登录
1.(4分)把多项式$x^2 -4x +4$分解因式的结果是（
A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
D
）A.$x(x-4)+4$
B.$(x+2)(x-2)$
C.$(x+2)^2$
D.$(x-2)^2$
答案
1. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，其次要熟练掌握完全平方公式的结构特征。第一步先排除不符合因式分解形式的选项，再将剩余选项展开或者套用公式和原式对比，即可选出正确答案。
【解析】
因式分解的结果需为若干个整式乘积的形式，首先排除A选项，其右边为和的形式，不符合因式分解要求。
完全平方差公式为：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-4x+4$：$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应公式中的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2× x×2$，刚好符合公式中$-2ab$的结构，因此代入公式得：$x^2-4x+4=(x-2)^2$。
再验证其余选项：
B选项$(x+2)(x-2)=x^2-4$，与原式不符，排除；
C选项$(x+2)^2=x^2+4x+4$，中间项符号与原式不一致，排除。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解的定义
2.完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别，解题时要先判断选项是否符合因式分解的形式要求，再结合公式验证，避免混淆完全平方公式和平方差公式。
【难度系数】
0.85
解决这道题首先要明确因式分解的核心要求：结果必须是几个整式乘积的形式，其次要熟练掌握完全平方公式的结构特征。第一步先排除不符合因式分解形式的选项，再将剩余选项展开或者套用公式和原式对比，即可选出正确答案。
【解析】
因式分解的结果需为若干个整式乘积的形式，首先排除A选项，其右边为和的形式，不符合因式分解要求。
完全平方差公式为：$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$。
观察多项式$x^2-4x+4$：$x^2$对应公式中的$a^2$，即$a=x$；常数项$4=2^2$对应公式中的$b^2$，即$b=2$；中间项$-4x=-2× x×2$，刚好符合公式中$-2ab$的结构，因此代入公式得：$x^2-4x+4=(x-2)^2$。
再验证其余选项：
B选项$(x+2)(x-2)=x^2-4$，与原式不符，排除；
C选项$(x+2)^2=x^2+4x+4$，中间项符号与原式不一致，排除。
因此正确选项为D。
【答案】
D
【知识点】
1.因式分解的定义
2.完全平方公式分解因式
【点评】
本题是因式分解的基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的识别，解题时要先判断选项是否符合因式分解的形式要求，再结合公式验证，避免混淆完全平方公式和平方差公式。
【难度系数】
0.85
2.(4分)多项式$x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式分解因式，则m的值是（
A.3
B.6
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
D
）A.3
B.6
C.$\pm 3$
D.$\pm 6$
答案
2. D
解析
【分析】
要解决这道题，首先要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其核心是两个平方项符号为正，中间项是两数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将给定的多项式和完全平方公式的结构对应，找到两个平方项，再根据中间项的两种可能情况列等式求m的值，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
已知多项式$x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式分解因式：
1. 确定平方项：$x^2$对应公式中的$a^2$，可得$a=x$；$9y^2=(3y)^2$对应公式中的$b^2$，可得$b=3y$。
2. 推导中间项：根据完全平方公式，中间项应为$\pm2ab$，代入$a、b$计算得：$\pm 2· x· 3y=\pm 6xy$。
3. 求m的值：已知给定多项式的中间项为$-mxy$，因此$-mxy=\pm 6xy$，约去非零项$xy$后得$-m=\pm6$，解得$m=\pm6$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意完全平方公式有和、差两种形式，避免只考虑单一情况出现漏解，属于基础公式应用类题目。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要回忆完全平方公式的结构特征：完全平方公式有两种形式，分别为$a^2+2ab+b^2=(a+b)^2$和$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其核心是两个平方项符号为正，中间项是两数乘积的2倍，符号可正可负。解题时先将给定的多项式和完全平方公式的结构对应，找到两个平方项，再根据中间项的两种可能情况列等式求m的值，注意不要遗漏任意一种情况。
【解析】
完全平方公式的形式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$。
