分析:蚂蚁实际是在圆柱的半个侧面内爬行,将这半个侧面展开(如图4-2-4)是长方形ABCD,根据“两点之间,线段最短”,最短路程是对角线BD的长,而BC是圆柱底面周长的一半,即15 cm,
∴ $BD = \sqrt{AB^2 + AD^2}$
$= \sqrt{8^2 + 15^2} = 17(\mathrm{cm}).$
答:蚂蚁爬行的最短路程约为17 cm.
应用:有一棵树直立在地上,树高20 m,树粗(周长)3 m,一根藤条从树根开始均匀缠绕而上,缠绕10周到达树顶,问藤长多少米.

2. 提示:树高20 m,藤绕10周,每周升高2 m,周长为$\sqrt{2^2 + 3^2} = \sqrt{13}(\mathrm{m})$.
所以藤绕树10周总长为$10\sqrt{13}\mathrm{m}$.

3. 在$△ ABC$中，$AB$，$BC$，$AC$三边的长分别为$\sqrt{5}$，$\sqrt{10}$，$\sqrt{13}$，求$△ ABC$的面积。
小辉同学的解答方法如下：
如图4-2-5，建立一个正方形网格（每个小正方形的边长为1），再在网格中作出格点$△ ABC$（即$△ ABC$三个顶点都在小正方形的顶点处）。这样借助网格就能计算出$△ ABC$的面积。这种方法叫做构图法。
利用图形可得$△ ABC$的面积为：
$3×3 - \frac{1}{2}(1×2 + 2×3 + 1×3) = \frac{7}{2}$。

如果$△ ABC$的三边长为$\sqrt{9m^2 + 4n^2}$，$\sqrt{m^2 + 16n^2}$，$\sqrt{4m^2 + 4n^2}$，其中$m＞0,n＞0$，且$m≠n$。请你仿照上述构图法求出这个三角形的面积。

3. 提示:如右图，，$△ ABC$的面积为
$S_{△ ABC} = 3m×4n - \frac{1}{2}×m×4n$
$- \frac{1}{2}×3m×2n$
$- \frac{1}{2}×2m×2n = 5mn$.

4.如图 4-2-6，$△ ABC$ 是等边三角形，$P$ 是三角形内一点，将 $△ ABP$ 绕点 $A$ 逆时针旋转 $60°$ 得到 $△ ACP'$，连结 $PP'$，$PC$.

图4-2-6
结合图形回答下列问题：
（1）与 $∠ APB$ 相等的角是 ，与线段 $BP$ 相等的线段是 .
（2）判断 $△ APP'$ 的形状是 .
（3）$∠ BPC$ 与 $∠ PAP'$ 和 $∠ PCP'$ 的数量关系是 .
（4）请你尝试运用上述方法和结论解决以下问题：
如图 4-2-7，在四边形 $ABCD$ 中，$∠ BAD = 60°$，$∠ BCD = 30°$，$AB = AD$，$BC = 9$，$CD = 8$，求 $AC$ 的长.

图4-2-7

4. (1) $∠AP'C$，$CP'$. (2) 等边三角形. (3) $∠BPC = ∠PAP' + ∠PCP'$.
(4) 提示: 由于 $AB = AD$，
$∠BAD = 60°$，将 $△ ACD$
绕点 $A$ 顺时针旋转 $60°$ 后，点 $D$ 落在点 $B$ 处，点 $C$ 落在点 $C'$ 处，. 由此可得 $∠ABC' = ∠ADC$，$AC' = AC$，$BC' = CD$，
$∠CAC' = 60°$. 易得 $△ ACC'$ 是等边三角形，
$∠CBC' = ∠BAD + ∠BCD = 90°$.
$\therefore AC = CC' = \sqrt{BC^2 + BC'^2} = \sqrt{145}$.