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15. 若$|a - 3| + |2b - 1| + \left| \frac{1}{2}c - 1 \right| = 0$，求$a + b + c$的值.
答案
$a = 3$，$b = \frac{1}{2}$，$c = 2$，$a + b + c = 5\frac{1}{2}$
解析
【分析】
首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数（即≥0）。如果几个非负数相加的和为0，那么这几个非负数都必须等于0。解题时先依据这个性质，令每个绝对值内的代数式等于0，分别求解得到a、b、c的值，最后代入计算a+b+c的结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值都为非负数
∴ $|a - 3|≥0$，$|2b - 1|≥0$，$\left| \frac{1}{2}c - 1 \right|≥0$
又
∵ $|a - 3| + |2b - 1| + \left| \frac{1}{2}c - 1 \right| = 0$
∴ 每个绝对值内的代数式的值都为0，可得：
$a - 3 = 0$，解得 $a=3$
$2b - 1 = 0$，解得 $b=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}c - 1 = 0$，解得 $c=2$
将a、b、c代入$a+b+c$得：
$a + b + c = 3 + \frac{1}{2} + 2 = 5\frac{1}{2}$
【答案】
$5\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 代数式求值
【点评】
本题是绝对值性质的基础常考题，核心规律为“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”，熟练掌握绝对值的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数（即≥0）。如果几个非负数相加的和为0，那么这几个非负数都必须等于0。解题时先依据这个性质，令每个绝对值内的代数式等于0，分别求解得到a、b、c的值，最后代入计算a+b+c的结果即可。
【解析】
解：
∵ 任意数的绝对值都为非负数
∴ $|a - 3|≥0$，$|2b - 1|≥0$，$\left| \frac{1}{2}c - 1 \right|≥0$
又
∵ $|a - 3| + |2b - 1| + \left| \frac{1}{2}c - 1 \right| = 0$
∴ 每个绝对值内的代数式的值都为0，可得：
$a - 3 = 0$，解得 $a=3$
$2b - 1 = 0$，解得 $b=\frac{1}{2}$
$\frac{1}{2}c - 1 = 0$，解得 $c=2$
将a、b、c代入$a+b+c$得：
$a + b + c = 3 + \frac{1}{2} + 2 = 5\frac{1}{2}$
【答案】
$5\frac{1}{2}$
【知识点】
1. 绝对值的非负性 2. 代数式求值
【点评】
本题是绝对值性质的基础常考题，核心规律为“多个非负数的和为0时，每个非负数均为0”，熟练掌握绝对值的非负性即可快速求解。
【难度系数】
0.8
16. 某出租车驾驶员从公司出发，在南北向的人民路上连续接送5批客人，行驶路程记录如下（规定向南为正，向北为负，单位：km）：
（1）若该出租车每千米耗油0.1 L，则在这个过程中共耗油多少升？
（2）若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费8元，超过3 km的部分每千米收费1.6元，则在这个过程中该驾驶员共收车费多少元？
（1）若该出租车每千米耗油0.1 L，则在这个过程中共耗油多少升？
（2）若该出租车的计价标准为行驶路程不超过3 km收费8元，超过3 km的部分每千米收费1.6元，则在这个过程中该驾驶员共收车费多少元？
答案
16. (1) $(5 + 2 + |-4| + |-3| + 6)×0.1 = 20×0.1 = 2(\mathrm{L})$ (2) $[8 + (5 - 3)×1.6] + 8 + [8 + (4 - 3)×1.6] + 8 + [8 + (6 - 3)×1.6] = 11.2 + 8 + 9.6 + 8 + 12.8 = 49.6(\mathrm{元})$
解析
【分析】
（1）耗油量仅与行驶的总路程长度有关，与行驶方向无关，因此首先需要求出每次行驶路程的绝对值，求和得到总行驶路程，再乘每千米的耗油量即可算出总耗油量。
