登录
9. (★★)为进一步培养学生养成良好的体育锻炼习惯和健康的生活方式，提升学生身体素质和综合素养，某中学准备向体育用品批发公司再采购一批足球和跳绳. 根据以下素材，解决相应任务.
素材1 已知每个足球定价150元，每根跳绳定价30元. 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案：
方案A:足球和跳绳都按定价的九折付款；
方案B:买一个足球送一根跳绳
素材2 该中学计划购买足球50个，跳绳$x(x＞50)$根
问题解决
任务1 当$x=80$时，试
计算说明按哪种方案购买比较划算
任务2 经计算，方案B所需费用为$(30x+6000)$元. 请用含$x$的代数式表示出方案A所需的费用
任务3 若两种优惠方案可同时使用，当$x=80$时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元
素材1 已知每个足球定价150元，每根跳绳定价30元. 该体育用品批发公司给该中学提供以下两种优惠方案：
方案A:足球和跳绳都按定价的九折付款；
方案B:买一个足球送一根跳绳
素材2 该中学计划购买足球50个，跳绳$x(x＞50)$根
问题解决
任务1 当$x=80$时，试
计算说明按哪种方案购买比较划算任务2 经计算，方案B所需费用为$(30x+6000)$元. 请用含$x$的代数式表示出方案A所需的费用
任务3 若两种优惠方案可同时使用，当$x=80$时，请你设计出一种最省钱的购买方案，并计算需付款多少元
答案
解：
任务1：
当$x=80$时，
方案A所需费用：$(50×150 + 80×30)×0.9 = (7500 + 2400)×0.9 = 8910$（元）
方案B所需费用：$30×80 + 6000 = 8400$（元）
因为$8400 ＜ 8910$，所以按方案B购买比较划算。
任务2：
方案A所需费用为：
$0.9×(50×150 + 30x) = 0.9×(7500 + 30x) = 27x + 6750$
即方案A所需费用为$(27x + 6750)$元。
任务3：
最省钱的购买方案：先按方案B购买50个足球，可获赠50根跳绳，剩余的$80-50=30$根跳绳按方案A购买。
所需付款金额：
$50×150 + 30×30×0.9 = 7500 + 810 = 8310$（元）
答：最省钱的购买方案需付款8310元。
任务1：
当$x=80$时，
方案A所需费用：$(50×150 + 80×30)×0.9 = (7500 + 2400)×0.9 = 8910$（元）
方案B所需费用：$30×80 + 6000 = 8400$（元）
因为$8400 ＜ 8910$，所以按方案B购买比较划算。
任务2：
方案A所需费用为：
$0.9×(50×150 + 30x) = 0.9×(7500 + 30x) = 27x + 6750$
即方案A所需费用为$(27x + 6750)$元。
任务3：
最省钱的购买方案：先按方案B购买50个足球，可获赠50根跳绳，剩余的$80-50=30$根跳绳按方案A购买。
所需付款金额：
$50×150 + 30×30×0.9 = 7500 + 810 = 8310$（元）
答：最省钱的购买方案需付款8310元。
解析
【分析】
解题可按三个任务逐步推进：1. 任务1：将x=80分别代入两种方案的费用计算规则，算出总费用后比较大小，费用更低的方案更划算；2. 任务2：先计算购买50个足球和x根跳绳的原价总和，再乘九折（0.9），化简后即可得到方案A的费用代数式；3. 任务3：组合两种方案时优先选择优惠力度更大的规则：先用方案B买足球获赠免费跳绳，剩余不足的跳绳按方案A的折扣购买，计算总费用即可得到最省钱的方案。
【解析】
任务1
当$x=80$时：
方案A所需费用：先计算商品原价总和，再打九折
$\begin{split}&(50×150 + 80×30)×0.9\\=&(7500 + 2400)×0.9\\=&9900×0.9\\=&8910 \ (\mathrm{元})\end{split}$
方案B所需费用：代入题目给出的公式$30x+6000$
$30×80 + 6000 = 2400 + 6000 = 8400 \ (\mathrm{元})$
因为$8400 ＜ 8910$，所以方案B更划算。
任务2
方案A为所有商品打九折：
50个足球原价总和为$50×150=7500$元，$x$根跳绳原价总和为$30x$元，总原价为$(7500+30x)$元，打九折后费用为：
