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7. (★★)如图,四边形ABCD是一个长方形.
(1)根据图中的数据,用含a,b,c的代数式表示图中阴影部分的面积S;
(2)当a=6,b=5,c=4时,求S的值.
(1)根据图中的数据,用含a,b,c的代数式表示图中阴影部分的面积S;
(2)当a=6,b=5,c=4时,求S的值.
答案
解：
(1) 长方形ABCD的面积为$ab$，
其中一个空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
另一个空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2} × 2 × c = c$，
因此阴影部分的面积：
$\begin{aligned}S&=ab - \frac{1}{2}ab - c\\&=\frac{1}{2}ab - c\end{aligned}$
(2) 当$a=6$，$b=5$，$c=4$时，代入$S=\frac{1}{2}ab - c$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 6 × 5 - 4\\&=15 - 4\\&=11\end{aligned}$
综上，(1) $S=\frac{1}{2}ab - c$；(2) $S$的值为11。
(1) 长方形ABCD的面积为$ab$，
其中一个空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2}ab$，
另一个空白直角三角形的面积为$\frac{1}{2} × 2 × c = c$，
因此阴影部分的面积：
$\begin{aligned}S&=ab - \frac{1}{2}ab - c\\&=\frac{1}{2}ab - c\end{aligned}$
(2) 当$a=6$，$b=5$，$c=4$时，代入$S=\frac{1}{2}ab - c$得：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 6 × 5 - 4\\&=15 - 4\\&=11\end{aligned}$
综上，(1) $S=\frac{1}{2}ab - c$；(2) $S$的值为11。
解析
【分析】
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是不规则图形，适合用“整体减空白”的割补法求解：首先先计算长方形ABCD的总面积，再找出两个空白直角三角形的面积，用长方形面积减去两个空白三角形的面积就能得到阴影面积；第二问只需将a、b、c的数值直接代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形ABCD的面积：长方形面积=长×宽，因此$S_{长方形ABCD}=ab$。
再计算空白部分的面积：第一个空白是对角线EC分割出的大直角三角形，面积为长方形面积的一半，即$S_1=\frac{1}{2}ab$；第二个空白是左下角的小直角三角形，底为2，高为c，面积为$S_2=\frac{1}{2}×2×c=c$。
因此阴影部分的面积为：
$\begin{aligned}S&=ab - \frac{1}{2}ab - c\\&=\frac{1}{2}ab - c\end{aligned}$
(2) 当$a=6$，$b=5$，$c=4$时，代入$S=\frac{1}{2}ab - c$计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 6 × 5 - 4\\&=15 - 4\\&=11\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ab - c$；(2) $11$
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，计算过程难度不大，需要注意代数式化简和代入求值的运算准确性。
【难度系数】
0.7
要求阴影部分的面积，观察图形可知阴影是不规则图形，适合用“整体减空白”的割补法求解：首先先计算长方形ABCD的总面积，再找出两个空白直角三角形的面积，用长方形面积减去两个空白三角形的面积就能得到阴影面积；第二问只需将a、b、c的数值直接代入第一问得到的代数式，按运算顺序计算即可。
【解析】
(1) 先计算长方形ABCD的面积：长方形面积=长×宽，因此$S_{长方形ABCD}=ab$。
再计算空白部分的面积：第一个空白是对角线EC分割出的大直角三角形，面积为长方形面积的一半，即$S_1=\frac{1}{2}ab$；第二个空白是左下角的小直角三角形，底为2，高为c，面积为$S_2=\frac{1}{2}×2×c=c$。
因此阴影部分的面积为：
$\begin{aligned}S&=ab - \frac{1}{2}ab - c\\&=\frac{1}{2}ab - c\end{aligned}$
(2) 当$a=6$，$b=5$，$c=4$时，代入$S=\frac{1}{2}ab - c$计算：
$\begin{aligned}S&=\frac{1}{2} × 6 × 5 - 4\\&=15 - 4\\&=11\end{aligned}$
【答案】
(1) $S=\frac{1}{2}ab - c$；(2) $11$
【知识点】
列代数式，代数式求值，割补法求面积
【点评】
本题属于基础应用题，核心是利用割补法将不规则阴影面积转化为规则图形面积的差，计算过程难度不大，需要注意代数式化简和代入求值的运算准确性。
【难度系数】
0.7
8. (★★)数学中,运用整体思想方法在求代数式的值中非常重要.例如,已知$a^2+2a=1$,则代数式$2a^2+4a+4=2(a^2+2a)+4=2×1+4=6$.
请根据以上材料,解答以下问题:
(1)若$x^2+2x-2=0$,则$2x^2+4x-3=$.
(2)若$x^2-2x-3=0$,则代数式$3x^2-6x+9$的值是.
请根据以上材料,解答以下问题:
(1)若$x^2+2x-2=0$,则$2x^2+4x-3=$.