（2）本题为分段计费问题，需按每批客人的行驶路程分别计算车费：若行驶路程≤3km，收8元；若行驶路程＞3km，车费为“8元+超出3km部分的路程×1.6元/千米”，最后将5批客人的车费相加即可得到总车费。
【解析】
（1）先计算行驶的总路程：
总路程 = $5 + 2 + |-4| + |-3| + 6 = 20(\mathrm{km})$
总耗油量 = $20 × 0.1 = 2(\mathrm{L})$
（2）分别计算每批客人的车费：
第1批：路程5km＞3km，车费 = $8 + (5-3)×1.6 = 11.2(\mathrm{元})$
第2批：路程2km≤3km，车费 = $8(\mathrm{元})$
第3批：路程$|-4|=4\mathrm{km}＞3\mathrm{km}$，车费 = $8 + (4-3)×1.6 = 9.6(\mathrm{元})$
第4批：路程$|-3|=3\mathrm{km}≤3\mathrm{km}$，车费 = $8(\mathrm{元})$
第5批：路程6km＞3km，车费 = $8 + (6-3)×1.6 = 12.8(\mathrm{元})$
总车费 = $11.2 + 8 + 9.6 + 8 + 12.8 = 49.6(\mathrm{元})$
【答案】
（1）$\boxed{2\mathrm{L}}$；（2）$\boxed{49.6\mathrm{元}}$
【知识点】
绝对值的应用，有理数混合运算，分段计费
【点评】
本题结合出租车运营的生活场景出题，解题的关键是理解正负数和绝对值的实际意义，计算分段费用时要先判断路程是否超过起步里程，再分别计算求和，避免混淆路程的方向和实际长度。
【难度系数】
0.7
（1）耗油量仅与行驶的总路程长度有关，与行驶方向无关，因此首先需要求出每次行驶路程的绝对值，求和得到总行驶路程，再乘每千米的耗油量即可算出总耗油量。
（2）本题为分段计费问题，需按每批客人的行驶路程分别计算车费：若行驶路程≤3km，收8元；若行驶路程＞3km，车费为“8元+超出3km部分的路程×1.6元/千米”，最后将5批客人的车费相加即可得到总车费。
【解析】
（1）先计算行驶的总路程：
总路程 = $5 + 2 + |-4| + |-3| + 6 = 20(\mathrm{km})$
总耗油量 = $20 × 0.1 = 2(\mathrm{L})$
（2）分别计算每批客人的车费：
第1批：路程5km＞3km，车费 = $8 + (5-3)×1.6 = 11.2(\mathrm{元})$
第2批：路程2km≤3km，车费 = $8(\mathrm{元})$
第3批：路程$|-4|=4\mathrm{km}＞3\mathrm{km}$，车费 = $8 + (4-3)×1.6 = 9.6(\mathrm{元})$
第4批：路程$|-3|=3\mathrm{km}≤3\mathrm{km}$，车费 = $8(\mathrm{元})$
第5批：路程6km＞3km，车费 = $8 + (6-3)×1.6 = 12.8(\mathrm{元})$
总车费 = $11.2 + 8 + 9.6 + 8 + 12.8 = 49.6(\mathrm{元})$
【答案】
（1）$\boxed{2\mathrm{L}}$；（2）$\boxed{49.6\mathrm{元}}$
【知识点】
绝对值的应用，有理数混合运算，分段计费
【点评】
本题结合出租车运营的生活场景出题，解题的关键是理解正负数和绝对值的实际意义，计算分段费用时要先判断路程是否超过起步里程，再分别计算求和，避免混淆路程的方向和实际长度。
【难度系数】
0.7
17. 根据绝对值的意义和有理数在数轴上表示的点的位置关系，完成下列问题.
【探究】(1) 数轴上表示5和2的两点之间的距离是
(2) 数轴上表示－2和－6的两点之间的距离是
(3) 数轴上表示－4和3的两点之间的距离是
【归纳】一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离记作|m－n|.
【应用】(1) 如果表示数a和3的两点之间的距离是7，那么可记为|a－3|＝7，则a的值可能为
(2) 若数轴上表示数a的点位于3和4之间，求|4－a|＋|a－3|的值；
(3) 已知|m－2|＋|n＋3|＝0，求m、n的值.
【探究】(1) 数轴上表示5和2的两点之间的距离是
3
；(2) 数轴上表示－2和－6的两点之间的距离是
4
；(3) 数轴上表示－4和3的两点之间的距离是
7
.【归纳】一般地，数轴上表示数m和数n的两点之间的距离记作|m－n|.
【应用】(1) 如果表示数a和3的两点之间的距离是7，那么可记为|a－3|＝7，则a的值可能为
$-4或10$
；(2) 若数轴上表示数a的点位于3和4之间，求|4－a|＋|a－3|的值；
(3) 已知|m－2|＋|n＋3|＝0，求m、n的值.