$\begin{split}&0.9×(7500 + 30x)\\=&0.9×7500 + 0.9×30x\\=&27x + 6750 \ (\mathrm{元})\end{split}$
任务3
组合优惠时，优先用方案B购买50个足球，可获赠50根免费跳绳，还需额外购买$80-50=30$根跳绳，这部分跳绳按方案A打九折更划算，总费用为：
$\begin{split}&50×150 + 30×30×0.9\\=&7500 + 810\\=&8310 \ (\mathrm{元})\end{split}$
【答案】
任务1：按方案B购买比较划算；
任务2：方案A所需费用为$\boldsymbol{(27x + 6750)}$元；
任务3：最省钱方案为先按方案B购买50个足球获赠50根跳绳，剩余30根跳绳按方案A购买，需付款8310元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考察了代数式的列式、求值以及方案优化的能力，解题关键是读懂不同优惠方案的规则，准确计算各方案费用，组合方案时优先选择优惠力度更大的规则即可得到最优解，计算时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解题可按三个任务逐步推进：1. 任务1：将x=80分别代入两种方案的费用计算规则，算出总费用后比较大小，费用更低的方案更划算；2. 任务2：先计算购买50个足球和x根跳绳的原价总和，再乘九折（0.9），化简后即可得到方案A的费用代数式；3. 任务3：组合两种方案时优先选择优惠力度更大的规则：先用方案B买足球获赠免费跳绳，剩余不足的跳绳按方案A的折扣购买，计算总费用即可得到最省钱的方案。
【解析】
任务1
当$x=80$时：
方案A所需费用：先计算商品原价总和，再打九折
$\begin{split}&(50×150 + 80×30)×0.9\\=&(7500 + 2400)×0.9\\=&9900×0.9\\=&8910 \ (\mathrm{元})\end{split}$
方案B所需费用：代入题目给出的公式$30x+6000$
$30×80 + 6000 = 2400 + 6000 = 8400 \ (\mathrm{元})$
因为$8400 ＜ 8910$，所以方案B更划算。
任务2
方案A为所有商品打九折：
50个足球原价总和为$50×150=7500$元，$x$根跳绳原价总和为$30x$元，总原价为$(7500+30x)$元，打九折后费用为：
$\begin{split}&0.9×(7500 + 30x)\\=&0.9×7500 + 0.9×30x\\=&27x + 6750 \ (\mathrm{元})\end{split}$
任务3
组合优惠时，优先用方案B购买50个足球，可获赠50根免费跳绳，还需额外购买$80-50=30$根跳绳，这部分跳绳按方案A打九折更划算，总费用为：
$\begin{split}&50×150 + 30×30×0.9\\=&7500 + 810\\=&8310 \ (\mathrm{元})\end{split}$
【答案】
任务1：按方案B购买比较划算；
任务2：方案A所需费用为$\boldsymbol{(27x + 6750)}$元；
任务3：最省钱方案为先按方案B购买50个足球获赠50根跳绳，剩余30根跳绳按方案A购买，需付款8310元。
【知识点】
列代数式，代数式求值，最优方案选择
【点评】
本题结合生活中的消费优惠场景，考察了代数式的列式、求值以及方案优化的能力，解题关键是读懂不同优惠方案的规则，准确计算各方案费用，组合方案时优先选择优惠力度更大的规则即可得到最优解，计算时要细心避免运算错误。
【难度系数】
0.7
10. (★★★)综合与实践
(1)【用数学的眼光观察】在图①中,三种不同大小的正方形与长方形拼成了一个如图②所示的正方形.
①请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:
方法1: ;
方法2: .
②根据阴影部分面积的关系,可以得到等式: .
根据(1)中的等量关系,解决下面的问题:
(2)【用数学的思维思考】已知$m+n=2$, $mn=-6$,求$m^2+n^2$的值.
(1)【用数学的眼光观察】在图①中,三种不同大小的正方形与长方形拼成了一个如图②所示的正方形.
①请用两种不同的方法表示图②中阴影部分的面积:
方法1: ;
方法2: .
②根据阴影部分面积的关系,可以得到等式: .
根据(1)中的等量关系,解决下面的问题:
(2)【用数学的思维思考】已知$m+n=2$, $mn=-6$,求$m^2+n^2$的值.
