1.(4分)计算$\frac{3xy^2}{4z^2} · \frac{8z^3}{y}$的结果为 （）

A.$6xyz$
B.$12xyz$
C.$-6xyz$
D.$6x^2yz$

1. A

【分析】
这是一道分式乘法的基础计算题，解题思路如下：首先回忆分式乘法的运算规则：分式乘分式，用分子的乘积作为积的分子，分母的乘积作为积的分母；得到乘积形式后，再对分子分母进行约分，约去公因式：先算系数的最大公约数约分，再对相同字母按照同底数幂的运算规则约分，最终得到最简结果后对应选项选择即可。
【解析】
根据分式乘法法则计算：
$\begin{aligned}\frac{3xy^2}{4z^2} · \frac{8z^3}{y} &= \frac{3xy^2 · 8z^3}{4z^2 · y} \\&= \frac{24xy^2z^3}{4yz^2} \\&= 6x · y^{2-1} · z^{3-2} \\&= 6xyz\end{aligned}$
因此答案选A。
【答案】
A
【知识点】
分式的乘法、约分、同底数幂的运算
【点评】
本题是基础运算类题目，主要考查分式乘法的计算能力，解题的核心是熟练掌握分式乘法法则和约分的方法，计算时注意分别处理系数和相同字母的幂次，细心计算即可得分。
【难度系数】
0.9

2.(4分)使$\frac{x-2}{x+1}÷\frac{x+3}{x-4}$有意义的条件是()

A.$x≠-1$且$x≠4$
B.$x≠-1$且$x≠-3$
C.$x≠-1$且$x≠-3$且$x≠4$
D.$x≠-1$且$x≠2$且$x≠-3$且$x≠4$

2. C

【分析】
要使分式的除法运算有意义，需同时满足两个规则：一是所有参与运算的分式本身要有意义，即分式的分母不能为0；二是除法运算中的除数不能为0。解题时我们只需要依次找出所有分母、除数的分子，分别令它们不等于0，求解出x的限制范围，再合并所有限制条件即可得到答案。
【解析】
根据分式有意义的条件和除法运算的规则，对$\frac{x-2}{x+1}÷\frac{x+3}{x-4}$逐一分析限制条件：
1. 第一个分式$\frac{x-2}{x+1}$的分母为$x+1$，需满足$x+1≠0$，解得$x≠-1$；
2. 除式$\frac{x+3}{x-4}$本身要有意义，其分母为$x-4$，需满足$x-4≠0$，解得$x≠4$；
3. 除法运算中除数不能为0，即$\frac{x+3}{x-4}≠0$，因此除式的分子$x+3≠0$，解得$x≠-3$。
将所有限制条件合并，得$x≠-1$且$x≠-3$且$x≠4$，对应选项C。
【答案】
C
【知识点】
分式有意义的条件；分式除法运算
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，考查学生对分式有意义条件和除法运算规则的掌握，易错点是容易遗漏除式的分母不为0或者除式本身不为0的限制条件，解题时要逐一排查所有可能使式子无意义的情况，避免漏解。
【难度系数】
0.7