答案
17. 【探究】(1) 3 (2) 4 (3) 7 【应用】(1) $-4 或 10$ (2) 1 (3) $m = 2$，$n = -3$
解析
【分析】
解题思路可按板块梳理：1. 探究板块：数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值，直接代入公式|m-n|计算即可；2. 应用(1)：绝对值等于7的数有7和-7两个，因此a-3存在两种取值情况，分别求解即可得到a的两个可能值；3. 应用(2)：先根据a的取值范围判断绝对值内式子的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，化简计算即可；4. 应用(3)：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，说明每个绝对值内的式子都等于0，分别列等式求解即可得到m、n的值。
【解析】
【探究】
(1) 数轴上表示5和2的两点距离为$\left|5-2\right|=3$；
(2) 数轴上表示-2和-6的两点距离为$\left|-2-(-6)\right|=\left|4\right|=4$；
(3) 数轴上表示-4和3的两点距离为$\left|-4-3\right|=\left|-7\right|=7$；
【应用】
(1) 由$\left|a-3\right|=7$可得：$a-3=7$或$a-3=-7$，解得$a=10$或$a=-4$；
(2) 因为表示数a的点位于3和4之间，即$3＜a＜4$，因此$4-a＞0$，$a-3＞0$，则$\left|4-a\right|+\left|a-3\right|=(4-a)+(a-3)=1$；
(3) 绝对值具有非负性，即$\left|m-2\right|≥0$，$\left|n+3\right|≥0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可得$m-2=0$，$n+3=0$，解得$m=2$，$n=-3$。
【答案】
【探究】(1) 3 (2) 4 (3) 7 【应用】(1) $-4$或$10$ (2) 1 (3) $m=2$，$n=-3$
【知识点】
数轴两点距离计算；绝对值的性质；非负数的性质
【点评】
本题围绕绝对值的几何意义和代数性质设置考点，题型由易到难递进，既覆盖基础的距离计算，也涉及绝对值化简、非负性应用等核心内容，能够有效检验对绝对值相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题思路可按板块梳理：1. 探究板块：数轴上两点之间的距离等于两数差的绝对值，直接代入公式|m-n|计算即可；2. 应用(1)：绝对值等于7的数有7和-7两个，因此a-3存在两种取值情况，分别求解即可得到a的两个可能值；3. 应用(2)：先根据a的取值范围判断绝对值内式子的正负，再依据“正数的绝对值是它本身，负数的绝对值是它的相反数”去掉绝对值符号，化简计算即可；4. 应用(3)：任意数的绝对值都是非负数，两个非负数相加和为0，说明每个绝对值内的式子都等于0，分别列等式求解即可得到m、n的值。
【解析】
【探究】
(1) 数轴上表示5和2的两点距离为$\left|5-2\right|=3$；
(2) 数轴上表示-2和-6的两点距离为$\left|-2-(-6)\right|=\left|4\right|=4$；
(3) 数轴上表示-4和3的两点距离为$\left|-4-3\right|=\left|-7\right|=7$；
【应用】
(1) 由$\left|a-3\right|=7$可得：$a-3=7$或$a-3=-7$，解得$a=10$或$a=-4$；
(2) 因为表示数a的点位于3和4之间，即$3＜a＜4$，因此$4-a＞0$，$a-3＞0$，则$\left|4-a\right|+\left|a-3\right|=(4-a)+(a-3)=1$；
(3) 绝对值具有非负性，即$\left|m-2\right|≥0$，$\left|n+3\right|≥0$，两个非负数的和为0时，每个非负数都为0，因此可得$m-2=0$，$n+3=0$，解得$m=2$，$n=-3$。
【答案】
【探究】(1) 3 (2) 4 (3) 7 【应用】(1) $-4$或$10$ (2) 1 (3) $m=2$，$n=-3$
【知识点】
数轴两点距离计算；绝对值的性质；非负数的性质
【点评】
本题围绕绝对值的几何意义和代数性质设置考点，题型由易到难递进，既覆盖基础的距离计算，也涉及绝对值化简、非负性应用等核心内容，能够有效检验对绝对值相关知识点的掌握程度。
【难度系数】
0.7