答案
解：
(1)① 方法1：$\boldsymbol{a^2 + b^2}$
方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 2ab}$
② 等式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}$
(2) 由(1)得到的等量关系可得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$\begin{aligned}m^2 + n^2&=2^2 - 2×(-6)\\&=4 + 12\\&=16\end{aligned}$
(1)① 方法1：$\boldsymbol{a^2 + b^2}$
方法2：$\boldsymbol{(a+b)^2 - 2ab}$
② 等式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}$
(2) 由(1)得到的等量关系可得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$\begin{aligned}m^2 + n^2&=2^2 - 2×(-6)\\&=4 + 12\\&=16\end{aligned}$
解析
【分析】
首先解决(1)①的问题：求阴影部分面积，方法1可直接将两个阴影正方形的面积相加，两个阴影正方形边长分别为a、b，分别计算面积后求和即可；方法2用“整体减空白”的思路，先求边长为(a+b)的大正方形的总面积，再减去两个空白长方形的面积，即可得到阴影部分总面积。
接着(1)②：两种方法表示的都是同一个阴影部分的面积，因此二者相等，即可得到对应的等式。
然后解决(2)：直接套用(1)中得到的等式，将m看作a、n看作b，把已知的m+n和mn的值代入等式计算，就能求出m²+n²的值。
【解析】
(1)① 方法1：两个阴影正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，相加得阴影面积为$\boldsymbol{a^2 + b^2}$；
方法2：大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，两个空白长方形的面积均为$ab$，空白总面积为$2ab$，因此阴影面积为$\boldsymbol{(a+b)^2 - 2ab}$。
② 因为两种方法表示的是同一部分的面积，所以可得等式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}$。
(2) 利用(1)所得的等量关系，将$m$、$n$代入公式得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$\begin{aligned}m^2 + n^2&=2^2 - 2×(-6)\\&=4 + 12\\&=16\end{aligned}$
【答案】
(1)① $a^2 + b^2$；$(a+b)^2 - 2ab$
② $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(2) $16$
【知识点】
完全平方公式几何意义；列代数式；代数式求值
【点评】
本题以几何拼图为背景，引导学生通过数形结合的方式推导得到两数平方和的恒等式，再利用恒等式求解代数式的值，既考查了学生对图形面积的计算能力，也考查了公式的迁移应用能力，有助于深化对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.7
首先解决(1)①的问题：求阴影部分面积，方法1可直接将两个阴影正方形的面积相加，两个阴影正方形边长分别为a、b，分别计算面积后求和即可；方法2用“整体减空白”的思路，先求边长为(a+b)的大正方形的总面积，再减去两个空白长方形的面积，即可得到阴影部分总面积。
接着(1)②：两种方法表示的都是同一个阴影部分的面积，因此二者相等，即可得到对应的等式。
然后解决(2)：直接套用(1)中得到的等式，将m看作a、n看作b，把已知的m+n和mn的值代入等式计算，就能求出m²+n²的值。
【解析】
(1)① 方法1：两个阴影正方形的面积分别为$a^2$和$b^2$，相加得阴影面积为$\boldsymbol{a^2 + b^2}$；
方法2：大正方形的边长为$a+b$，面积为$(a+b)^2$，两个空白长方形的面积均为$ab$，空白总面积为$2ab$，因此阴影面积为$\boldsymbol{(a+b)^2 - 2ab}$。
② 因为两种方法表示的是同一部分的面积，所以可得等式：$\boldsymbol{a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab}$。
(2) 利用(1)所得的等量关系，将$m$、$n$代入公式得：
$m^2 + n^2 = (m+n)^2 - 2mn$
将$m+n=2$，$mn=-6$代入上式：
$\begin{aligned}m^2 + n^2&=2^2 - 2×(-6)\\&=4 + 12\\&=16\end{aligned}$
【答案】
(1)① $a^2 + b^2$；$(a+b)^2 - 2ab$
② $a^2 + b^2 = (a+b)^2 - 2ab$
(2) $16$
【知识点】
完全平方公式几何意义；列代数式；代数式求值
【点评】
本题以几何拼图为背景，引导学生通过数形结合的方式推导得到两数平方和的恒等式，再利用恒等式求解代数式的值，既考查了学生对图形面积的计算能力，也考查了公式的迁移应用能力，有助于深化对代数恒等式的理解。
【难度系数】
0.7
