1.(4分)计算$x÷\frac{2x}{y}·\frac{1}{x}$的结果是（）

A.$\frac{y}{2x}$
B.$\frac{x}{y}$
C.$xy$
D.$2$

1. A

【分析】
这是一道分式乘除混合运算题，解题时需明确两点：第一，分式乘除属于同级运算，要严格按照从左到右的顺序计算，不可跳步先计算右侧的乘法，避免运算顺序错误；第二，计算分式除法时，要先转化为乘法，即除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，再按照分式乘法规则计算，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
分式乘除是同级运算，按从左到右顺序计算，先将除法转化为乘法：
原式=$x · \frac{y}{2x} · \frac{1}{x}$
将分子、分母分别相乘：
分子：$x · y · 1 = xy$
分母：$2x · x = 2x^2$
对所得分式约分，约去分子分母的公因式$x$：
$\frac{xy}{2x^2}=\frac{y}{2x}$
因此结果对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
分式乘除运算、分式约分
【点评】
本题属于基础运算题，考查分式乘除混合运算的规则，易错点是运算顺序错误，只要牢记同级运算从左到右的规则，掌握除法转乘法的方法和约分技巧就能正确求解。
【难度系数】
0.8

2. (4 分)下列运算正确的是 （）

A.$(-\dfrac{x^4}{y})^5 = \dfrac{x^{20}}{y^5}$
B.$(-\dfrac{y^3}{x^3})^2 = \dfrac{y^9}{x^6}$
C.$(\dfrac{y^2}{x})^3 = \dfrac{y^5}{x^3}$
D.$(\dfrac{3x}{x-y})^2 = \dfrac{9x^2}{(x-y)^2}$

2. D

【分析】
本题考查分式乘方的运算，解题思路为：首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方，同时结合负数幂的符号规律（奇次幂为负，偶次幂为正）、幂的乘方法则（底数不变，指数相乘）、积的乘方法则，逐一计算每个选项的结果，判断是否正确即可。
【解析】
根据分式乘方法则$(\frac{a}{b})^n=\frac{a^n}{b^n}$（$n$为正整数，$b≠0$），逐个分析选项：
选项A：$(-\frac{x^4}{y})^5$，负号的5次幂是奇次幂，结果为负，且$(x^4)^5=x^{4×5}=x^{20}$，$y^5$为分母，因此结果为$-\frac{x^{20}}{y^5}$，A运算错误。
选项B：$(-\frac{y^3}{x^3})^2$，负号的2次幂是偶次幂，结果为正，且$(y^3)^2=y^{3×2}=y^6$，$(x^3)^2=x^{3×2}=x^6$，因此结果为$\frac{y^6}{x^6}$，B运算错误。
选项C：$(\frac{y^2}{x})^3$，分子$(y^2)^3=y^{2×3}=y^6$，分母为$x^3$，因此结果为$\frac{y^6}{x^3}$，C运算错误。
选项D：$(\frac{3x}{x-y})^2$，分子$(3x)^2=3^2· x^2=9x^2$，分母为$(x-y)^2$，因此结果为$\frac{9x^2}{(x-y)^2}$，D运算正确。
【答案】
D
【知识点】
分式乘方运算；幂的乘方；积的乘方
【点评】
本题属于基础运算类题目，解题核心是熟练掌握分式乘方及相关幂运算的法则，计算时要注意判断符号、准确计算指数，避免出现符号错误、指数误相加等低级失误。
【难度系数】
0.8

3.(4分)计算$(-\dfrac{1}{a})^{3}· (-a^{4})$的结果是（）

A.$a$
B.$-a$
C.$\dfrac{1}{a}$
D.$-\dfrac{1}{a}$

3. A

【分析】
解决这道题需遵循分式混合运算的顺序：先算乘方，再算乘法，同时注意负号的运算规则和同底数幂的运算法则。第一步先根据分式乘方的规则计算$(-\dfrac{1}{a})^{3}$，第二步再计算与$-a^4$的乘积，计算过程中先确定符号，再处理幂的运算，最后约分得到结果。
【解析】
第一步：计算乘方$(-\dfrac{1}{a})^3$
根据分式乘方规则，分子分母分别乘方，且负数的奇次幂为负：
$(-\dfrac{1}{a})^3=\dfrac{(-1)^3}{a^3}=-\dfrac{1}{a^3}$
第二步：计算乘法$(-\dfrac{1}{a^3}) · (-a^4)$
首先确定符号：负负得正，符号为正；再计算幂的运算：
原式$=\dfrac{1}{a^3} · a^4 = a^{4-3}=a$
【答案】
A
【知识点】
1. 分式乘方运算
2. 分式乘法运算
3. 同底数幂运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考察分式相关的运算法则，解题时需注意运算顺序和符号的判断，避免因忽略负号或幂的运算规则出错，熟练掌握运算法则即可快速解题。
【难度系数】
0.8