(2)若$x^2-2x-3=0$,则代数式$3x^2-6x+9$的值是.
答案
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{18}$
解析
【分析】
本题运用整体代入思想求解：首先从已知等式出发，通过移项得到所求代数式中包含的整体代数式的值，再将所求代数式提取公因数变形为含有该整体的形式，最后代入计算即可得到结果。
(1)先根据已知等式求出$x^2+2x$的值，再将待求式变形为含$x^2+2x$的形式代入计算；
(2)先根据已知等式求出$x^2-2x$的值，再将待求式变形为含$x^2-2x$的形式代入计算。
【解析】
(1) 已知$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$。
对待求式变形：$2x^2+4x-3=2(x^2+2x)-3$，
将$x^2+2x=2$代入得：$2×2 -3=4-3=1$。
(2) 已知$x^2-2x-3=0$，移项可得$x^2-2x=3$。
对待求式变形：$3x^2-6x+9=3(x^2-2x)+9$，
将$x^2-2x=3$代入得：$3×3 +9=9+9=18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体思想的应用，解题的关键是准确找到待求式与已知等式之间的整体关联，通过变形代入简化计算，避免解方程求未知数的复杂步骤。
【难度系数】
0.8
本题运用整体代入思想求解：首先从已知等式出发，通过移项得到所求代数式中包含的整体代数式的值，再将所求代数式提取公因数变形为含有该整体的形式，最后代入计算即可得到结果。
(1)先根据已知等式求出$x^2+2x$的值，再将待求式变形为含$x^2+2x$的形式代入计算；
(2)先根据已知等式求出$x^2-2x$的值，再将待求式变形为含$x^2-2x$的形式代入计算。
【解析】
(1) 已知$x^2+2x-2=0$，移项可得$x^2+2x=2$。
对待求式变形：$2x^2+4x-3=2(x^2+2x)-3$，
将$x^2+2x=2$代入得：$2×2 -3=4-3=1$。
(2) 已知$x^2-2x-3=0$，移项可得$x^2-2x=3$。
对待求式变形：$3x^2-6x+9=3(x^2-2x)+9$，
将$x^2-2x=3$代入得：$3×3 +9=9+9=18$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{1}$；(2) $\boldsymbol{18}$
【知识点】
代数式求值、整体代入思想、等式的性质
【点评】
本题是代数式求值的基础题型，核心考查整体思想的应用，解题的关键是准确找到待求式与已知等式之间的整体关联，通过变形代入简化计算，避免解方程求未知数的复杂步骤。
【难度系数】
0.8
9. (★★)规定：$f(x)=px^3+qx+1$，例如，当$x=3$时，$f(3)=3^3 · p+3q+1=27p+3q+1$. 已知$f(1)$的值为202，则$f(-1)$的值为.
答案
$\boldsymbol{-200}$
解析
【分析】
首先根据题目给出的f(x)表达式，先将x=1代入表达式，求出p+q的整体值；再将x=-1代入表达式，变形后把p+q的整体值代入计算即可，不需要分别求出p、q的具体值，用整体代入法能简化计算。
【解析】
解：当x=1时，代入$f(x)=px^3+qx+1$可得：
$f(1)=p×1^3 + q×1 +1 = p+q+1$
已知$f(1)=202$，因此：
$p+q+1=202$
解得：$p+q=201$
当x=-1时，代入$f(x)=px^3+qx+1$可得：
$f(-1)=p×(-1)^3 + q×(-1) +1 = -p - q +1$
对式子变形得：$f(-1)=-(p+q)+1$
将$p+q=201$代入上式：
$f(-1)=-201 + 1 = -200$
【答案】
$\boldsymbol{-200}$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题重点考查代数式的求值计算，解题的核心是运用整体代入的思想，无需单独求解p、q的取值即可快速得到结果，是代数式章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
首先根据题目给出的f(x)表达式，先将x=1代入表达式，求出p+q的整体值；再将x=-1代入表达式，变形后把p+q的整体值代入计算即可，不需要分别求出p、q的具体值，用整体代入法能简化计算。
【解析】
解：当x=1时，代入$f(x)=px^3+qx+1$可得：
$f(1)=p×1^3 + q×1 +1 = p+q+1$
已知$f(1)=202$，因此：
$p+q+1=202$
解得：$p+q=201$
当x=-1时，代入$f(x)=px^3+qx+1$可得：
$f(-1)=p×(-1)^3 + q×(-1) +1 = -p - q +1$
对式子变形得：$f(-1)=-(p+q)+1$
将$p+q=201$代入上式：
$f(-1)=-201 + 1 = -200$
【答案】
$\boldsymbol{-200}$
【知识点】
代数式求值；整体代入思想
【点评】
本题重点考查代数式的求值计算，解题的核心是运用整体代入的思想，无需单独求解p、q的取值即可快速得到结果，是代数式章节的典型常考题型。
【难度系数】
0.7