3.(4分)若分式$\frac{x-1}{x^2 - ◯} · \frac{x+2}{x}$可以进行约分化简，则“$◯$”不可以是（）

A.1
B.$x$
C.$2x$
D.$4$

3. C

【分析】
要判断分式能否约分化简，核心是看两个分式相乘后的分子与分母是否存在公因式。先计算两个分式的乘积：分子为$(x-1)(x+2)$，分母为$x · (x^2 - ◯)$，因此只需将各选项的数值代入$◯$，对$x^2 - ◯$因式分解，判断是否存在与分子$(x-1)(x+2)$或分母中$x$相同的因式即可，若不存在公因式则是本题要选的答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 当$◯=1$时，$x^2 - 1 = (x-1)(x+1)$，此时分母含因式$x-1$，分子也含因式$x-1$，存在公因式$x-1$，可以约分，不符合题意；
B. 当$◯=x$时，$x^2 - x = x(x-1)$，此时分母含因式$x-1$，分子也含因式$x-1$，存在公因式$x-1$，可以约分，不符合题意；
C. 当$◯=2x$时，$x^2 - 2x = x(x-2)$，此时分母的因式为$x、x-2$，分子的因式为$x-1、x+2$，分子分母无公因式，不能约分，符合题意；
D. 当$◯=4$时，$x^2 - 4 = (x+2)(x-2)$，此时分母含因式$x+2$，分子也含因式$x+2$，存在公因式$x+2$，可以约分，不符合题意。
综上，“$◯$”不可以是$2x$。
【答案】
C
【知识点】
分式约分条件，因式分解，分式乘法法则
【点评】
本题考查分式约分的应用，解题关键是明确约分的前提是分子分母存在公因式，结合因式分解逐一验证选项即可，注意不要遗漏公因式的可能情况。
【难度系数】
0.7

4. (4分) 创设游戏情境 数学老师在课堂上设计了一个接力游戏,用合作的方式完成分式化简,规则如下:老师写一道分式除法算式并传给甲,之后每人只能看到前一人给的式子,并进行一步计算,再将计算结果传递给下一人,最后完成化简,计算过程如图所示.下列对甲、乙、丙三人的接力过程判断正确的是 ()
老师：$\frac{x^2}{x-2} ÷ \frac{x^2 - x}{2 - x}$ 甲：$\frac{x^2}{x-2} · \frac{2 - x}{x^2 - x}$ 乙：$\frac{x^2}{x-2} · \frac{x - 2}{x(x - 1)}$ 丙：$\frac{x}{x - 1}$

A.三个人都正确
B.甲有错误
C.乙有错误
D.丙有错误

4. C

【分析】
解题时先回忆分式乘除的运算规则：首先判断甲的步骤，分式除法要转化为乘法，即除以一个分式等于乘它的倒数，验证甲的变形是否正确；接下来判断乙的步骤，先对分子分母因式分解，还要注意2-x和x-2互为相反数，变形时要带负号，验证乙的变形是否正确；最后判断丙的步骤，看约分是否符合规则，最终确定错误的步骤选出答案。
【解析】
我们依次判断三人的计算是否正确：
1. 判断甲的步骤：根据分式除法法则，除以一个分式等于乘以这个分式的倒数，原式$\frac{x^2}{x-2} ÷ \frac{x^2 - x}{2 - x}$可变形为$\frac{x^2}{x-2} · \frac{2 - x}{x^2 - x}$，因此甲的计算正确。
2. 判断乙的步骤：首先对分母$x^2-x$因式分解得$x(x-1)$，该部分变形正确；但$2-x = -(x-2)$，乙将分子的$2-x$直接改写为$x-2$，遗漏了负号，因此乙的计算错误。
3. 判断丙的步骤：对于乙给出的式子$\frac{x^2}{x-2} · \frac{x - 2}{x(x - 1)}$，约去分子分母的公因式$x$和$x-2$，可得$\frac{x}{x-1}$，因此丙在乙给出的式子基础上计算正确。
综上，接力过程中乙有错误，故选C。
【答案】
C
【知识点】
分式除法法则，分式约分，因式分解
【点评】
本题考查分式乘除运算的基础流程，易错点是互为相反数的多项式变形时容易遗漏负号，掌握分式运算的基本规则、注意符号变化是解决这类题的核心。
【难度系数】
0.7

5.(6分)计算:
(1)$(-2x^3z)·(-\dfrac{3y^2}{4xz^2})=$;
(2)$\dfrac{2x-6}{x^2-9}÷\dfrac{x-3}{x+3}=$.