4.(4分)计算$\frac{64 - a^2}{a^2 + 6a + 9} ÷ \frac{a - 8}{2a + 6} · \frac{a + 3}{a + 8}$的结果为（）

A.$\frac{1}{2}$
B.$1$
C.$-1$
D.$-2$

4. D

【分析】
解决分式乘除混合运算问题，思路如下：第一步先根据除法运算法则，将所有除法转化为乘法，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；第二步对每个分式的分子、分母进行因式分解，方便后续约分；第三步将所有分子的乘积作为结果的分子，所有分母的乘积作为结果的分母，约去全部公因式后即可得到最简结果，过程中要注意含平方差形式的因式变形时的符号处理。
【解析】
首先将除法转化为乘法，再对各部分因式分解：
原式$=\frac{64 - a^2}{a^2 + 6a + 9} × \frac{2a + 6}{a - 8} × \frac{a + 3}{a + 8}$
其中：
$64-a^2=(8-a)(8+a)=-(a-8)(a+8)$，
$a^2+6a+9=(a+3)^2$，
$2a+6=2(a+3)$，
代入原式得：
$=\frac{-(a-8)(a+8)}{(a+3)^2} × \frac{2(a+3)}{a-8} × \frac{a+3}{a+8}$
约去分子分母的公因式$(a-8)、(a+8)、(a+3)^2$后，可得结果为$-2$。
【答案】
D
【知识点】
分式乘除运算，因式分解，乘法公式
【点评】
本题属于分式运算的常规题型，核心考查分式乘除混合运算的运算顺序和因式分解的熟练度，解题时需重点注意平方差因式变形时的符号变化，避免因符号疏忽导致计算错误。
【难度系数】
0.6

5.(5分)计算：
(1)$(\dfrac{2a}{b})^2 = \dfrac{(\quad)^2}{b^2} = \_\_\_\_\_\_$；
(2)$(\dfrac{3y}{-2x})^3 = \dfrac{(\quad)^3}{(\quad)^3} = \_\_\_\_\_\_$。

(1) 2a $\dfrac{4a^2}{b^2}$ (2) 3y $-2x$ $-\dfrac{27y^3}{8x^3}$

【分析】
解题时首先回忆分式乘方的运算法则：分式乘方，需要把分子、分母分别进行乘方运算。计算时要注意两点：一是分子分母中的系数也要参与乘方运算，二是负数的奇次幂结果为负，偶次幂结果为正。
对于第(1)题，是分式的平方运算，直接将分子2a、分母b分别平方，再化简分子的积的乘方即可；对于第(2)题，是分式的立方运算，先将分子3y、分母-2x分别立方，再计算各自的乘方结果，最后化简符号得到最终答案。
【解析】
(1) 根据分式乘方法则，$(\dfrac{2a}{b})^2 = \dfrac{(2a)^2}{b^2}$，再计算分子的积的乘方：$(2a)^2=2^2 · a^2=4a^2$，因此结果为$\dfrac{4a^2}{b^2}$。
(2) 根据分式乘方法则，$(\dfrac{3y}{-2x})^3 = \dfrac{(3y)^3}{(-2x)^3}$，分别计算分子和分母的乘方：$(3y)^3=3^3 · y^3=27y^3$，$(-2x)^3=(-2)^3 · x^3=-8x^3$，因此原式$=\dfrac{27y^3}{-8x^3}=-\dfrac{27y^3}{8x^3}$。
【答案】
(1) $2a$；$\dfrac{4a^2}{b^2}$
(2) $3y$；$-2x$；$-\dfrac{27y^3}{8x^3}$
【知识点】
1. 分式乘方法则
2. 积的乘方运算
3. 乘方符号规则
【点评】
本题属于分式乘方的基础运算题，核心考查对分式乘方法则的理解与应用，做题时需要注意不要遗漏系数的乘方，同时要准确判断负数乘方的符号，是巩固基础运算能力的典型习题。
【难度系数】
0.8