已知多项式$x^2 - mxy + 9y^2$能用完全平方公式分解因式：
1. 确定平方项：$x^2$对应公式中的$a^2$，可得$a=x$；$9y^2=(3y)^2$对应公式中的$b^2$，可得$b=3y$。
2. 推导中间项：根据完全平方公式，中间项应为$\pm2ab$，代入$a、b$计算得：$\pm 2· x· 3y=\pm 6xy$。
3. 求m的值：已知给定多项式的中间项为$-mxy$，因此$-mxy=\pm 6xy$，约去非零项$xy$后得$-m=\pm6$，解得$m=\pm6$。
综上，本题选D。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式；公式法分解因式
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的掌握，解题时要注意完全平方公式有和、差两种形式，避免只考虑单一情况出现漏解，属于基础公式应用类题目。
【难度系数】
0.8
3.(4分)把多项式$-x^2 -4y^2 +4xy$分解因式所得的结果是（
A.$(-x-2y)^2$
B.$-(x-2y)^2$
C.$(x-2y)^2$
D.$-(x+2y)^2$
B
）A.$(-x-2y)^2$
B.$-(x-2y)^2$
C.$(x-2y)^2$
D.$-(x+2y)^2$
答案
3. B
解析
【分析】
拿到这道三项式因式分解的题目，首先观察多项式的特征：首项系数为负，且共有三项，优先考虑先提取负号，再判断剩余的多项式是否符合完全平方公式的结构。完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们将提取负号后的多项式按降幂排列后，验证各项是否匹配公式中$a^2$、$2ab$、$b^2$的形式，即可完成分解，最后匹配选项得到答案。
【解析】
首先对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}-x^2 -4y^2 +4xy&= -x^2 +4xy -4y^2 \\&= -(x^2 -4xy +4y^2) \quad \mathrm{（提取负号）} \\&= -(x^2 -2· x· 2y +(2y)^2) \\&= -(x-2y)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\end{aligned}$
对比选项，结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本应用，解题时需注意先处理多项式的负号，再结合公式的结构特征判断是否可以套用完全平方公式，要格外注意各项符号的变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
拿到这道三项式因式分解的题目，首先观察多项式的特征：首项系数为负，且共有三项，优先考虑先提取负号，再判断剩余的多项式是否符合完全平方公式的结构。完全平方公式为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，我们将提取负号后的多项式按降幂排列后，验证各项是否匹配公式中$a^2$、$2ab$、$b^2$的形式，即可完成分解，最后匹配选项得到答案。
【解析】
首先对原式进行变形整理：
$\begin{aligned}-x^2 -4y^2 +4xy&= -x^2 +4xy -4y^2 \\&= -(x^2 -4xy +4y^2) \quad \mathrm{（提取负号）} \\&= -(x^2 -2· x· 2y +(2y)^2) \\&= -(x-2y)^2 \quad \mathrm{（套用完全平方差公式）}\end{aligned}$
对比选项，结果对应B选项。
【答案】
B
【知识点】
提公因式法分解因式；完全平方公式分解因式
【点评】
本题考查因式分解的基本应用，解题时需注意先处理多项式的负号，再结合公式的结构特征判断是否可以套用完全平方公式，要格外注意各项符号的变化，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
4.(4分)下列多项式中,不能用完全平方公式分解因式的是 (
A.$m+1+\dfrac{m^2}{4}$
B.$-9x^2+6x-1$
C.$-a^2+14ab+49b^2$
D.$\dfrac{n^2}{9}-\dfrac{2}{3}n+1$
C
)A.$m+1+\dfrac{m^2}{4}$
B.$-9x^2+6x-1$
C.$-a^2+14ab+49b^2$
D.$\dfrac{n^2}{9}-\dfrac{2}{3}n+1$
答案
4. C
解析
【分析】
要解决本题，首先需明确完全平方公式分解因式的适用条件：能用完全平方公式分解的多项式是三项式，其中两项可写成两个数（或式）的平方且这两项同号，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐个验证各选项是否符合该特征即可选出答案。
【解析】
完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
A选项：$m+1+\dfrac{m^2}{4}=(\dfrac{m}{2})^2+2×\dfrac{m}{2}×1+1^2$，符合完全平方式结构，可分解为$(\dfrac{m}{2}+1)^2$，不符合题意；
B选项：$-9x^2+6x-1=-(9x^2-6x+1)=-[(3x)^2-2×3x×1+1^2]$，括号内为完全平方式，可分解为$-(3x-1)^2$，不符合题意；
C选项：$-a^2+14ab+49b^2$，两个平方项$-a^2$和$49b^2$符号相反，若提取负号得$-(a^2-14ab-49b^2)$，括号内平方项$a^2$和常数项$-49b^2$仍异号，不符合完全平方式的结构，不能用完全平方公式分解，符合题意；
