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5. 老师设计了一个接力游戏，用合作的方式完成二次根式的运算，规则如下：每人只能看到前一人传递的式子，并进行一步计算，再将结果传递给下一个人，最后接力完成运算. 过程如图所示：
(1)在接力过程中，自己负责的一步出现错误的是
(2)请写出正确的求解过程.
(1)在接力过程中，自己负责的一步出现错误的是
甲、乙、丁
.(2)请写出正确的求解过程.
答案
(1) 甲、乙、丁
(2)$\sqrt{6}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}.$
(2)$\sqrt{6}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}.$
解析
【分析】
(1) 判断接力过程中谁出错，需逐人核对每一步运算是否符合运算法则：首先核对去括号是否符合符号规则，其次核对二次根式化简是否正确，最后核对同类二次根式合并是否符合要求，依次校验四人的步骤即可找出出错的人。
(2) 正确求解思路：第一步先根据去括号法则去掉括号，第二步化简含分母的二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
(1) 逐步骤校验：
① 甲的步骤：原式去括号应为$\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$，且$2\sqrt{\frac{1}{2}}$化简应为$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$，但甲去括号时出现错误符号、多余项，且二次根式化简错误，甲出错；
② 乙的步骤：承接甲的式子，合并$\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$后应为$\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，但乙错误重复保留了$-2×\sqrt{2}$项，乙出错；
③ 丙的步骤：承接乙的式子合并同类项得到$\sqrt{3}-3\sqrt{2}$，运算正确；
④ 丁的步骤：$\sqrt{3}$和$-3\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并为整数$-2$，丁出错。
(2) 正确运算过程：
$\quad\sqrt{6}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【答案】
(1) 甲、乙、丁
(2) 正确过程见解析，最终结果为$\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、去括号法则、同类二次根式合并
【点评】
本题结合趣味接力形式考查二次根式的混合运算，需要熟练掌握二次根式运算的各步骤规则，运算时需注意符号变化、化简结果准确性，避免出现非同类根式随意合并的错误。
【难度系数】
0.7
(1) 判断接力过程中谁出错，需逐人核对每一步运算是否符合运算法则：首先核对去括号是否符合符号规则，其次核对二次根式化简是否正确，最后核对同类二次根式合并是否符合要求，依次校验四人的步骤即可找出出错的人。
(2) 正确求解思路：第一步先根据去括号法则去掉括号，第二步化简含分母的二次根式，第三步合并同类二次根式即可得到最终结果。
【解析】
(1) 逐步骤校验：
① 甲的步骤：原式去括号应为$\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}$，且$2\sqrt{\frac{1}{2}}$化简应为$2×\frac{\sqrt{2}}{2}$，但甲去括号时出现错误符号、多余项，且二次根式化简错误，甲出错；
② 乙的步骤：承接甲的式子，合并$\sqrt{6}-\sqrt{6}=0$后应为$\sqrt{2}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}=\sqrt{3}-\sqrt{2}$，但乙错误重复保留了$-2×\sqrt{2}$项，乙出错；
③ 丙的步骤：承接乙的式子合并同类项得到$\sqrt{3}-3\sqrt{2}$，运算正确；
④ 丁的步骤：$\sqrt{3}$和$-3\sqrt{2}$不是同类二次根式，不能合并为整数$-2$，丁出错。
(2) 正确运算过程：
$\quad\sqrt{6}-(\sqrt{2}-\sqrt{3})-2\sqrt{\frac{1}{2}}$
$=\sqrt{6}-\sqrt{2}+\sqrt{3}-2×\frac{\sqrt{2}}{2}$
$=\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【答案】
(1) 甲、乙、丁
(2) 正确过程见解析，最终结果为$\sqrt{6}+\sqrt{3}-2\sqrt{2}$
【知识点】
二次根式化简、去括号法则、同类二次根式合并
【点评】
本题结合趣味接力形式考查二次根式的混合运算，需要熟练掌握二次根式运算的各步骤规则，运算时需注意符号变化、化简结果准确性，避免出现非同类根式随意合并的错误。
【难度系数】
0.7
6. 先阅读材料，再回答问题.
材料：$\sqrt{a} · \sqrt{a} = a(a ≥ 0)$，
$(\sqrt{b} + 1)(\sqrt{b} - 1) = b - 1(b ≥ 0)$.
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，如$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1$，$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2$，其中，$\sqrt{2} -1$与$\sqrt{2} +1$，$\sqrt{5} - \sqrt{3}$与$\sqrt{5} + \sqrt{3}$都互为有理化因式. 在进行二次根式的计算时，利用有理化因式可以将分母有理化.
(1) 计算：$\frac{1}{\sqrt{3}} =$
(2) 已知有理数$a$，$b$满足$\frac{a}{\sqrt{3} + 2} - \frac{2b}{\sqrt{3} -1} = 2\sqrt{3} -1$. 求$a$，$b$的值.
材料：$\sqrt{a} · \sqrt{a} = a(a ≥ 0)$，
$(\sqrt{b} + 1)(\sqrt{b} - 1) = b - 1(b ≥ 0)$.