6.(4分)化简$\frac{x-y}{x+y} ÷ (y-x) · \frac{1}{x-y}$的结果是。

6. $\dfrac{1}{y^2 - x^2}$

【分析】
本题属于分式乘除混合运算题，解题思路如下：1. 明确分式乘除是同级运算，需严格按照从左到右的顺序计算，不可优先计算后两项的乘法；2. 先将除法运算转化为乘法运算，除以一个整式等于乘以这个整式的倒数；3. 注意到y-x与x-y互为相反数，可将y-x变形为-(x-y)，方便后续约分；4. 分子分母分别相乘后约去公因式，最终整理为最简分式即可。
【解析】
按照分式乘除运算规则计算：
第一步，将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x-y}{x+y} · \frac{1}{y-x} · \frac{1}{x-y}$
第二步，变形互为相反数的因式：$y-x=-(x-y)$，代入得：
原式$=\frac{x-y}{x+y} · \frac{1}{-(x-y)} · \frac{1}{x-y}$
第三步，约去分子分母的公因式$x-y$：
原式$=\frac{1}{x+y} · \frac{1}{-1} · \frac{1}{x-y}$
第四步，分子分母分别相乘整理：
原式$=-\frac{1}{(x+y)(x-y)}=-\frac{1}{x^2-y^2}=\frac{1}{y^2-x^2}$
【答案】
$\dfrac{1}{y^2 - x^2}$
【知识点】
分式乘除运算，分式约分，相反数的因式变形
【点评】
本题重点考查分式乘除混合运算的规则，易错点是运算顺序错误、处理互为相反数的因式时符号出错，解题时先将所有除法统一为乘法，再进行约分计算能有效降低错误率。
【难度系数】
0.7

7.(4分)若$2x=3y$,则计算$(\dfrac{x}{y})^{3}÷(-\dfrac{3x}{y})^{2}·\dfrac{6x}{y}$的结果为。

7. $\dfrac{3}{2}$

【分析】
首先观察所求代数式的结构，所有项均以$\frac{x}{y}$为基本单元，因此第一步可从已知条件$2x=3y$求出$\frac{x}{y}$的值；其次按照分式运算的顺序，先算乘方，再将除法转化为乘法后约分化简代数式，最后将$\frac{x}{y}$的值代入化简后的式子计算即可得到结果，用整体代入的方法可以避免单独设x或y代入的复杂计算。
【解析】
解：由$2x=3y$且原式中$y≠0$，两边同时除以$2y$可得：$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$
先化简代数式：
$\begin{aligned}(\frac{x}{y})^3÷(-\frac{3x}{y})^2·\frac{6x}{y}&=\frac{x^3}{y^3}÷\frac{9x^2}{y^2}·\frac{6x}{y}\\&=\frac{x^3}{y^3}×\frac{y^2}{9x^2}×\frac{6x}{y}\\&=\frac{x^3· y^2·6x}{y^3·9x^2· y}\\&=\frac{6x^4y^2}{9x^2y^4}\\&=\frac{2}{3}·(\frac{x}{y})^2\end{aligned}$
将$\frac{x}{y}=\frac{3}{2}$代入上式：
$\frac{2}{3}×(\frac{3}{2})^2=\frac{2}{3}×\frac{9}{4}=\frac{3}{2}$
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
分式乘除运算；代数式化简求值；幂的运算
【点评】
本题考查分式的混合运算，解题时优先观察代数式结构，采用整体代入的思想可简化计算过程，运算时要注意先算乘方，再按从左到右的顺序计算乘除，约分过程中要注意不要出现计算错误。
【难度系数】
0.7

8.(4分)现有A，B两个圆，A圆的半径为$\frac{a^2}{2b}$（$a＞6$），B圆的半径为$\frac{3a}{b}$，则A圆的面积是B圆面积的________倍。

$\dfrac{a^2}{36}$

【分析】
要计算A圆面积是B圆面积的几倍，首先明确圆的面积公式为$S=π r^2$，因此两个圆的面积比等于半径平方的比。解题时先写出面积比的表达式，消去公共项$π$后代入两个圆的半径，再按照分式的乘除运算法则化简即可得到结果。
【解析】
根据圆的面积公式$S=π r^2$，可得A圆面积与B圆面积的比值为：
$\frac{S_A}{S_B}=\frac{π r_A^2}{π r_B^2}=(\frac{r_A}{r_B})^2$
将$r_A=\frac{a^2}{2b}$，$r_B=\frac{3a}{b}$代入上式：
$(\frac{\frac{a^2}{2b}}{\frac{3a}{b}})^2$
先计算括号内的分式除法：除以一个分式等于乘以它的倒数，约分后得：
$\frac{a^2}{2b}×\frac{b}{3a}=\frac{a}{6}$
再对结果平方：
$(\frac{a}{6})^2=\frac{a^2}{36}$
【答案】
$\dfrac{a^2}{36}$
【知识点】
圆的面积公式、分式的乘除运算、分式约分
【点评】
本题是几何公式和分式运算的结合题型，解题核心是掌握圆的面积比等于半径平方比的规律，计算过程中注意分式约分的规则，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

