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9.(16分)(1)已知$4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$，求$(m + 2n)^2 - (3m - n)^2$的值；
(2)先分解因式，再求值：$(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$，其中$x = \frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{8}$。
(2)先分解因式，再求值：$(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$，其中$x = \frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{8}$。
答案
9. 解:(1)原式=$(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)=(4m+n)(3n-2m)=-(4m+n)(2m-3n)$. 当$4m+n=40,2m-3n=5$时,原式$=-40×5=-200$. (2)原式=$(2x+3y+2x-3y)(2x+3y-2x+3y)=4x·6y=24xy$. 当$x=\frac{1}{6},y=\frac{1}{8}$时,原式$=24×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$.
解析
【分析】
(1) 观察所求代数式是两个整式的平方差形式，首先想到运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对其分解因式，分解后得到的因式恰好和已知的两个等式相关，无需单独求解$m$、$n$的值，采用整体代入的方法即可快速算出结果，比先解方程组再代入求值更简便。
(2) 所求代数式同样是平方差结构，先利用平方差公式分解因式，将式子化简为最简形式后，再代入$x$、$y$的数值计算，能大幅减少计算量，避免直接展开多项式导致的计算错误。
【解析】
(1) 对$(m + 2n)^2 - (3m - n)^2$利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)\\&=(4m+n)(3n-2m)\\&=-(4m+n)(2m-3n)\end{aligned}$
将$4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$代入上式，得：
$原式=-40×5=-200$
(2) 对$(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(2x+3y+2x-3y)(2x+3y-2x+3y)\\&=4x·6y\\&=24xy\end{aligned}$
将$x = \frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{8}$代入上式，得：
$原式=24×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-200}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平方差公式分解因式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别代数式的平方差结构特征，通过分解因式简化运算，避免繁琐的多项式展开或方程组求解，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
(1) 观察所求代数式是两个整式的平方差形式，首先想到运用平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$对其分解因式，分解后得到的因式恰好和已知的两个等式相关，无需单独求解$m$、$n$的值，采用整体代入的方法即可快速算出结果，比先解方程组再代入求值更简便。
(2) 所求代数式同样是平方差结构，先利用平方差公式分解因式，将式子化简为最简形式后，再代入$x$、$y$的数值计算，能大幅减少计算量，避免直接展开多项式导致的计算错误。
【解析】
(1) 对$(m + 2n)^2 - (3m - n)^2$利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(m+2n+3m-n)(m+2n-3m+n)\\&=(4m+n)(3n-2m)\\&=-(4m+n)(2m-3n)\end{aligned}$
将$4m + n = 40$，$2m - 3n = 5$代入上式，得：
$原式=-40×5=-200$
(2) 对$(2x + 3y)^2 - (2x - 3y)^2$利用平方差公式分解因式：
$\begin{aligned}原式&=(2x+3y+2x-3y)(2x+3y-2x+3y)\\&=4x·6y\\&=24xy\end{aligned}$
将$x = \frac{1}{6}$，$y = \frac{1}{8}$代入上式，得：
$原式=24×\frac{1}{6}×\frac{1}{8}=\frac{1}{2}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{-200}$；(2) $\boldsymbol{\frac{1}{2}}$
【知识点】
平方差公式分解因式，代数式求值，整体代入法
【点评】
本题核心考查平方差公式的灵活运用，解题关键是准确识别代数式的平方差结构特征，通过分解因式简化运算，避免繁琐的多项式展开或方程组求解，能有效提升计算效率和准确率。
【难度系数】
0.8
10.(12分)如图,在一块边长为$a$ cm的正方形纸板的四角各剪去一个边长为$b$ cm的正方形$(b＜\dfrac{a}{2})$,列出表示剩余部分(阴影部分)面积的式子,然后利用因式分解计算当$a=13.2,b=3.4$时,剩余部分的面积.
(单位:cm)
(单位:cm)
答案
10. 解:由题意,得剩余部分的面积为$(a^2-4b^2)\mathrm{cm}^2$. 当$a=13.2,b=3.4$时,$a^2-4b^2=(a+2b)(a-2b)=(13.2+2×3.4)×(13.2-2×3.4)=20×6.4=128$. $\therefore$剩余部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$.
