10.(9分)下面是小冉同学对多项式－$(x - 4y)^2 + 4y(3y - x)$进行因式分解的过程：
解:原式=$+12y^2 - 4xy$
=…
(1)横线上的多项式是,依据的公式用字母$a,b$表示为;
(2)补全解题过程.

10. 解:(1) $-x^2+8xy-16y^2$ $(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
(2)原式$=-x^2+8xy-16y^2+12y^2-4xy=-x^2+4xy-4y^2=-(x^2-4xy+4y^2)=-(x-2y)^2$.

【分析】
(1) 观察题目给出的第一步，等号右侧的$+12y^2-4xy$是原式中$4y(3y-x)$展开得到的，因此横线上的多项式是原式第一项$-(x-4y)^2$的展开结果。我们可以先利用完全平方差公式展开$(x-4y)^2$，再添加负号即可得到所求多项式，用到的是完全平方差的展开公式。
(2) 补全过程的思路：先将两项展开后的式子合并同类项，得到一个二次三项式，观察式子的结构，先提取负号，再判断剩下的多项式是否符合完全平方公式的特征，最后用公式完成因式分解即可，注意分解要彻底。
【解析】
(1) 先计算$-(x-4y)^2$：
根据完全平方差公式，$(x-4y)^2=x^2-2· x·4y+(4y)^2=x^2-8xy+16y^2$，
因此$-(x-4y)^2=-x^2+8xy-16y^2$，即横线上的多项式为$-x^2+8xy-16y^2$，依据的公式是$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$。
(2) 补全解题过程：
原式$=-x^2+8xy-16y^2+12y^2-4xy$
合并同类项得：$=-x^2+(8xy-4xy)+(-16y^2+12y^2)$
$=-x^2+4xy-4y^2$
提取公因式$-1$得：$=-(x^2-4xy+4y^2)$
逆用完全平方差公式得：$=-(x-2y)^2$
【答案】
(1) $-x^2+8xy-16y^2$；$(a-b)^2=a^2-2ab+b^2$
(2) 原式$=-x^2+8xy-16y^2+12y^2-4xy=-x^2+4xy-4y^2=-(x^2-4xy+4y^2)=-(x-2y)^2$
【知识点】
完全平方公式；合并同类项；因式分解
【点评】
本题重点考查完全平方公式的正用和逆用，以及因式分解的基本步骤，解题时要注意符号的处理，尤其是提取负号时括号内各项要变号，因式分解要分解到不能再分解为止，是对整式运算和因式分解基础能力的考查。
【难度系数】
0.7

11.(10分)已知$M=5x^2 +4$，$N=4x^2 +4x$。
(1)当$M=N$时，求$x$的值；
(2)试比较$M,N$的大小。

11. 解:(1)$\because M=N,\therefore 5x^2+4=4x^2+4x$.整理,得$x^2-4x+4=0$,即$(x-2)^2=0$.$\therefore x-2=0$,解得$x=2$.
(2)$M-N=5x^2+4-4x^2-4x=x^2-4x+4=(x-2)^2$.$\because (x-2)^2≥0,\therefore M-N≥0$,即$M≥ N$.

【分析】
(1) 已知M=N，直接将M、N对应的代数式代入等式，可得到关于x的一元二次方程，整理方程后利用完全平方公式因式分解，即可求解x的值。
(2) 比较两个代数式的大小常采用作差法，先计算M-N的结果，将结果整理为完全平方式，再结合平方数的非负性判断M-N的正负，即可得出M、N的大小关系。
【解析】
(1) $\because M=N$，将$M=5x^2 +4$，$N=4x^2 +4x$代入等式得：
$5x^2+4=4x^2+4x$
移项合并同类项，得$x^2-4x+4=0$
由完全平方公式因式分解，得$(x-2)^2=0$
$\therefore x-2=0$，解得$x=2$。
(2) 计算M与N的差：
$M-N=(5x^2+4)-(4x^2+4x)$
去括号得：$M-N=5x^2+4-4x^2-4x$
合并同类项得：$M-N=x^2-4x+4$
因式分解得：$M-N=(x-2)^2$
$\because$ 任意实数的平方均为非负数，即$(x-2)^2≥0$
$\therefore M-N≥0$，即$M≥N$。
【答案】
(1) $x=2$；(2) $M≥N$
【知识点】
1. 完全平方公式因式分解
2. 一元二次方程求解
3. 作差法比较大小
【点评】
本题属于基础代数题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的应用，理解作差法比较代数式大小的逻辑，结合平方的非负性即可顺利解题，整体计算量小，解题思路清晰。
【难度系数】
0.85