D选项：$\dfrac{n^2}{9}-\dfrac{2}{3}n+1=(\dfrac{n}{3})^2-2×\dfrac{n}{3}×1+1^2$，符合完全平方式结构，可分解为$(\dfrac{n}{3}-1)^2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的理解，解题的关键是准确识别完全平方式的三项特征，尤其要注意两个平方项必须同号，避免因忽略符号细节导致判断错误。
【难度系数】
0.7
要解决本题，首先需明确完全平方公式分解因式的适用条件：能用完全平方公式分解的多项式是三项式，其中两项可写成两个数（或式）的平方且这两项同号，第三项是这两个数（或式）乘积的2倍（符号可正可负）。我们只需逐个验证各选项是否符合该特征即可选出答案。
【解析】
完全平方公式为：$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，逐一分析选项：
A选项：$m+1+\dfrac{m^2}{4}=(\dfrac{m}{2})^2+2×\dfrac{m}{2}×1+1^2$，符合完全平方式结构，可分解为$(\dfrac{m}{2}+1)^2$，不符合题意；
B选项：$-9x^2+6x-1=-(9x^2-6x+1)=-[(3x)^2-2×3x×1+1^2]$，括号内为完全平方式，可分解为$-(3x-1)^2$，不符合题意；
C选项：$-a^2+14ab+49b^2$，两个平方项$-a^2$和$49b^2$符号相反，若提取负号得$-(a^2-14ab-49b^2)$，括号内平方项$a^2$和常数项$-49b^2$仍异号，不符合完全平方式的结构，不能用完全平方公式分解，符合题意；
D选项：$\dfrac{n^2}{9}-\dfrac{2}{3}n+1=(\dfrac{n}{3})^2-2×\dfrac{n}{3}×1+1^2$，符合完全平方式结构，可分解为$(\dfrac{n}{3}-1)^2$，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
完全平方公式，因式分解
【点评】
本题核心考查对完全平方公式结构特征的理解，解题的关键是准确识别完全平方式的三项特征，尤其要注意两个平方项必须同号，避免因忽略符号细节导致判断错误。
【难度系数】
0.7
5.(4分)多项式$4x^2+1$加上一个单项式后，能用完全平方公式分解因式，有下列单项式：①$-1$；②$4x$；③$-4x$；④$4x^4$。其中满足条件的是（
A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
D
）A.①②
B.②③
C.③④
D.②③④
答案
5. D
解析
【分析】
解题时要紧扣完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式由两个平方项、以及两个平方项底数乘积的2倍（可正可负）构成。我们可以把已知的$4x^2+1$分两类讨论：一是将$4x^2$和$1$都作为平方项，找缺失的交叉项；二是将$4x^2$作为交叉项，找缺失的另一个平方项，再逐一验证给出的单项式是否符合要求即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证各单项式：
1. 加①$-1$：$4x^2+1+(-1)=4x^2$，结果为单项式，无法用完全平方公式分解因式，不符合要求；
2. 加②$4x$：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求；
3. 加③$-4x$：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求；
4. 加④$4x^4$：$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求。
因此满足条件的是②③④。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的理解与灵活运用，解题时要全面考虑完全平方式的不同构成情况，不要遗漏已知项作为交叉项的情况，避免漏解或错选。
【难度系数】
0.7
解题时要紧扣完全平方公式的结构特征：完全平方公式为$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，即完全平方式由两个平方项、以及两个平方项底数乘积的2倍（可正可负）构成。我们可以把已知的$4x^2+1$分两类讨论：一是将$4x^2$和$1$都作为平方项，找缺失的交叉项；二是将$4x^2$作为交叉项，找缺失的另一个平方项，再逐一验证给出的单项式是否符合要求即可。
【解析】
根据完全平方公式$(a\pm b)^2=a^2\pm2ab+b^2$，逐一验证各单项式：
1. 加①$-1$：$4x^2+1+(-1)=4x^2$，结果为单项式，无法用完全平方公式分解因式，不符合要求；
2. 加②$4x$：$4x^2+4x+1=(2x+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求；
3. 加③$-4x$：$4x^2-4x+1=(2x-1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求；
4. 加④$4x^4$：$4x^4+4x^2+1=(2x^2+1)^2$，符合完全平方公式结构，可分解因式，符合要求。
因此满足条件的是②③④。
【答案】
D
【知识点】
完全平方公式，公式法因式分解
【点评】
本题考查对完全平方公式结构的理解与灵活运用，解题时要全面考虑完全平方式的不同构成情况，不要遗漏已知项作为交叉项的情况，避免漏解或错选。
【难度系数】
0.7
6.(6分)分解因式:
(1)$9x^2 + 6x + 1=$______;
(2)$a^2 + 4ab + 4b^2=$______;
(3)$(a + 1)^2 - 4a=$______.