解析
【分析】
要计算剩余阴影部分的面积，首先用大正方形的面积减去四个角剪去的小正方形的总面积，先列出面积表达式；再观察表达式符合平方差公式的形式，利用因式分解将式子变形后再代入数值计算，能简化运算过程，避免计算大数的平方，减少出错概率。
【解析】
解：首先推导剩余部分的面积表达式：
边长为$a$ cm的正方形面积为$a^2$ cm²，每个剪去的小正方形边长为$b$ cm，1个小正方形面积为$b^2$ cm²，4个小正方形的总面积为$4b^2$ cm²，因此剩余部分面积为：
$S = a^2 - 4b^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
接下来代入$a=13.2$，$b=3.4$计算，先利用平方差公式因式分解：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a+2b)(a-2b)$
将数值代入变形后的式子计算：
$a+2b = 13.2 + 2×3.4 = 13.2 + 6.8 = 20$
$a-2b = 13.2 - 2×3.4 = 13.2 - 6.8 = 6.4$
因此$S = 20×6.4 = 128$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
剩余部分面积的表达式为$(a^2-4b^2)\mathrm{cm}^2$，当$a=13.2,b=3.4$时，剩余部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在实际计算中的应用，利用公式法因式分解可以大幅简化代数式求值的运算步骤，降低计算难度，解题时要先观察代数式的特征，合理选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
要计算剩余阴影部分的面积，首先用大正方形的面积减去四个角剪去的小正方形的总面积，先列出面积表达式；再观察表达式符合平方差公式的形式，利用因式分解将式子变形后再代入数值计算，能简化运算过程，避免计算大数的平方，减少出错概率。
【解析】
解：首先推导剩余部分的面积表达式：
边长为$a$ cm的正方形面积为$a^2$ cm²，每个剪去的小正方形边长为$b$ cm，1个小正方形面积为$b^2$ cm²，4个小正方形的总面积为$4b^2$ cm²，因此剩余部分面积为：
$S = a^2 - 4b^2$（单位：$\mathrm{cm}^2$）
接下来代入$a=13.2$，$b=3.4$计算，先利用平方差公式因式分解：
$a^2 - 4b^2 = a^2 - (2b)^2 = (a+2b)(a-2b)$
将数值代入变形后的式子计算：
$a+2b = 13.2 + 2×3.4 = 13.2 + 6.8 = 20$
$a-2b = 13.2 - 2×3.4 = 13.2 - 6.8 = 6.4$
因此$S = 20×6.4 = 128$（$\mathrm{cm}^2$）
【答案】
剩余部分面积的表达式为$(a^2-4b^2)\mathrm{cm}^2$，当$a=13.2,b=3.4$时，剩余部分的面积为$128\ \mathrm{cm}^2$。
【知识点】
正方形面积计算，平方差公式因式分解，代数式求值
【点评】
本题主要考查因式分解在实际计算中的应用，利用公式法因式分解可以大幅简化代数式求值的运算步骤，降低计算难度，解题时要先观察代数式的特征，合理选择简便的计算方法。
【难度系数】
0.8
11.(12分) 新定义问题 如果一个正整数能表示为两个连续偶数的平方差，那么称这个正整数为“神秘数”.如：$4=2^2 - 0^2$，$12=4^2 - 2^2$，$20=6^2 - 4^2$，因此4，12，20这三个数都是“神秘数”.
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？请说明理由.
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由.
(1)28和2012这两个数是“神秘数”吗？请说明理由.
(2)设两个连续偶数为$2k+2$和$2k$（其中k取非负整数），由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数吗？请说明理由.
答案
11. 解:(1)这两个数是“神秘数”.理由如下:$\because28=8^2-6^2,2012=504^2-502^2$,$\therefore28,2012$是“神秘数”. (2)是4的倍数.理由如下:$(2k+2)^2-(2k)^2=(2k+2+2k)(2k+2-2k)=(4k+2)×2=4(2k+1)$.$\because k$为非负整数,$\therefore4(2k+1)$是4的倍数.
