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9.(12分)请先从①$\frac{x}{x+1}$；②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$；③$\frac{x^2 - 2x + 1}{x}$中选取两个式子相乘并化简，再从$-1,1,2$中选择合适的数代入求值。
答案
解:选取①$\frac{x}{x+1}$,②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$两个式子相乘,即$\frac{x}{x+1} · \frac{x^2 + x}{x^2 - 1} = \frac{x}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)} = \frac{x^2}{x^2 - 1}$. 当$x=2$时,$\frac{x^2}{x^2 - 1} = \frac{2^2}{2^2 - 1} = \frac{4}{3}$.(答案不唯一)
解析
【分析】
解题可按三步思考：第一步，从三个式子中任选两个，根据分式乘法的运算规则，先将两个式子的分子、分母中能因式分解的部分分解因式，再通过约分化为最简分式；第二步，明确代入的x需满足所有参与运算的原分式分母不为0，因此先排除给定数值中会使分母为0的数，选出合法的x值；第三步，将合法的x代入化简后的式子计算结果即可，注意本题选择不同的式子组合会得到不同的结果，只要运算正确均符合要求。
【解析】
解：选取①$\frac{x}{x+1}$和②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$两个式子相乘，运算如下：
$\frac{x}{x+1} · \frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$
$= \frac{x}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^2}{x^2 - 1}$
要使原式有意义，则$x+1≠0$且$x^2 -1≠0$，即$x≠±1$，因此从$-1,1,2$中只能选$x=2$代入：
当$x=2$时，原式$= \frac{2^2}{2^2 - 1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$
（选择其他式子组合运算正确也可）
【答案】
选取①②相乘化简得$\frac{x^2}{x^2 - 1}$，当$x=2$时，值为$\frac{4}{3}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘法运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，既考查分式乘法的运算能力，也需要学生注意代入求值前要先保证所有原分式有意义，不能仅参考化简后的式子确定x的取值，解题时注意细节即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
解题可按三步思考：第一步，从三个式子中任选两个，根据分式乘法的运算规则，先将两个式子的分子、分母中能因式分解的部分分解因式，再通过约分化为最简分式；第二步，明确代入的x需满足所有参与运算的原分式分母不为0，因此先排除给定数值中会使分母为0的数，选出合法的x值；第三步，将合法的x代入化简后的式子计算结果即可，注意本题选择不同的式子组合会得到不同的结果，只要运算正确均符合要求。
【解析】
解：选取①$\frac{x}{x+1}$和②$\frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$两个式子相乘，运算如下：
$\frac{x}{x+1} · \frac{x^2 + x}{x^2 - 1}$
$= \frac{x}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^2}{(x+1)(x-1)}$
$= \frac{x^2}{x^2 - 1}$
要使原式有意义，则$x+1≠0$且$x^2 -1≠0$，即$x≠±1$，因此从$-1,1,2$中只能选$x=2$代入：
当$x=2$时，原式$= \frac{2^2}{2^2 - 1} = \frac{4}{4-1} = \frac{4}{3}$
（选择其他式子组合运算正确也可）
【答案】
选取①②相乘化简得$\frac{x^2}{x^2 - 1}$，当$x=2$时，值为$\frac{4}{3}$（答案不唯一）
【知识点】
分式的乘法运算；分式有意义的条件；因式分解
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，既考查分式乘法的运算能力，也需要学生注意代入求值前要先保证所有原分式有意义，不能仅参考化简后的式子确定x的取值，解题时注意细节即可顺利得分。
【难度系数】
0.7
10.(14分)(教材P147例3变式)有甲、乙两筐水果,甲筐水果重$(x-1)^2$kg,乙筐水果重$(x^2-1)$kg$(x＞1)$,全部售完后,两筐水果都卖了50元.
(1)哪筐水果每千克的价格低?
(2)价格高的水果的单价是价格低的水果的单价的多少倍?
(1)哪筐水果每千克的价格低?
(2)价格高的水果的单价是价格低的水果的单价的多少倍?
答案
10. 解:(1)甲筐水果每千克的价格为$\frac{50}{(x-1)^2}$元,乙筐水果每千克的价格为$\frac{50}{x^2 - 1}$元. $\because x＞1$,$\therefore (x-1)^2 - (x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 1 = -2(x-1)＜0$,即$(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$. $\therefore 0＜(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$. $\therefore \frac{50}{x^2 - 1} ＜ \frac{50}{(x-1)^2}$. $\therefore$乙筐水果每千克的价格低. (2) $\because \frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2 - 1} = \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$,$\therefore$价格高的水果的单价是价格低的水果的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍.