5. (1) $\frac{3x^2 y^2}{2z}$ (2) $\frac{2}{x-3}$

【分析】
本题考查分式的乘除运算，解题思路如下：
(1) 进行分式乘法运算时，先确定积的符号（负负得正），再分别计算系数的乘积、相同字母的幂运算，最后约分化为最简分式即可；
(2) 进行分式除法运算时，先依据除法法则将除法转化为乘法，再对分子、分母中的多项式因式分解，最后约去公因式得到最简结果。
【解析】
(1) 计算$(-2x^3z)·(-\dfrac{3y^2}{4xz^2})$：
首先确定符号：两个负因式相乘，结果为正；
再计算系数乘积：$2×\dfrac{3}{4}=\dfrac{3}{2}$；
处理字母部分：$x^3÷ x = x^{2}$，$z÷ z^2=\dfrac{1}{z}$，$y^2$保留；
合并结果得：$\dfrac{3}{2}× x^2y^2×\dfrac{1}{z}=\dfrac{3x^2y^2}{2z}$。
(2) 计算$\dfrac{2x-6}{x^2-9}÷\dfrac{x-3}{x+3}$：
第一步，将除法转化为乘法，乘以除式的倒数：
原式$=\dfrac{2x-6}{x^2-9}×\dfrac{x+3}{x-3}$；
第二步，对分子分母因式分解：
$2x-6=2(x-3)$，$x^2-9=(x+3)(x-3)$，代入得：
原式$=\dfrac{2(x-3)}{(x+3)(x-3)}×\dfrac{x+3}{x-3}$；
第三步，约去公因式$(x+3)$和$(x-3)$，得：
原式$=\dfrac{2}{x-3}$。
【答案】
(1) $\dfrac{3x^2 y^2}{2z}$；(2) $\dfrac{2}{x-3}$
【知识点】
分式乘法法则，分式除法法则，因式分解
【点评】
本题是分式乘除运算的基础题型，核心要求是熟练掌握分式乘除的运算规则，计算时注意先处理符号，遇到多项式优先因式分解再约分，避免运算错误。
【难度系数】
0.8

6.(4分)已知甲、乙两地之间的距离为$s\ \mathrm{km}$，
小鸿从甲地到乙地所花的时间为$(a+b)\mathrm{h}$，
小志的速度是小鸿的$\frac{a^2 - b^2}{s}$倍，则小志的速度是$\mathrm{km/h}.$

6. $(a-b)$

【分析】
解题时先根据行程问题中“速度=路程÷时间”的基本关系求出小鸿的速度，再结合小志速度和小鸿速度的倍数关系列出小志速度的表达式，最后利用平方差公式对分子因式分解，通过约分即可得到最终结果。
【解析】
1. 求小鸿的速度：
已知甲乙两地路程为$s\ \mathrm{km}$，小鸿行驶时间为$(a+b)\ \mathrm{h}$，根据速度公式可得：
$v_{\mathrm{小鸿}}=\frac{\mathrm{路程}}{\mathrm{时间}}=\frac{s}{a+b}\ \mathrm{km/h}$
2. 求小志的速度：
由题意，小志速度是小鸿速度的$\frac{a^2 - b^2}{s}$倍，因此：
$v_{\mathrm{小志}}=v_{\mathrm{小鸿}} × \frac{a^2 - b^2}{s}$
将$v_{\mathrm{小鸿}}=\frac{s}{a+b}$代入上式得：
$v_{\mathrm{小志}}=\frac{s}{a+b} × \frac{a^2 - b^2}{s}$
利用平方差公式分解$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，代入后约分：
$v_{\mathrm{小志}}=\frac{s}{a+b} × \frac{(a+b)(a-b)}{s}=a-b\ \mathrm{km/h}$
【答案】
$(a-b)$
【知识点】
行程公式，分式乘法，平方差公式
【点评】
本题属于基础运算题，将行程问题和分式运算相结合，解题核心是正确列出速度表达式，熟练运用因式分解完成分式约分，准确识别公因式即可顺利求解。
【难度系数】
0.8

7.(4分)若化简分式$\frac{x^2}{x^2 - 2x + 1} ÷ \frac{x}{x - 3 + m}$的结果为$\frac{x}{x - 1}$，则$m$的值是。

