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10.（8分）已知$|x - 4| + (y - 9)^2 = 0$，求$(\frac{y - x}{y + x})^2 · \frac{x + y}{x^2 - 4xy + 4y^2} ÷ (\frac{x - y}{x - 2y})^2$的值。
答案
10. 解:原式$=\dfrac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \dfrac{x+y}{(x-2y)^2} · \dfrac{(x-2y)^2}{(x-y)^2} = \dfrac{1}{x+y}$.
$\because |x-4|+(y-9)^2=0,\therefore x-4=0,y-9=0$,解得$x=4,y=9$. $\therefore 原式=\dfrac{1}{4+9}=\dfrac{1}{13}$.
$\because |x-4|+(y-9)^2=0,\therefore x-4=0,y-9=0$,解得$x=4,y=9$. $\therefore 原式=\dfrac{1}{4+9}=\dfrac{1}{13}$.
解析
【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可分为两大步：第一步先化简分式，按照分式运算顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，同时对分子分母中可以因式分解的部分进行因式分解，再通过约分化为最简形式；第二步利用非负数的性质求x、y的值，因为绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，即可求出x、y的取值，最后代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{x^2 - 4xy + 4y^2} ÷ \frac{(x - y)^2}{(x - 2y)^2}\\&=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x+y}\end{aligned}$
再根据已知条件求x、y的值：
∵$|x-4|≥0$，$(y-9)^2≥0$，且$|x - 4| + (y - 9)^2 = 0$
∴$x-4=0$，$y-9=0$，解得$x=4$，$y=9$
将$x=4$，$y=9$代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{4+9}=\frac{1}{13}$
【答案】
$\dfrac{1}{13}$
【知识点】
非负数的性质、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题是典型的代数式求值类题目，核心是先化简再求值，既考查了分式运算的规则，也考查了非负数性质的应用，解题时要注意$(y-x)^2=(x-y)^2$的恒等变形，约分过程中不要遗漏因式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道分式化简求值题，解题可分为两大步：第一步先化简分式，按照分式运算顺序，先计算乘方，再将除法转化为乘法，同时对分子分母中可以因式分解的部分进行因式分解，再通过约分化为最简形式；第二步利用非负数的性质求x、y的值，因为绝对值和平方数都是非负数，两个非负数的和为0，则每个非负数都等于0，即可求出x、y的取值，最后代入化简后的式子计算结果即可。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(y-x)^2}{(y+x)^2} · \frac{x+y}{x^2 - 4xy + 4y^2} ÷ \frac{(x - y)^2}{(x - 2y)^2}\\&=\frac{(x-y)^2}{(x+y)^2} · \frac{x+y}{(x-2y)^2} · \frac{(x-2y)^2}{(x-y)^2}\\&=\frac{1}{x+y}\end{aligned}$
再根据已知条件求x、y的值：
∵$|x-4|≥0$，$(y-9)^2≥0$，且$|x - 4| + (y - 9)^2 = 0$
∴$x-4=0$，$y-9=0$，解得$x=4$，$y=9$
将$x=4$，$y=9$代入化简后的式子得：
$\mathrm{原式}=\frac{1}{4+9}=\frac{1}{13}$
【答案】
$\dfrac{1}{13}$
【知识点】
非负数的性质、分式的乘除运算、因式分解
【点评】
本题是典型的代数式求值类题目，核心是先化简再求值，既考查了分式运算的规则，也考查了非负数性质的应用，解题时要注意$(y-x)^2=(x-y)^2$的恒等变形，约分过程中不要遗漏因式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
11.(9分) 培养代数推理能力 小明同学计算完$-(\frac{m}{n})^{5}· (-\frac{n^{2}}{m})^{4}÷(-mn^{4})$后，说：“原式的值与m的取值无关.”你认为小明的说法正确吗？说说你的理由.
答案
11. 解:小明的说法正确.理由如下:原式$= -\dfrac{m^5}{n^5} · \dfrac{n^8}{m^4} · \dfrac{1}{-mn^4} = \dfrac{1}{n}$. $\therefore$原式的值与$m$的取值无关. $\therefore$小明的说法正确.