(1)$9x^2 + 6x + 1=$______;
(2)$a^2 + 4ab + 4b^2=$______;
(3)$(a + 1)^2 - 4a=$______.
答案
(1) $(3x+1)^2$ (2) $(a+2b)^2$ (3) $(a-1)^2$
解析
【分析】
本题考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：
1. 前两题先分别找出多项式中对应完全平方公式里的平方项和两倍乘积项，确认符合公式结构后直接代入公式分解即可；
2. 第三题含有带完全平方式的括号，先利用完全平方公式展开括号，合并同类项后得到标准的二次三项式，再判断符合完全平方公式结构后分解因式。
【解析】
(1) 观察多项式：$9x^2=(3x)^2$，$1=1^2$，中间项$6x=2×3x×1$，符合完全平方和公式的结构，其中$a=3x$，$b=1$，因此：
$9x^2 + 6x + 1=(3x+1)^2$
(2) 观察多项式：$a^2$是$a$的平方，$4b^2=(2b)^2$，中间项$4ab=2× a×2b$，符合完全平方和公式的结构，其中$a=a$，$b=2b$，因此：
$a^2 + 4ab + 4b^2=(a+2b)^2$
(3) 先展开括号整理多项式：
$(a + 1)^2 - 4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1$
整理后$a^2=a^2$，$1=1^2$，中间项$-2a=-2× a×1$，符合完全平方差公式的结构，其中$a=a$，$b=1$，因此：
$a^2-2a+1=(a-1)^2$
【答案】
(1) $(3x+1)^2$ (2) $(a+2b)^2$ (3) $(a-1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 整式化简运算
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对于形式不标准的多项式，要先通过整式运算整理为标准形式后再判断能否用公式分解，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
本题考查用完全平方公式分解因式，完全平方公式的结构为$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$，解题思路如下：
1. 前两题先分别找出多项式中对应完全平方公式里的平方项和两倍乘积项，确认符合公式结构后直接代入公式分解即可；
2. 第三题含有带完全平方式的括号，先利用完全平方公式展开括号，合并同类项后得到标准的二次三项式，再判断符合完全平方公式结构后分解因式。
【解析】
(1) 观察多项式：$9x^2=(3x)^2$，$1=1^2$，中间项$6x=2×3x×1$，符合完全平方和公式的结构，其中$a=3x$，$b=1$，因此：
$9x^2 + 6x + 1=(3x+1)^2$
(2) 观察多项式：$a^2$是$a$的平方，$4b^2=(2b)^2$，中间项$4ab=2× a×2b$，符合完全平方和公式的结构，其中$a=a$，$b=2b$，因此：
$a^2 + 4ab + 4b^2=(a+2b)^2$
(3) 先展开括号整理多项式：
$(a + 1)^2 - 4a=a^2+2a+1-4a=a^2-2a+1$
整理后$a^2=a^2$，$1=1^2$，中间项$-2a=-2× a×1$，符合完全平方差公式的结构，其中$a=a$，$b=1$，因此：
$a^2-2a+1=(a-1)^2$
【答案】
(1) $(3x+1)^2$ (2) $(a+2b)^2$ (3) $(a-1)^2$
【知识点】
1. 完全平方公式分解因式
2. 整式化简运算
【点评】
本题属于因式分解的基础题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，对于形式不标准的多项式，要先通过整式运算整理为标准形式后再判断能否用公式分解，计算时注意不要弄错符号。
【难度系数】
0.8
7. (4分)计算：$125^2 - 50×125 + 25^2 =$
10 000
.答案
7. 10 000
解析
【分析】