12.（12分）渗透整体思想 阅读材料：
分解因式：$(a-b)^2 - 2(a-b)+1$。
解：设$a-b=M$，
则原式$=M^2 -2M +1=(M-1)^2$。
再将$a-b=M$还原，得原式$=(a-b-1)^2$。
上述解题过程中用到了“整体思想”，它是数学中常用的一种思想，请你用整体思想解答下列问题：
（1）分解因式：$(x+y)(x+y-4)+4$；
（2）若$a$为正整数，则$(a-1)(a-2)(a-3)(a-4)+1$为整数的平方，试说明理由。

12. 解:(1)设$x+y=M$,则原式$=M(M-4)+4=M^2-4M+4=(M-2)^2$.将$x+y=M$还原,得原式$=(x+y-2)^2$.(2)原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)+1$.设$N=a^2-5a+4$,则原式$=N(N+2)+1=N^2+2N+1=(N+1)^2$.$\because a$为正整数,$\therefore N=a^2-5a+4$为整数.$\therefore$原式$=(N+1)^2$为整数的平方.

【分析】
这道题考查整体换元思想在因式分解中的应用，解题时先观察多项式的结构特征：
（1）问中多项式多次出现$(x+y)$，可将$x+y$设为一个整体$M$，代入原式后转化为关于$M$的多项式，展开后即可用完全平方公式分解，最后再还原为关于$x$、$y$的式子即可。
（2）问中四个一次式相乘，先利用乘法交换律重新分组：把$(a-1)$和$(a-4)$分为一组，$(a-2)$和$(a-3)$分为一组，两组分别相乘后会得到含相同二次项和一次项的多项式，再将相同的部分设为整体$N$，代入后转化为关于$N$的多项式，分解为完全平方形式后，结合$a$是正整数说明$N$为整数，即可证明原式是整数的平方。
【解析】
（1）设$x+y=M$，
则原式$=M(M-4)+4=M^2-4M+4=(M-2)^2$，
将$x+y=M$还原，得原式$=(x+y-2)^2$。
（2）先对原式分组：
原式$=(a-1)(a-4)(a-2)(a-3)+1$
$=(a^2-5a+4)(a^2-5a+6)+1$，
设$N=a^2-5a+4$，
则原式$=N(N+2)+1=N^2+2N+1=(N+1)^2$，
$\because a$为正整数，$\therefore N=a^2-5a+4$是整数，
$\therefore (N+1)^2$是整数的平方，即原式为整数的平方。
【答案】
（1）$\boldsymbol{(x+y-2)^2}$
（2）原式可化为整数的平方，理由见解析
【知识点】
整体换元思想、公式法分解因式、整式乘法运算
【点评】
本题重点考查整体思想在因式分解中的灵活应用，解题的关键是观察多项式的结构特征，通过换元将复杂的式子转化为熟悉的完全平方形式，第二问需要先合理分组得到同构整式再换元，有效锻炼了学生的观察能力与转化思维。
【难度系数】
0.7

13.(5分)已知$a,b,c$是$△ ABC$的三边长，且满足$a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c) = 0$，则$△ ABC$的形状是（）

A.等腰三角形
B.等边三角形
C.直角三角形
D.不能确定

13. B

【分析】
要判断三角形的形状，需先推导出三边a、b、c的数量关系。首先对已知的含三边的等式进行变形，通过分组凑完全平方的形式因式分解，再利用平方的非负性得到各因式为0，即可推导三边关系，最终判断三角形形状。
【解析】
对已知等式整理变形：
$\begin{aligned}a^2 + 2b^2 + c^2 - 2b(a + c) &= 0\\a^2 + 2b^2 + c^2 - 2ab - 2bc &= 0\\(a^2 - 2ab + b^2) + (b^2 - 2bc + c^2) &= 0\\(a - b)^2 + (b - c)^2 &= 0\end{aligned}$
根据平方的非负性可知：$(a-b)^2≥0$，$(b-c)^2≥0$，两个非负数相加和为0，则两个非负数都为0，因此：
$a-b=0$，$b-c=0$，即$a=b$，$b=c$，可得$a=b=c$，故$△ ABC$为等边三角形。
【答案】
B
【知识点】
完全平方公式分解因式；非负数的性质；等边三角形判定
【点评】
本题属于因式分解和三角形判定的结合题型，解题核心是熟练掌握完全平方公式的结构特征，将原式合理分组转化为非负数和的形式，即可快速得到三边的等量关系。
【难度系数】
0.7