解析
【分析】
要判断原式的值是否与m的取值无关，核心思路是先对原式进行化简，若化简结果中不含字母m，则说明原式的值与m无关，反之则有关。解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，先根据幂的运算法则计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到最简结果，观察结果是否含m即可得出结论。
【解析】
小明的说法正确，理由如下：
先计算乘方运算：
$-(\frac{m}{n})^5 = -\frac{m^5}{n^5}$，$(-\frac{n^2}{m})^4 = \frac{(n^2)^4}{m^4} = \frac{n^8}{m^4}$
再将除法转化为乘法：除以$(-mn^4)$等价于乘以$\frac{1}{-mn^4}$，因此原式变形为：
$-\frac{m^5}{n^5} · \frac{n^8}{m^4} · \frac{1}{-mn^4}$
先确定符号：负×正×负=正，再对分子分母的公因式约分：
分子中m的总次数为5，分母中m的总次数为$4+1=5$，m约分得1；
分子中n的总次数为8，分母中n的总次数为$5+4=9$，约分得$\frac{1}{n}$；
最终化简结果为$\frac{1}{n}$，结果中不含字母m，因此原式的值与m的取值无关。
【答案】
小明的说法正确，原式化简后结果为$\frac{1}{n}$，不含字母m，故原式的值与m的取值无关。
【知识点】
分式的乘除运算，幂的运算法则，分式化简
【点评】
本题是分式运算的典型应用题型，解题关键是掌握分式混合运算的规则，准确完成化简，再根据化简结果判断代数式与某个字母的相关性，计算时要注意幂运算的符号判定和约分的准确性。
【难度系数】
0.7
要判断原式的值是否与m的取值无关，核心思路是先对原式进行化简，若化简结果中不含字母m，则说明原式的值与m无关，反之则有关。解题时遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘除，先根据幂的运算法则计算各分式的乘方，再将除法转化为乘法，最后通过约分得到最简结果，观察结果是否含m即可得出结论。
【解析】
小明的说法正确，理由如下：
先计算乘方运算：
$-(\frac{m}{n})^5 = -\frac{m^5}{n^5}$，$(-\frac{n^2}{m})^4 = \frac{(n^2)^4}{m^4} = \frac{n^8}{m^4}$
再将除法转化为乘法：除以$(-mn^4)$等价于乘以$\frac{1}{-mn^4}$，因此原式变形为：
$-\frac{m^5}{n^5} · \frac{n^8}{m^4} · \frac{1}{-mn^4}$
先确定符号：负×正×负=正，再对分子分母的公因式约分：
分子中m的总次数为5，分母中m的总次数为$4+1=5$，m约分得1；
分子中n的总次数为8，分母中n的总次数为$5+4=9$，约分得$\frac{1}{n}$；
最终化简结果为$\frac{1}{n}$，结果中不含字母m，因此原式的值与m的取值无关。
【答案】
小明的说法正确，原式化简后结果为$\frac{1}{n}$，不含字母m，故原式的值与m的取值无关。
【知识点】
分式的乘除运算，幂的运算法则，分式化简
【点评】
本题是分式运算的典型应用题型，解题关键是掌握分式混合运算的规则，准确完成化简，再根据化简结果判断代数式与某个字母的相关性，计算时要注意幂运算的符号判定和约分的准确性。
【难度系数】
0.7
12.(10分)老师在黑板上书写了一个式子及其正确计算结果，随后用手遮住了原式子的一部分，如图所示.求被手遮住的式子.
答案
12. 解:被手遮住的式子为$\dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} ÷ (-\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1})$
$=\dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} · [-\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}] = -\dfrac{x}{x+1}$.
$=\dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} · [-\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)}] = -\dfrac{x}{x+1}$.
解析
【分析】
设被手遮住的式子为$A$，根据乘除法的互逆关系，已知乘积和其中一个因数，求另一个因数用除法，即$A = 等式右侧结果 ÷ 除A外的另一部分运算式$。接下来将分式除法转化为乘法，再对分子分母的多项式因式分解，最后约分即可得到结果，解题时注意符号的处理。
【解析】
解：设被手遮住的式子为$A$，由题意得：
$A · ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x}{x+1} ) = \dfrac{x+1}{x-1}$
根据乘除互逆关系变形得：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} ÷ ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x}{x+1} )$
将除法统一转化为乘法：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} ÷ ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} )$
对多项式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入得：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} · ( -\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} )$
逐步约分化简：
先约去$x+1$，再约去分子分母中的$x-1$，最终得：
$A=-\dfrac{x}{x+1}$
【答案】
$\boxed{-\dfrac{x}{x+1}}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，乘除逆运算
【点评】
本题考查分式乘除运算的逆用，解题核心是先根据运算关系列出待求式，再结合因式分解化简，运算过程中要注意负号的处理，约分要彻底，避免出现符号错误或约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.6
设被手遮住的式子为$A$，根据乘除法的互逆关系，已知乘积和其中一个因数，求另一个因数用除法，即$A = 等式右侧结果 ÷ 除A外的另一部分运算式$。接下来将分式除法转化为乘法，再对分子分母的多项式因式分解，最后约分即可得到结果，解题时注意符号的处理。
【解析】
解：设被手遮住的式子为$A$，由题意得：
$A · ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x}{x+1} ) = \dfrac{x+1}{x-1}$
根据乘除互逆关系变形得：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} ÷ ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} ÷ \dfrac{x}{x+1} )$
将除法统一转化为乘法：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} ÷ ( -\dfrac{x^2-1}{x^2-2x+1} )$
对多项式因式分解：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，$x^2-2x+1=(x-1)^2$，代入得：
$A = \dfrac{x+1}{x-1} · \dfrac{x}{x+1} · ( -\dfrac{(x-1)^2}{(x+1)(x-1)} )$
逐步约分化简：
先约去$x+1$，再约去分子分母中的$x-1$，最终得：
$A=-\dfrac{x}{x+1}$
【答案】
$\boxed{-\dfrac{x}{x+1}}$
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，乘除逆运算
【点评】
本题考查分式乘除运算的逆用，解题核心是先根据运算关系列出待求式，再结合因式分解化简，运算过程中要注意负号的处理，约分要彻底，避免出现符号错误或约分不彻底的问题。
【难度系数】
0.6
13. (10分)已知$\frac{4}{m-1} · \frac{x^2 - 2x + 1}{x^2 - 1} ÷ \frac{2x - 2}{x + 1}$.