观察算式的结构，可发现其符合完全平方差公式的形式：两数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方。我们先将原式转化为完全平方差的标准形式，再代入公式计算，比直接计算乘方、乘法更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：原式$=125^2 - 2×25×125 + 25^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=125$，$b=25$，代入得：
原式$=(125-25)^2$
$=100^2$
$=10000$
【答案】
10000
【知识点】
完全平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题考查利用完全平方公式进行简便计算，解题的核心是准确识别算式对应的公式结构，熟练运用公式可大幅降低计算量，避免硬算出错。
【难度系数】
0.85
观察算式的结构，可发现其符合完全平方差公式的形式：两数的平方和减去这两个数乘积的2倍，等于这两个数差的平方。我们先将原式转化为完全平方差的标准形式，再代入公式计算，比直接计算乘方、乘法更简便，也能减少计算错误。
【解析】
解：原式$=125^2 - 2×25×125 + 25^2$
根据完全平方差公式$a^2-2ab+b^2=(a-b)^2$，其中$a=125$，$b=25$，代入得：
原式$=(125-25)^2$
$=100^2$
$=10000$
【答案】
10000
【知识点】
完全平方差公式，因式分解简便运算
【点评】
本题考查利用完全平方公式进行简便计算，解题的核心是准确识别算式对应的公式结构，熟练运用公式可大幅降低计算量，避免硬算出错。
【难度系数】
0.85
8.(4分)将一个正方形分成四部分，其各部分的面积如图所示，则原正方形的边长是
$a+b$
.(用含a,b的式子表示)答案
8. $a+b$
解析
【分析】要确定原正方形的边长，首先需要计算正方形的总面积，正方形总面积等于四个部分的面积之和；得到总面积的表达式后，利用完全平方公式对其因式分解，结合正方形面积等于边长的平方的性质，即可求出边长。
【解析】首先计算原正方形的总面积：
将四部分面积相加得：$\begin{aligned}ab + a^2 + b^2 + ab &= a^2 + 2ab + b^2\end{aligned}$
根据完全平方公式因式分解得：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
设正方形边长为$x$，由正方形面积公式$S=x^2$，可得$x^2=(a+b)^2$，因为边长为正数，所以$x=a+b$。
【答案】$a+b$
【知识点】完全平方公式，正方形面积计算，整式加减运算
【点评】本题将代数运算与几何图形面积相结合，解题核心是先通过面积求和得到总面积表达式，再利用完全平方公式因式分解得到边长，考查对基础公式的理解和应用能力。
【难度系数】0.8
【解析】首先计算原正方形的总面积：
将四部分面积相加得：$\begin{aligned}ab + a^2 + b^2 + ab &= a^2 + 2ab + b^2\end{aligned}$
根据完全平方公式因式分解得：$a^2 + 2ab + b^2 = (a+b)^2$
设正方形边长为$x$，由正方形面积公式$S=x^2$，可得$x^2=(a+b)^2$，因为边长为正数，所以$x=a+b$。
【答案】$a+b$
【知识点】完全平方公式，正方形面积计算，整式加减运算
【点评】本题将代数运算与几何图形面积相结合，解题核心是先通过面积求和得到总面积表达式，再利用完全平方公式因式分解得到边长，考查对基础公式的理解和应用能力。
【难度系数】0.8
9.(20分)分解因式:
(1)$a^2 -10a +25$;
(2)$m^2n^2 +4 +4mn$;
(3)$x(x-2)+1$;
(4)$(x-y)^2 +4xy$;
(5)$9(x+y)^2 -6(x+y)+1$.
(1)$a^2 -10a +25$;
(2)$m^2n^2 +4 +4mn$;
(3)$x(x-2)+1$;
(4)$(x-y)^2 +4xy$;
(5)$9(x+y)^2 -6(x+y)+1$.
答案
9. 解:(1)原式$=(a-5)^2$.(2)原式$=(mn+2)^2$.(3)原式$=x^2-2x+1=(x-1)^2$.(4)原式$=x^2-2xy+y^2+4xy=x^2+2xy+y^2=(x+y)^2$.(5)原式$=[3(x+y)]^2-6(x+y)+1=(3x+3y-1)^2$.