解析
【分析】
解决本题首先明确解题思路：第(1)问要比较两筐水果的单价，首先根据“单价=总售价÷总质量”分别表示出两筐水果的单价，两个单价的分子相同均为正数，因此只需比较分母的大小即可，比较两个代数式的大小可采用作差法，结合已知x＞1的条件判断差的正负，就能得出分母的大小关系，进而得到单价的大小关系。第(2)问求单价的倍数关系，直接用单价高的除以单价低的，根据分式除法法则将除法转化为乘法，因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 甲筐水果每千克的价格为$\frac{50}{(x-1)^2}$元，乙筐水果每千克的价格为$\frac{50}{x^2 - 1}$元。
$\because x＞1$，
$\therefore (x-1)^2 - (x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 1 = -2(x-1)＜0$，
即$(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$，
$\therefore 0＜(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$。
根据分子为正的分数，分母越大分数值越小，可得$\frac{50}{x^2 - 1} ＜ \frac{50}{(x-1)^2}$，
$\therefore$乙筐水果每千克的价格低。
(2) 价格高的是甲筐单价，价格低的是乙筐单价，求倍数列式为：
$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2 - 1} = \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$，
$\therefore$价格高的水果的单价是价格低的水果的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。
【答案】
(1) 乙筐水果每千克的价格低；
(2) $\frac{x+1}{x-1}$倍
【知识点】
分式的实际应用，作差法比较大小，分式的乘除运算
【点评】
本题结合生活场景考查分式的相关运算，解题关键是正确列出单价的表达式，熟练运用作差法比较代数式大小、分式乘除运算法则求解，侧重对基础运算能力和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解决本题首先明确解题思路：第(1)问要比较两筐水果的单价，首先根据“单价=总售价÷总质量”分别表示出两筐水果的单价，两个单价的分子相同均为正数，因此只需比较分母的大小即可，比较两个代数式的大小可采用作差法，结合已知x＞1的条件判断差的正负，就能得出分母的大小关系，进而得到单价的大小关系。第(2)问求单价的倍数关系，直接用单价高的除以单价低的，根据分式除法法则将除法转化为乘法，因式分解后约分即可得到结果。
【解析】
(1) 甲筐水果每千克的价格为$\frac{50}{(x-1)^2}$元，乙筐水果每千克的价格为$\frac{50}{x^2 - 1}$元。
$\because x＞1$，
$\therefore (x-1)^2 - (x^2 - 1) = x^2 - 2x + 1 - x^2 + 1 = -2(x-1)＜0$，
即$(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$，
$\therefore 0＜(x-1)^2 ＜ x^2 - 1$。
根据分子为正的分数，分母越大分数值越小，可得$\frac{50}{x^2 - 1} ＜ \frac{50}{(x-1)^2}$，
$\therefore$乙筐水果每千克的价格低。
(2) 价格高的是甲筐单价，价格低的是乙筐单价，求倍数列式为：
$\frac{50}{(x-1)^2} ÷ \frac{50}{x^2 - 1} = \frac{50}{(x-1)^2} · \frac{(x+1)(x-1)}{50} = \frac{x+1}{x-1}$，
$\therefore$价格高的水果的单价是价格低的水果的单价的$\frac{x+1}{x-1}$倍。
【答案】
(1) 乙筐水果每千克的价格低；
(2) $\frac{x+1}{x-1}$倍
【知识点】
分式的实际应用，作差法比较大小，分式的乘除运算
【点评】
本题结合生活场景考查分式的相关运算，解题关键是正确列出单价的表达式，熟练运用作差法比较代数式大小、分式乘除运算法则求解，侧重对基础运算能力和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
11.(10分)(通辽科尔沁期末)(1)计算:$(a+2)(a^2-2a+4)= \_\_\_\_\_\_$;$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)= \_\_\_\_\_\_$.
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,你又发现一个新的乘法公式,请用含$a,b$的字母表示:________.
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是________.
A.$(a+3)(a^2-3a+9)$
B.$(2m+n)(2m^2+2mn+n^2)$
C.$(4-x)(16+4x-x^2)$
D.$(m-n)(m^2+2mn+n^2)$
(4)利用所学知识以及(2)所得等式,化简
(2)上面的整式乘法计算结果很简洁,你又发现一个新的乘法公式,请用含$a,b$的字母表示:________.
(3)下列各式能用你发现的乘法公式计算的是________.
A.$(a+3)(a^2-3a+9)$
B.$(2m+n)(2m^2+2mn+n^2)$
C.$(4-x)(16+4x-x^2)$
D.$(m-n)(m^2+2mn+n^2)$
(4)利用所学知识以及(2)所得等式,化简
答案
11. 解:(1)$a^3+8$ $8x^3+y^3$ (2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$ (3) A (4) 原式$=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} · \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)} = m-n$.
