1. (★)已知$a,b$互为相反数,$c,d$互为倒数,$x$的绝对值是$3$,则$x^2+(a+b)^{2025}+(-cd)^{2025}$的值是________。

$\boldsymbol{8}$

【分析】
解题时首先要回忆相反数、倒数、绝对值的基本性质，先提取出题目中隐藏的数值条件：互为相反数的两个数和为0，互为倒数的两个数乘积为1，绝对值为3的数的平方是9。再将这些值代入待求代数式，按照有理数乘方、加法的运算规则逐步计算即可。
【解析】
解：
∵a、b互为相反数，
∴$a+b=0$；
∵c、d互为倒数，
∴$cd=1$；
∵x的绝对值是3，即$|x|=3$，
∴$x^2=|x|^2=3^2=9$。
将上述结果代入代数式计算：
$\begin{aligned}x^2+(a+b)^{2025}+(-cd)^{2025}&=9+0^{2025}+(-1)^{2025}\\&=9+0+(-1)\\&=8\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{8}$
【知识点】
相反数的性质；倒数的性质；绝对值的性质
【点评】
本题属于代数式求值的基础题型，核心是熟练掌握相反数、倒数、绝对值的相关定义，计算时注意负数奇次幂的符号即可顺利求解。
【难度系数】
0.9

2. (★★)若$|m-n|=n-m$，且$|m|=4$，$|n|=3$，则$m+n$的值是.

解：
由$|m|=4$，得$m=4$或$m=-4$，
由$|n|=3$，得$n=3$或$n=-3$。
因为$|m-n|=n-m$，所以$n-m\ge0$，即$m\le n$。
当$m=4$时，无论$n=3$还是$n=-3$，都有$4＞n$，不符合$m\le n$，全部舍去；
当$m=-4$时：
若$n=3$，满足$-4\le3$，此时$m+n=-4+3=-1$；
若$n=-3$，满足$-4\le-3$，此时$m+n=-4+(-3)=-7$。
综上，$m+n$的值是$-1$或$-7$。

【分析】
解题时先回忆绝对值的相关性质，第一步，根据$|m|=4$、$|n|=3$可以先确定m、n所有可能的取值；第二步，根据$|m-n|=n-m$可知，m-n的绝对值等于它的相反数，因此m-n是非正数，也就是$m\le n$；第三步，用$m\le n$的条件去筛选之前得到的m、n的所有组合，排除不符合要求的取值；第四步，把符合要求的m、n分别代入计算$m+n$的结果即可。
【解析】
由$|m|=4$，得$m=4$或$m=-4$，
由$|n|=3$，得$n=3$或$n=-3$。
因为$|m-n|=n-m$，所以$n-m\ge0$，即$m\le n$。
当$m=4$时，无论$n=3$还是$n=-3$，都有$4＞n$，不符合$m\le n$，全部舍去；
当$m=-4$时：
若$n=3$，满足$-4\le3$，此时$m+n=-4+3=-1$；
若$n=-3$，满足$-4\le-3$，此时$m+n=-4+(-3)=-7$。
综上，$m+n$的值是$-1$或$-7$。
【答案】
$-1$或$-7$
【知识点】
1.绝对值的性质 2.有理数的加法运算
【点评】
本题是绝对值性质的基础应用，解题的关键是根据绝对值的性质推导出m与n的大小关系，筛选取值时要注意不要漏解，也不要保留不符合条件的取值。
【难度系数】
0.7

3. (★★)已知a是最小的正整数，b的相反数是它本身，c比最大的负整数还大3，则(2a+3b)·c=.