解析
【分析】
这5道因式分解题均围绕完全平方公式展开考查，解题思路如下：①首先牢记完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；②先观察式子是否符合完全平方公式的结构，若不符合（如第(3)(4)题），先通过整式乘法运算展开整理成三项式的标准形式；③对于含有整体的式子（如第(5)题），将括号内的多项式看作一个整体，对应公式中的“a”或“b”，再套用公式计算即可。
【解析】
(1) 观察式子$a^2 -10a +25$，$a^2$是$a$的平方，25是5的平方，$-10a$是$a$和5乘积的-2倍，符合完全平方差公式，因此原式$=(a-5)^2$；
(2) 调整式子顺序得$m^2n^2 +4mn +4$，$m^2n^2$是$mn$的平方，4是2的平方，$4mn$是$mn$和2乘积的2倍，符合完全平方和公式，因此原式$=(mn+2)^2$；
(3) 先利用整式乘法展开括号：$x(x-2)+1=x^2-2x+1$，整理后的式子符合完全平方差公式，因此原式$=(x-1)^2$；
(4) 先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$：$(x-y)^2 +4xy=x^2-2xy+y^2+4xy$，合并同类项得$x^2+2xy+y^2$，符合完全平方和公式，因此原式$=(x+y)^2$；
(5) 将$3(x+y)$看作一个整体，$9(x+y)^2=[3(x+y)]^2$，1是1的平方，$-6(x+y)$是$3(x+y)$和1乘积的-2倍，符合完全平方差公式，因此原式$=[3(x+y)-1]^2=(3x+3y-1)^2$。
【答案】
(1)$(a-5)^2$；(2)$(mn+2)^2$；(3)$(x-1)^2$；(4)$(x+y)^2$；(5)$(3x+3y-1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，整式乘法运算，整体法因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，部分题目需先化简整式再套用公式，还有的需将多项式看作整体代入公式，熟练识别公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
这5道因式分解题均围绕完全平方公式展开考查，解题思路如下：①首先牢记完全平方公式的结构特征：两数的平方和加上（或减去）这两数乘积的2倍，等于这两数和（或差）的平方，即$a^2\pm2ab+b^2=(a\pm b)^2$；②先观察式子是否符合完全平方公式的结构，若不符合（如第(3)(4)题），先通过整式乘法运算展开整理成三项式的标准形式；③对于含有整体的式子（如第(5)题），将括号内的多项式看作一个整体，对应公式中的“a”或“b”，再套用公式计算即可。
【解析】
(1) 观察式子$a^2 -10a +25$，$a^2$是$a$的平方，25是5的平方，$-10a$是$a$和5乘积的-2倍，符合完全平方差公式，因此原式$=(a-5)^2$；
(2) 调整式子顺序得$m^2n^2 +4mn +4$，$m^2n^2$是$mn$的平方，4是2的平方，$4mn$是$mn$和2乘积的2倍，符合完全平方和公式，因此原式$=(mn+2)^2$；
(3) 先利用整式乘法展开括号：$x(x-2)+1=x^2-2x+1$，整理后的式子符合完全平方差公式，因此原式$=(x-1)^2$；
(4) 先利用完全平方公式展开$(x-y)^2$：$(x-y)^2 +4xy=x^2-2xy+y^2+4xy$，合并同类项得$x^2+2xy+y^2$，符合完全平方和公式，因此原式$=(x+y)^2$；
(5) 将$3(x+y)$看作一个整体，$9(x+y)^2=[3(x+y)]^2$，1是1的平方，$-6(x+y)$是$3(x+y)$和1乘积的-2倍，符合完全平方差公式，因此原式$=[3(x+y)-1]^2=(3x+3y-1)^2$。
【答案】
(1)$(a-5)^2$；(2)$(mn+2)^2$；(3)$(x-1)^2$；(4)$(x+y)^2$；(5)$(3x+3y-1)^2$
【知识点】
完全平方公式因式分解，整式乘法运算，整体法因式分解
【点评】
本题是因式分解的常规基础题型，重点考查对完全平方公式结构特征的掌握，部分题目需先化简整式再套用公式，还有的需将多项式看作整体代入公式，熟练识别公式的结构特征是解题的核心。
【难度系数】
0.8