7. 2

【分析】
解题时先根据分式除法的运算法则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中能因式分解的多项式因式分解，接着对分式约分得到最简形式，最后将化简结果与题目给出的结果相对应，建立关于m的等式即可求出m的值。
【解析】
先对原式进行变形化简：
1. 因式分解分母：$x^2 - 2x +1=(x-1)^2$，同时将分式除法转化为乘法（除以一个分式等于乘以它的倒数），则原式变为：
$\frac{x^2}{(x-1)^2} × \frac{x + m - 3}{x}$
2. 约分：约去分子分母的公因式$x$（$x≠0$，满足分式有意义的条件），可得化简结果为：
$\frac{x(x + m - 3)}{(x-1)^2}$
3. 结合题目给出的化简结果$\frac{x}{x-1}$，可得等式：
$\frac{x(x + m - 3)}{(x-1)^2} = \frac{x}{x-1}$
两边同时乘以$(x-1)^2$（$x≠1$，满足分式有意义的条件），约去两边的公因式$x$，得：
$x + m - 3 = x - 1$
4. 求解m：等式两边消去$x$，得$m - 3 = -1$，解得$m=2$。
【答案】
2
【知识点】
分式除法法则，因式分解，分式约分
【点评】
本题考查分式乘除运算的综合应用，解题核心是熟练掌握分式运算的基本规则，约分后对照已知结果建立等量关系即可求解，计算时需注意分式有意义的隐含条件。
【难度系数】
0.7

8.(24分)计算:
(1)$\frac{x^2 - xy}{xy^2} · \frac{y}{y - x}$;
(2)$\frac{a + 2}{a^2 - 2a} · \frac{a^2 - 4a + 4}{a + 2}$;
(3)$\frac{12x^2 y}{5z^2} ÷ \frac{4xy^2}{15z^2}$;
(4)$\frac{x - 1}{x} ÷ \frac{x^2 - 1}{x^2 + x}$;
(5)$\frac{x^2 + x - 6}{x - 3} · \frac{2x - 6}{4 - 4x + x^2}$;
(6)

8. 解:(1)原式$=-\frac{x(x-y)}{xy^2} · \frac{y}{x-y} = -\frac{1}{y}$. (2)原式$=\frac{a+2}{a(a-2)} · \frac{(a-2)^2}{a+2} = \frac{a-2}{a}$. (3)原式$=\frac{12x^2 y}{5z^2} · \frac{15z^2}{4xy^2} = \frac{9x}{y}$. (4)原式$=\frac{x-1}{x} · \frac{x(x+1)}{(x-1)(x+1)} = 1$. (5)原式$=\frac{(x+3)(x-2)}{x-3} · \frac{2(x-3)}{(x-2)^2} = \frac{2x+6}{x-2}$. (6)原式$=\frac{(x-y)^3}{x+y} · \frac{2(x+y)}{(x-y)^2} = 2(x-y)$.

【分析】
解决这道分式除法运算题，首先按照分式除法的运算法则，将除法转化为乘法运算，即除以一个分式等于乘这个分式的倒数；接下来对式子中可因式分解的多项式进行因式分解：除式的分子$x^2-2xy+y^2$是完全平方式，可分解为$(x-y)^2$，除式的分母$2x+2y$提取公因式2后可分解为$2(x+y)$；最后对转化后的乘法算式约分，约去分子分母的公因式，即可得到最简结果。
【解析】
解：先将除法转化为乘法，再对分子分母因式分解：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=\frac{(x-y)^3}{x+y} · \frac{2x+2y}{x^2-2xy+y^2}\\&=\frac{(x-y)^3}{x+y} · \frac{2(x+y)}{(x-y)^2}\\&=2(x-y)\end{aligned}$
【答案】
$2(x-y)$
【知识点】
分式的除法法则、因式分解、分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础题，核心是掌握分式除法“变除为乘”的运算规则，同时要熟练运用因式分解的方法对多项式变形，再通过约分得到最简结果，计算时注意不要弄错除式分子分母颠倒的步骤，避免出错。
【难度系数】
0.8