$\boldsymbol{4}$

【分析】
解题时首先需要根据题干中对a、b、c的描述，结合有理数的基础概念分别求出三者的具体数值，再将数值代入到待求的代数式中，按照四则运算顺序计算即可得到结果。第一步先回忆相关概念：最小的正整数、相反数等于本身的数、最大的负整数分别是什么，再对应求出a、b、c，最后代入计算。
【解析】
1. 求a的值：最小的正整数是1，因此$\boldsymbol{a=1}$；
2. 求b的值：只有0的相反数是它本身，因此$\boldsymbol{b=0}$；
3. 求c的值：最大的负整数是-1，c比它大3，因此$c=-1+3=\boldsymbol{2}$；
4. 代入代数式计算：把a=1、b=0、c=2代入$(2a+3b)·c$，可得：
$\begin{aligned}(2×1 + 3×0)×2&=(2+0)×2\\&=2×2\\&=4\end{aligned}$
【答案】
$\boldsymbol{4}$
【知识点】
有理数的基本概念；相反数的性质；代数式求值
【点评】
本题是基础类题型，主要考查对特殊有理数性质的掌握，只要准确记忆相关概念，正确代入计算就能得出答案，不易出错。
【难度系数】
0.8

4. (★★)对于一个数x,我们用(x]表示小于x的最大整数,例如:(2.6]=2,(-3]=-4.若a,b都是整数,且(a]和(b]互为相反数,则代数式$2(a+b)^2 -b -a$的值为.

$\boldsymbol{6}$

【分析】
首先理解新定义符号(x]的含义：表示小于x的最大整数。已知a、b都是整数，可先推出整数对应的(x]的表达式：若x是整数，小于x的最大整数就是x-1，即(a]=a-1，(b]=b-1。再根据互为相反数的两个数和为0的性质，列出关于a、b的等式，求出a+b的值，最后将a+b作为整体代入代数式计算即可。
【解析】
解：
∵a、b都是整数，根据(x]的定义可得：
$(a]=a-1$，$(b]=b-1$
又
∵(a]和(b]互为相反数，互为相反数的两数之和为0
∴$(a]+(b]=0$
即 $(a-1)+(b-1)=0$
整理得：$a+b-2=0$，即$a+b=2$
将$a+b=2$代入代数式$2(a+b)^2 -b -a$：
$2(a+b)^2 -b -a = 2(a+b)^2 - (a+b)$
代入得：$2×2^2 - 2 = 2×4 - 2 = 8 - 2 = 6$
【答案】
$\boldsymbol{6}$
【知识点】
新定义运算，相反数的性质，代数式求值
【点评】
本题结合新定义考查代数式的计算，解题的关键是正确理解新定义的运算规则，结合相反数的性质求出a+b的整体值，用整体代入法简化计算，避免单独求a、b的取值，提高解题效率。
【难度系数】
0.7

5. (★★)已知有理数 $a,b$ 满足 $|ab - 2| + |1 - b| = 0$，试求：
(1) $a,b$ 的值；
(2) $\frac{1}{ab} + \frac{1}{(a+1)(b+1)} + \frac{1}{(a+2)(b+2)} + \dots + \frac{1}{(a+98)(b+98)}$ 的值。

解：
(1) 由绝对值的非负性可知：
$|ab-2|≥0$，$|1-b|≥0$，且$|ab-2|+|1-b|=0$
因此可得方程组：
$\begin{cases}ab-2=0\\1-b=0\end{cases}$
由$1-b=0$解得$b=1$，
将$b=1$代入$ab-2=0$，得$a-2=0$，解得$a=2$。
(2) 将$a=2$，$b=1$代入待求式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\dots+\frac{1}{(a+98)(b+98)}\\=&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{99×100}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$
综上，(1) $a=2$，$b=1$；(2) 所求式子的值为$\frac{99}{100}$。