9.(20分)计算:
(1) $\frac{a+2}{a^2 -1} · \frac{a-1}{a^2 +4a +4} ÷ \frac{1}{a+2}$;
(2) $(-\frac{2a}{b^2})^3 ÷ (-\frac{4a}{b})^2$;
(3) $(\frac{a - b}{b})^2 · \frac{b}{a^2 - b^2} ÷ \frac{1}{b}$;
(4) $\frac{x^2 +4x +4}{x^3 +2x^2 +x} ÷ (\frac{x -1}{x} · \frac{x +2}{x +1})$.

9. 解:(1)原式$=\dfrac{a+2}{(a+1)(a-1)} · \dfrac{a-1}{(a+2)^2} · (a+2) = \dfrac{1}{a+1}$.
(2)原式$= -\dfrac{8a^3}{b^6} · \dfrac{b^2}{16a^2} = -\dfrac{a}{2b^4}$.
(3)原式$= \dfrac{(a-b)^2}{b^2} · \dfrac{b}{(a-b)(a+b)} · b = \dfrac{a-b}{a+b}$.
(4)原式$= \dfrac{(x+2)^2}{x(x^2+2x+1)} ÷ \dfrac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)} = \dfrac{(x+2)^2}{x(x+1)^2} · \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+2)} = \dfrac{x+2}{(x+1)(x-1)}$.

【分析】
解决分式乘除混合运算类题目，通用思考步骤为：
1. 运算转化：遇到除法运算，根据“除以一个分式等于乘以这个分式的倒数”，把所有除法统一为乘法运算；
2. 因式分解：将每个分式的分子、分母中能因式分解的多项式，用提公因式法、公式法（平方差、完全平方公式）分解成因式乘积的形式；
3. 约分消元：找出分子和分母中的公因式全部约去；
4. 结果化简：将约分后剩余的分子相乘作结果的分子，剩余的分母相乘作结果的分母，确保最终结果是最简分式（或整式）。
每小问均按上述步骤执行即可，有乘方的先计算乘方，有括号的先算括号内的运算。
【解析】
(1) 先因式分解多项式，将除法转化为乘法：
原式$=\dfrac{a+2}{(a+1)(a-1)} · \dfrac{a-1}{(a+2)^2} · (a+2)$
约去分子分母的公因式$(a-1)$、$(a+2)$，得：
$=\dfrac{1}{a+1}$
(2) 先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$= -\dfrac{8a^3}{b^6} ÷ \dfrac{16a^2}{b^2} = -\dfrac{8a^3}{b^6} · \dfrac{b^2}{16a^2}$
约去公因式$8a^2b^2$，得：
$= -\dfrac{a}{2b^4}$
(3) 先计算乘方，因式分解$a^2-b^2$，再将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(a-b)^2}{b^2} · \dfrac{b}{(a-b)(a+b)} · b$
约去公因式$b^2$、$(a-b)$，得：
$= \dfrac{a-b}{a+b}$
(4) 先计算括号内的乘法，再因式分解多项式，将除法转化为乘法：
原式$= \dfrac{(x+2)^2}{x(x+1)^2} ÷ \dfrac{(x-1)(x+2)}{x(x+1)} = \dfrac{(x+2)^2}{x(x+1)^2} · \dfrac{x(x+1)}{(x-1)(x+2)}$
约去公因式$x(x+1)(x+2)$，得：
$= \dfrac{x+2}{(x+1)(x-1)}$
【答案】
(1) $\dfrac{1}{a+1}$；(2) $-\dfrac{a}{2b^4}$；(3) $\dfrac{a-b}{a+b}$；(4) $\dfrac{x+2}{(x+1)(x-1)}$（或$\dfrac{x+2}{x^2-1}$）
【知识点】
分式乘除混合运算，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式乘除混合运算的规则应用，解题核心是先统一运算为乘法，再对多项式正确因式分解后约分，计算时要注意乘方的符号、系数运算，最终结果需化为最简形式，属于分式运算的基础巩固题型。
【难度系数】
0.7