两个含有二次根式的代数式相乘，积不含二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式，如$(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1) = (\sqrt{2})^2 - 1 = 1$，$(\sqrt{5} - \sqrt{3})(\sqrt{5} + \sqrt{3}) = (\sqrt{5})^2 - (\sqrt{3})^2 = 2$，其中，$\sqrt{2} -1$与$\sqrt{2} +1$，$\sqrt{5} - \sqrt{3}$与$\sqrt{5} + \sqrt{3}$都互为有理化因式. 在进行二次根式的计算时，利用有理化因式可以将分母有理化.
(1) 计算：$\frac{1}{\sqrt{3}} =$
$\frac{\sqrt{3}}{3}$
，$\frac{2}{\sqrt{7} - \sqrt{5}} =$ $\sqrt{7}+\sqrt{5}$
.(2) 已知有理数$a$，$b$满足$\frac{a}{\sqrt{3} + 2} - \frac{2b}{\sqrt{3} -1} = 2\sqrt{3} -1$. 求$a$，$b$的值.
答案
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{7}+\sqrt{5}$
(2) $a=-1$，$b=-1$
(2) $a=-1$，$b=-1$
解析
【分析】
本题考查二次根式的分母有理化及相关运算。(1)问核心是给分子分母同乘分母的有理化因式消去分母的根号：分母为单个二次根式时，有理化因式是其本身；分母为两个二次根式的差时，利用平方差公式，有理化因式为两个根式的和。(2)问先将等式左侧两个分式分别分母有理化，整理后根据“等式两边有理数部分对应相等、无理数（√3）的系数对应相等”列二元一次方程组，即可求解a、b的值。
【解析】
(1) ① 对$\frac{1}{\sqrt{3}}$分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$；
② 对$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{2×(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \sqrt{7}+\sqrt{5}$。
(2) 先对等式左侧的分式分别分母有理化：
$\frac{a}{\sqrt{3}+2} = \frac{a(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})} = 2a - a\sqrt{3}$，
$\frac{2b}{\sqrt{3}-1} = \frac{2b(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = b\sqrt{3} + b$，
将上述结果代入原等式：
$2a - a\sqrt{3} - (b\sqrt{3} + b) = 2\sqrt{3} - 1$，
整理得：$(2a - b) + (-a - b)\sqrt{3} = -1 + 2\sqrt{3}$。
因为a、b为有理数，所以等式两边有理数部分和$\sqrt{3}$的系数分别相等，得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -1 \\ -a - b = 2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a=-3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入$-a - b = 2$，得$1 - b = 2$，解得$b=-1$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{7}+\sqrt{5}$；(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合“有理化因式”的新定义考查二次根式的综合应用，解题关键是熟练掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法，第二问利用有理数、无理数的性质建立方程组求解，是二次根式章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
本题考查二次根式的分母有理化及相关运算。(1)问核心是给分子分母同乘分母的有理化因式消去分母的根号：分母为单个二次根式时，有理化因式是其本身；分母为两个二次根式的差时，利用平方差公式，有理化因式为两个根式的和。(2)问先将等式左侧两个分式分别分母有理化，整理后根据“等式两边有理数部分对应相等、无理数（√3）的系数对应相等”列二元一次方程组，即可求解a、b的值。
【解析】
(1) ① 对$\frac{1}{\sqrt{3}}$分母有理化：
$\frac{1}{\sqrt{3}} = \frac{1×\sqrt{3}}{\sqrt{3}×\sqrt{3}} = \frac{\sqrt{3}}{3}$；
② 对$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}}$分母有理化：
$\frac{2}{\sqrt{7}-\sqrt{5}} = \frac{2×(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{(\sqrt{7}-\sqrt{5})(\sqrt{7}+\sqrt{5})} = \frac{2(\sqrt{7}+\sqrt{5})}{7-5} = \sqrt{7}+\sqrt{5}$。
(2) 先对等式左侧的分式分别分母有理化：
$\frac{a}{\sqrt{3}+2} = \frac{a(2-\sqrt{3})}{(\sqrt{3}+2)(2-\sqrt{3})} = 2a - a\sqrt{3}$，
$\frac{2b}{\sqrt{3}-1} = \frac{2b(\sqrt{3}+1)}{(\sqrt{3}-1)(\sqrt{3}+1)} = b\sqrt{3} + b$，
将上述结果代入原等式：
$2a - a\sqrt{3} - (b\sqrt{3} + b) = 2\sqrt{3} - 1$，
整理得：$(2a - b) + (-a - b)\sqrt{3} = -1 + 2\sqrt{3}$。
因为a、b为有理数，所以等式两边有理数部分和$\sqrt{3}$的系数分别相等，得方程组：
$\begin{cases}2a - b = -1 \\ -a - b = 2 \end{cases}$
用第一个方程减第二个方程得：$3a=-3$，解得$a=-1$；
将$a=-1$代入$-a - b = 2$，得$1 - b = 2$，解得$b=-1$。
【答案】
(1) $\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\sqrt{7}+\sqrt{5}$；(2) $a=-1$，$b=-1$
【知识点】
分母有理化，平方差公式，二次根式运算
【点评】
本题结合“有理化因式”的新定义考查二次根式的综合应用，解题关键是熟练掌握利用平方差公式进行分母有理化的方法，第二问利用有理数、无理数的性质建立方程组求解，是二次根式章节的典型题型。
【难度系数】
0.6