【分析】
(1) 首先回忆绝对值的性质：任意有理数的绝对值都是非负数，即$|x|≥0$。当两个非负数的和为0时，只有每个非负数都为0才能满足条件，据此可列出关于$a$、$b$的方程组，解方程组即可求出$a$、$b$的值。
(2) 将求出的$a$、$b$代入待求式后，可观察到每一项都是两个相邻正整数乘积的倒数，符合裂项相消的特征，即$\frac{1}{n(n+1)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$，将每一项拆分后中间项可以两两抵消，仅保留首尾两项计算即可得到结果。
【解析】
(1) 由绝对值的非负性可知：$|ab-2|≥0$，$|1-b|≥0$，且$|ab-2|+|1-b|=0$，因此可得方程组：
$\begin{cases}ab-2=0\\1-b=0\end{cases}$
由$1-b=0$解得$b=1$，将$b=1$代入$ab-2=0$，得$a-2=0$，解得$a=2$。
(2) 将$a=2$，$b=1$代入待求式：
$\begin{aligned}&\frac{1}{ab}+\frac{1}{(a+1)(b+1)}+\frac{1}{(a+2)(b+2)}+\dots+\frac{1}{(a+98)(b+98)}\\=&\frac{1}{1×2}+\frac{1}{2×3}+\frac{1}{3×4}+\dots+\frac{1}{99×100}\\=&(1-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{4})+\dots+(\frac{1}{99}-\frac{1}{100})\\=&1-\frac{1}{100}\\=&\frac{99}{100}\end{aligned}$
【答案】
(1) $a=2$，$b=1$；(2) $\frac{99}{100}$
【知识点】
绝对值的非负性，裂项相消法，代数式求值
【点评】
本题是代数式求值的典型综合题，解题核心是先利用绝对值的非负性求出参数的值，再观察待求式的结构特征，选用裂项相消的方法简化运算，避免了逐项计算的繁琐，对式子结构的观察能力有一定要求。
【难度系数】
0.7

6. (★)有长为$h$ m的篱笆,利用它和一面墙围成长方形菜园,菜园的宽为$t$ m,墙的对面留出2 m宽的门(不用篱笆).
(1)用含$h,t$的代数式表示菜园的面积$S$;
(2)当$h=200,t=40$时,求菜园的面积$S$.

解：
(1) 由题意得，菜园平行于墙的边长为$(h - 2t + 2)\ \mathrm{m}$，
因此菜园的面积$S = t(h - 2t + 2)$，即$S=(ht - 2t^2 + 2t)\ \mathrm{m}^2$。
(2) 把$h=200$，$t=40$代入代数式：
$\begin{aligned}S&=40×(200 - 2×40 + 2)\\&=40×122\\&=4880\end{aligned}$
答：菜园的面积$S$为$4880\ \mathrm{m}^2$。

【分析】
要解决这个问题，我们结合长方形面积公式分析：已知菜园宽为t m，首先需要求出平行于墙的边长：
1. 垂直于墙的边共2条，每条长t m，这部分共使用2t m篱笆；
2. 篱笆总长为h m，剩余篱笆用来围平行于墙的部分，另外墙对面有2m宽的门不需要篱笆，说明平行于墙的总长度比该段使用的篱笆长度多2m，因此平行于墙的边长为$(h-2t+2)\ \mathrm{m}$；
3. 第一问用长乘宽即可得到面积的代数式，第二问将h、t的数值代入代数式计算即可得到具体面积。
【解析】
(1) 由题意得，菜园垂直于墙的边长为t m，两条垂直边共消耗篱笆2t m，结合2m宽的门无需篱笆，可得平行于墙的边长为$(h - 2t + 2)\ \mathrm{m}$。
根据长方形面积=长×宽，可得菜园面积：
$S = t(h - 2t + 2) = (ht - 2t^2 + 2t)\ \mathrm{m}^2$
(2) 把$h=200$，$t=40$代入上述代数式：
$\begin{aligned}S&= 40×(200 - 2×40 + 2)\\&=40×(200 - 80 + 2)\\&=40×122\\&=4880(\mathrm{m}^2)\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=(ht - 2t^2 + 2t)\ \mathrm{m}^2$
(2) $4880\ \mathrm{m}^2$
【知识点】
列代数式，代数式求值，长方形面积计算
【点评】
本题是代数式的实际应用题，解题关键是结合图形和题干条件，准确表示出平行于墙的边长，不要忽略门无需篱笆的特殊条件，代入计算时注意运算顺序，避免计算失误。
【难度系数】
0.8