1. 下列解答过程是否有错误,若有错误,请指出来并给予纠正.
(1)已知直角三角形的两边长分别为1和$\sqrt{3}$,求第三边长.
解:第三边长为$\sqrt{1^2 + (\sqrt{3})^2} = \sqrt{4} = 2$.
(2)在$△ ABC$中,$AB = 17,AC = 10,BC$边上的高$AD = 8$,求$BC$边的长.
解:如图4-2-1,在直角$△ ABD$中,
$BD = \sqrt{AB^2 - AD^2} = \sqrt{17^2 - 8^2} = 15$;
在直角$△ ACD$中,
$CD = \sqrt{AC^2 - AD^2} = \sqrt{10^2 - 8^2} = 6$.
$\therefore BC = BD + CD = 15 + 6 = 21$.

(3)$M$港有甲、乙两艘船,甲船沿北偏东$60°$方向以$16\ \mathrm{km/h}$的速度前进,乙船沿南偏东某个角度以$30\ \mathrm{km/h}$的速度前进,$2\ \mathrm{h}$后,甲船到达$P$岛,乙船到达$Q$岛,$P$岛与$Q$岛相距$68\ \mathrm{km}$,试确定乙船航行的方向.
解:$MP = 16 × 2 = 32(\mathrm{km})$,
$MQ = 30 × 2 = 60(\mathrm{km})$.
$\because \sqrt{32^2 + 60^2} = 68(\mathrm{km})$,
且$PQ = 68(\mathrm{km})$,
$\therefore △ PMQ$为直角三角形,$∠ PMQ = 90°$.
$\therefore$乙船是沿南偏东$30°$方向航行的.

1. (1) 提示:当1和$\sqrt{3}$为直角边时,斜边长为2; 当$\sqrt{3}$为斜边,1为直角边时,另一条直角边长为$\sqrt{(\sqrt{3})^2 - 1^2} = \sqrt{2}$.
(2) 提示:如右图所示，，当AD在三角形内部时，$BC = BD + CD = 21$；当AD在三角形外部时，$BC = BD - CD = 9$。$\therefore BC$的长是21或9.
(3) 提示:利用勾股定理的逆定理判断直角三角形的方法不符合要求,正确的判定过程应为:
$\because MP^2 + MQ^2 = 4624$，$PQ^2 = 4624$，
$\therefore MP^2 + MQ^2 = PQ^2$.
$\therefore △ PMQ$为直角三角形，$∠ PMQ = 90°$.

2.问题:如图4-2-3,一个圆柱高8cm,底面半径为5cm,一只蚂蚁沿侧面从点B爬到点D处,爬行的最短路程是多少?(π取3)


图4-2-3
图4-2-4

解：
将圆柱侧面沿AB展开得到长方形ABCD，
由题意得：CD的长度等于圆柱的高，即$CD=8\ \mathrm{cm}$，
BC的长度等于圆柱底面周长的一半：
$BC=\frac{1}{2}×2π r=π r$
代入$r=5$，$π=3$，得$BC=3×5=15\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ BCD$中，$∠ C=90°$，由勾股定理得：
$BD^2=BC^2+CD^2=15^2+8^2=225+64=289=17^2$
因此$BD=17\ \mathrm{cm}$。
答：蚂蚁爬行的最短路程是17cm。