解析
【分析】
(1)按照多项式乘多项式的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘再合并同类项，即可得到计算结果；
(2)观察(1)中两个整式乘法的式子结构，找出规律，将特殊的系数替换为字母a、b，即可总结出新的乘法公式；
(3)对照总结出的立方和公式的结构特征，逐一判断各选项是否符合公式形式即可；
(4)先将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式对分子分母分别因式分解，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2-2a+4)$：
展开得$a· a^2 +a· (-2a)+a·4 +2· a^2 +2· (-2a)+2×4 = a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8$，合并同类项后得$a^3+8$；
计算$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$：
展开得$2x·4x^2 +2x·(-2xy)+2x· y^2 +y·4x^2 +y·(-2xy)+y· y^2=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3$，合并同类项后得$8x^3+y^3$。
(2) 观察上述两个式子的结构，左边为两数和乘两数的平方和减两数的积，右边为两数的立方和，归纳得公式：$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$。
(3) 对照立方和公式逐一判断：
A选项：$(a+3)(a^2-3a+9)$完全符合$(a+b)(a^2-ab+b^2)$的结构，可使用公式计算；
B选项：第二个因式应为$4m^2-2mn+n^2$才符合公式，不符合要求；
C选项：第二个因式应为$16+4x+x^2$才符合公式，不符合要求；
D选项：是两数差的形式，不符合立方和公式的结构，不符合要求；
故选A。
(4) 化简代数式：
首先将除法转化为乘法，得：
原式$=\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} · \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$
对各部分因式分解：$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} · \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约分化简：约去公因式$m^2-mn+n^2$、$m+n$、$m-n$，最终得$m-n$。
【答案】
(1)$a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)A
(4)$m-n$
【知识点】
立方和公式；因式分解；分式乘除运算
【点评】
本题从特殊整式乘法运算出发推导立方和公式，再将公式应用到分式化简中，既考查了整式运算、公式归纳的能力，也考查了因式分解、分式运算的基础技能，需要学生熟练掌握代数运算的基本规则，具备从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
(1)按照多项式乘多项式的运算法则，将两个多项式的每一项分别相乘再合并同类项，即可得到计算结果；
(2)观察(1)中两个整式乘法的式子结构，找出规律，将特殊的系数替换为字母a、b，即可总结出新的乘法公式；
(3)对照总结出的立方和公式的结构特征，逐一判断各选项是否符合公式形式即可；
(4)先将分式除法转化为分式乘法（除以一个分式等于乘这个分式的倒数），再利用立方和公式、平方差公式、完全平方公式对分子分母分别因式分解，最后约分化简即可得到结果。
【解析】
(1) 计算$(a+2)(a^2-2a+4)$：
展开得$a· a^2 +a· (-2a)+a·4 +2· a^2 +2· (-2a)+2×4 = a^3-2a^2+4a+2a^2-4a+8$，合并同类项后得$a^3+8$；
计算$(2x+y)(4x^2-2xy+y^2)$：
展开得$2x·4x^2 +2x·(-2xy)+2x· y^2 +y·4x^2 +y·(-2xy)+y· y^2=8x^3-4x^2y+2xy^2+4x^2y-2xy^2+y^3$，合并同类项后得$8x^3+y^3$。
(2) 观察上述两个式子的结构，左边为两数和乘两数的平方和减两数的积，右边为两数的立方和，归纳得公式：$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$。
(3) 对照立方和公式逐一判断：
A选项：$(a+3)(a^2-3a+9)$完全符合$(a+b)(a^2-ab+b^2)$的结构，可使用公式计算；
B选项：第二个因式应为$4m^2-2mn+n^2$才符合公式，不符合要求；
C选项：第二个因式应为$16+4x+x^2$才符合公式，不符合要求；
D选项：是两数差的形式，不符合立方和公式的结构，不符合要求；
故选A。
(4) 化简代数式：
首先将除法转化为乘法，得：
原式$=\frac{m^3+n^3}{m^2-mn+n^2} · \frac{m^2-2mn+n^2}{m^2-n^2}$
对各部分因式分解：$m^3+n^3=(m+n)(m^2-mn+n^2)$，$m^2-2mn+n^2=(m-n)^2$，$m^2-n^2=(m+n)(m-n)$，代入得：
原式$=\frac{(m+n)(m^2-mn+n^2)}{m^2-mn+n^2} · \frac{(m-n)^2}{(m+n)(m-n)}$
约分化简：约去公因式$m^2-mn+n^2$、$m+n$、$m-n$，最终得$m-n$。
【答案】
(1)$a^3+8$；$8x^3+y^3$
(2)$(a+b)(a^2-ab+b^2)=a^3+b^3$
(3)A
(4)$m-n$
【知识点】
立方和公式；因式分解；分式乘除运算
【点评】
本题从特殊整式乘法运算出发推导立方和公式，再将公式应用到分式化简中，既考查了整式运算、公式归纳的能力，也考查了因式分解、分式运算的基础技能，需要学生熟练掌握代数运算的基本规则，具备从特殊到一般的归纳思维。
【难度系数】
0.7