(1)当$m$为何值时，该式的值大于零？
(2)当$m$为何整数时，该式的值为正整数？
(1)当$m$为何值时，该式的值大于零？
(2)当$m$为何整数时，该式的值为正整数？
答案
13. 解:原式$= \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} ÷ \dfrac{2(x-1)}{x+1} = \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)} = \dfrac{2}{m-1}$.
(1)若该式的值大于零,则$m-1＞0$,解得$m＞1$.
(2)若该式的值为正整数,且$m$为整数,则$m-1=1$或$m-1=2$,解得$m=2$或$m=3$.
(1)若该式的值大于零,则$m-1＞0$,解得$m＞1$.
(2)若该式的值为正整数,且$m$为整数,则$m-1=1$或$m-1=2$,解得$m=2$或$m=3$.
解析
【分析】
解决这道题首先要先化简原式，利用分式乘除的运算法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，再对分子分母的多项式因式分解，约分后消去含x的项，得到仅和m有关的最简结果。第(1)问要求式子值大于0，由于最简式的分子是正数，只需保证分母也为正数，同时分母不能为0即可求解；第(2)问要求值为正整数且m为整数，说明最简式的分母是分子的正约数，找出分子的所有正约数就能求出对应的m值。
【解析】
首先化简原式：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} ÷ \dfrac{2(x-1)}{x+1} \\&= \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)} \\&= \dfrac{2}{m-1}\end{aligned}$
(1) 若该式的值大于零，因为分子$2＞0$，则分母$m-1＞0$，解得$m＞1$。
(2) 若该式的值为正整数，且$m$为整数，则$m-1$是2的正约数，即$m-1=1$或$m-1=2$，分别解得$m=2$或$m=3$。
【答案】
(1) $m＞1$；(2) $m=2$或$m=3$
【知识点】
分式的乘除运算；分式正负性判定；正整数解求解
【点评】
本题的关键是先正确化简分式，消去无关的x变量，将原式转化为仅含m的最简分式，再结合题目要求求解，解题时需注意分式分母不为0的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
解决这道题首先要先化简原式，利用分式乘除的运算法则：除以一个分式等于乘以它的倒数，再对分子分母的多项式因式分解，约分后消去含x的项，得到仅和m有关的最简结果。第(1)问要求式子值大于0，由于最简式的分子是正数，只需保证分母也为正数，同时分母不能为0即可求解；第(2)问要求值为正整数且m为整数，说明最简式的分母是分子的正约数，找出分子的所有正约数就能求出对应的m值。
【解析】
首先化简原式：
$\begin{aligned}原式&= \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} ÷ \dfrac{2(x-1)}{x+1} \\&= \dfrac{4}{m-1} · \dfrac{(x-1)^2}{(x-1)(x+1)} · \dfrac{x+1}{2(x-1)} \\&= \dfrac{2}{m-1}\end{aligned}$
(1) 若该式的值大于零，因为分子$2＞0$，则分母$m-1＞0$，解得$m＞1$。
(2) 若该式的值为正整数，且$m$为整数，则$m-1$是2的正约数，即$m-1=1$或$m-1=2$，分别解得$m=2$或$m=3$。
【答案】
(1) $m＞1$；(2) $m=2$或$m=3$
【知识点】
分式的乘除运算；分式正负性判定；正整数解求解
【点评】
本题的关键是先正确化简分式，消去无关的x变量，将原式转化为仅含m的最简分式，再结合题目要求求解，解题时需注意分式分母不为0的隐含条件，避免出现错解。
【难度系数】
0.7