解析
【分析】
本题是新定义类代数题，解题思路如下：(1)首先明确“神秘数”的定义：能表示为两个连续偶数的平方差的正整数。我们可以先推导神秘数的通用特征：设两个连续偶数为2k+2和2k（k为非负整数），用平方差公式计算两者的平方差可得结果为4(2k+1)，即神秘数是4与正奇数的乘积。判断28和2012时，先分别除以4，若商为奇数则符合神秘数特征，再反推出对应的两个连续偶数即可验证；(2)直接将给定的两个连续偶数代入平方差公式展开化简，观察结果是否含有因数4，即可判断是否为4的倍数。
【解析】
(1)28和2012都是“神秘数”，理由如下：
根据“神秘数”的定义验证：
$28=8^2 - 6^2$，$2012=504^2 - 502^2$，均符合“神秘数”的定义，因此28、2012是“神秘数”。
(2)由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，理由如下：
根据平方差公式展开两个连续偶数的平方差：
$\begin{aligned}(2k+2)^2 - (2k)^2&=(2k+2+2k)(2k+2-2k)\\&=(4k+2)×2\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
∵k为非负整数，
∴$2k+1$是正整数，因此$4(2k+1)$是4的倍数，即构造的“神秘数”是4的倍数。
【答案】
(1)28和2012都是“神秘数”，理由：$\because28=8^2-6^2,2012=504^2-502^2$，$\therefore28,2012$是“神秘数”；
(2)是4的倍数，理由：$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，$\because k$为非负整数，$\therefore4(2k+1)$是4的倍数。
【知识点】
1. 新定义理解
2. 平方差公式
3. 整式化简
【点评】
本题以新定义“神秘数”为载体，既考查了对新概念的提取、理解和应用能力，又考查了平方差公式在整式化简中的基础运用，解题核心是抓住定义本质，结合代数公式化简验证，是一道兼顾基础和思维灵活性的常规题型。
【难度系数】
0.7
本题是新定义类代数题，解题思路如下：(1)首先明确“神秘数”的定义：能表示为两个连续偶数的平方差的正整数。我们可以先推导神秘数的通用特征：设两个连续偶数为2k+2和2k（k为非负整数），用平方差公式计算两者的平方差可得结果为4(2k+1)，即神秘数是4与正奇数的乘积。判断28和2012时，先分别除以4，若商为奇数则符合神秘数特征，再反推出对应的两个连续偶数即可验证；(2)直接将给定的两个连续偶数代入平方差公式展开化简，观察结果是否含有因数4，即可判断是否为4的倍数。
【解析】
(1)28和2012都是“神秘数”，理由如下：
根据“神秘数”的定义验证：
$28=8^2 - 6^2$，$2012=504^2 - 502^2$，均符合“神秘数”的定义，因此28、2012是“神秘数”。
(2)由这两个连续偶数构造的“神秘数”是4的倍数，理由如下：
根据平方差公式展开两个连续偶数的平方差：
$\begin{aligned}(2k+2)^2 - (2k)^2&=(2k+2+2k)(2k+2-2k)\\&=(4k+2)×2\\&=4(2k+1)\end{aligned}$
∵k为非负整数，
∴$2k+1$是正整数，因此$4(2k+1)$是4的倍数，即构造的“神秘数”是4的倍数。
【答案】
(1)28和2012都是“神秘数”，理由：$\because28=8^2-6^2,2012=504^2-502^2$，$\therefore28,2012$是“神秘数”；
(2)是4的倍数，理由：$(2k+2)^2-(2k)^2=4(2k+1)$，$\because k$为非负整数，$\therefore4(2k+1)$是4的倍数。
【知识点】
1. 新定义理解
2. 平方差公式
3. 整式化简
【点评】
本题以新定义“神秘数”为载体，既考查了对新概念的提取、理解和应用能力，又考查了平方差公式在整式化简中的基础运用，解题核心是抓住定义本质，结合代数公式化简验证，是一道兼顾基础和思维灵活性的常规题型。
【难度系数】
0.7
