqrt{8}÷\sqrt{\dfrac{1}{2}}=\sqrt{8÷\dfrac{1}{2}}=\sqrt{16}=4$
比较可得$4＞\dfrac{5\sqrt{2}}{2}＞\dfrac{3\sqrt{2}}{2}＞2$，因此为“÷”时算式运算结果最大。
【答案】
①$3\sqrt{2}$ ②$÷$
【知识点】
二次根式的运算，解一元一次方程，实数大小比较
【点评】
本题属于基础运算综合题，核心考查二次根式的化简及四则运算法则，解题时先化简二次根式再计算可降低出错率。
【难度系数】
0.85

3. 计算.
(1)$\sqrt{8} + 2\sqrt{3} - (\sqrt{27} + \sqrt{2})$；
(2)$\sqrt{5}(\sqrt{5} + 1) - |2 - \sqrt{5}| - \sqrt[3]{-27}$。

(1) √2−√3
(2) 10

【分析】
这两道题均属于二次根式的混合运算题，解题思路如下：
(1) 第一题先将式子中的每个二次根式化为最简二次根式，再去括号，最后合并同类二次根式即可得到结果；
(2) 第二题按照先算乘方、开方和乘法，再算加减的顺序计算，其中要先判断绝对值内代数式的正负，再去绝对值符号，去括号时注意符号变化，最后合并同类项得到结果。
【解析】
(1) 先化简各二次根式：$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$，$\sqrt{27}=3\sqrt{3}$
原式$=2\sqrt{2} + 2\sqrt{3} - 3\sqrt{3} - \sqrt{2}$
合并同类二次根式：
$=(2\sqrt{2}-\sqrt{2}) + (2\sqrt{3}-3\sqrt{3})$
$=\sqrt{2} - \sqrt{3}$
(2) 分别计算每一项：
① $\sqrt{5}(\sqrt{5}+1)=(\sqrt{5})^2 + \sqrt{5}=5+\sqrt{5}$
② 因为$\sqrt{5}\approx2.236＞2$，所以$2-\sqrt{5}＜0$，故$|2-\sqrt{5}|=\sqrt{5}-2$
③ $\sqrt[3]{-27}=-3$，故$-\sqrt[3]{-27}=-(-3)=3$
将各项代入原式：
原式$=5+\sqrt{5} - (\sqrt{5}-2) + 3$
去括号：
$=5+\sqrt{5}-\sqrt{5}+2+3$
合并同类项：
$=5+2+3 + (\sqrt{5}-\sqrt{5})$
$=10$
【答案】
(1) $\sqrt{2}-\sqrt{3}$
(2) $10$
【知识点】
二次根式化简、二次根式混合运算、绝对值与立方根运算
【点评】
本题属于二次根式运算的常规基础题，核心考查最简二次根式的化简、同类二次根式的合并规则，同时结合了绝对值性质、立方根运算的基础知识点，计算时注意去括号的符号变化、绝对值去号的正负判断，细心运算即可正确求解。
【难度系数】
0.8

4. (1) 先化简，再求值：$\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ (a - \frac{2ab - b^2}{a})$，其中，$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$。
(2) 已知$a+b=-2$，$ab=\frac{1}{2}$，求$\sqrt{\frac{b}{a}} + \sqrt{\frac{a}{b}}$的值。

(1) 化简得$\frac{a+b}{a-b}$，代入数值得$\frac{2\sqrt{3}}{3}$.
(2) $-2\sqrt{2}$

【分析】
(1) 本题为分式化简求值题，解题思路如下：先按分式混合运算顺序计算括号内的分式减法，通分后对分子因式分解，再将除法转化为乘法，对被除式因式分解后约分得到最简分式，最后代入a、b的数值计算即可。
(2) 本题为二次根式化简求值题，解题思路如下：先根据a+b和ab的符号判断a、b的正负性，再利用二次根式的性质（$\sqrt{x^2}=|x|$）将原式化简为含a+b和ab的形式，最后整体代入已知数值计算即可。
【解析】
(1) 化简过程：
① 计算括号内的式子：
$a - \frac{2ab - b^2}{a} = \frac{a^2 - (2ab - b^2)}{a} = \frac{a^2 - 2ab + b^2}{a} = \frac{(a - b)^2}{a}$
② 将除法转化为乘法，同时因式分解被除式：
$\frac{a^2 - b^2}{a} ÷ \frac{(a - b)^2}{a} = \frac{(a + b)(a - b)}{a} × \frac{a}{(a - b)^2}$
③ 约分得到最简结果：
约去公因式$a$和$(a - b)$，得最简式$\frac{a + b}{a - b}$
代入数值计算：
当$a=2+\sqrt{3}$，$b=2-\sqrt{3}$时，
$a + b = (2+\sqrt{3}) + (2-\sqrt{3}) = 4$，$a - b = (2+\sqrt{3}) - (2-\sqrt{3}) = 2\sqrt{3}$
原式$= \frac{4}{2\sqrt{3}} = \frac{2\sqrt{3}}{3}$
(2) 解题过程：
① 判断a、b符号：
∵ $a + b = -2 ＜ 0$，$ab = \frac{1}{2} ＞ 0$，
∴ $a ＜ 0$，$b ＜ 0$
② 利用二次根式性质化简原式：
根据$\sqrt{\frac{m}{n}} = \frac{\sqrt{mn}}{|n|}$（$n≠0$，$mn≥0$），可得：
$\sqrt{\frac{b}{a}} = \frac{\sqrt{ab}}{|a|} = \frac{\sqrt{ab}}{-a}$（a＜0，故|a|=-a），同理$\sqrt{\frac{a}{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{-b}$
∴ 原式$= \frac{\sqrt{ab}}{-a} + \frac{\sqrt{ab}}{-b} = \sqrt{ab} · (-\frac{a + b}{ab})$
③ 整体代入计算：
将$a + b = -2$，$ab = \frac{1}{2}$代入得：
原式$= \sqrt{\frac{1}{2}} · (-\frac{-2}{\frac{1}{2}}) = \frac{\sqrt{2}}{2} × 4 = 2\sqrt{2}$
【答案】
(1) $\frac{2\sqrt{3}}{3}$；(2) $2\sqrt{2}$
【知识点】
分式的混合运算，二次根式的性质，整体代入求值
【点评】
这两道题是代数化简求值的典型题型，(1)题侧重考查分式运算规则和因式分解的应用，(2)题的易错点是忽略字母的正负性，导致二次根式化简时符号出错，熟练掌握运算性质、注意细节是解题的关键。
【难度系数】
0.65