6.先化简，再求值：$(\dfrac{2x+1}{x+1} + x -1) ÷ \dfrac{x+2}{x^2 +2x +1}$，其中$x$满足$x^2 +x -2=0$。

6. 解:原式 = $\frac{2x+1+x^2-1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2} = \frac{x(x+2)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2} = x(x+1) = x^2+x$.
∵$x^2+x-2=0$,
∴$x^2+x=2$.
∴原式 $=2$.

【分析】
这是一道分式化简求值题，解题可按以下思路开展：①先处理括号内的运算：括号内是分式与整式的加法，需将整式通分变为分母为$x+1$的分式，再合并分子；②将除法运算转化为乘法运算，同时对可因式分解的多项式（$x^2+2x+1$是完全平方式）先因式分解；③对分式约分得到最简整式；④观察已知方程$x^2+x-2=0$的特征，发现化简结果和方程中的$x^2+x$直接相关，无需解出$x$的值，用整体代入法即可快速求出结果，还能避免解分式方程可能出现的增根问题。
【解析】
解：先化简原式：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=( \frac{2x+1}{x+1} + \frac{(x-1)(x+1)}{x+1} ) ÷ \frac{x+2}{(x+1)^2}\\&=\frac{2x+1+x^2-1}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}\\&=\frac{x^2+2x}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}\\&=\frac{x(x+2)}{x+1} · \frac{(x+1)^2}{x+2}\\&=x(x+1)\\&=x^2+x\end{aligned}$
已知$x^2+x-2=0$，移项可得$x^2+x=2$，将其代入化简后的式子：
原式$=2$
（若求解方程得$x=1$或$x=-2$，要使原式有意义需满足$x≠-1$且$x≠-2$，故仅$x=1$符合，代入$x=1$也可得结果为2，与整体代入结果一致。）
【答案】
$2$
【知识点】
分式的混合运算；因式分解；整体代入求值
【点评】
本题属于分式化简求值的典型题型，既考查了分式通分、约分、四则运算的基本技能，也渗透了整体代入的数学思想，无需单独求解未知数即可得到结果，能有效简化计算过程，降低出错概率。
【难度系数】
0.7

7. 已知$\frac{a+b}{a}=2$，求$\frac{a+b}{2a}-\frac{3a}{a+b}+1$的值。

7. 解:
∵$\frac{a+b}{a}=2$,
∴$a+b=2a$.
∴原式 = $\frac{2a}{2a} - \frac{3a}{2a} +1 = 1-\frac{3}{2}+1=\frac{1}{2}$.

【分析】
本题属于分式化简求值类题目，解题核心是运用整体代入的思想简化计算，无需单独求出a、b的具体值。首先观察已知条件$\frac{a+b}{a}=2$，可得到$a+b$与$a$的数量关系：$a+b=2a$；再观察待求式的结构，发现式中含有$\frac{a+b}{2a}$和$\frac{3a}{a+b}$两个与已知条件相关的分式，将$a+b=2a$整体代入待求式，约分后即可计算出结果。
【解析】
已知$\frac{a+b}{a}=2$（$a≠0$，保证分式有意义），等式两边同乘$a$可得：
$a+b=2a$
将$a+b=2a$代入待求式计算：
$\begin{aligned}原式&=\frac{2a}{2a} - \frac{3a}{2a} +1\\&=1 - \frac{3}{2} +1\\&=\frac{1}{2}\end{aligned}$
【答案】
$\frac{1}{2}$
【知识点】
分式化简求值、整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型基础题，重点考查对代数式结构的观察能力和整体代入技巧的运用，通过整体代换可避免不必要的复杂计算，是分式求值类题目中常用的简便方法。
【难度系数】
0.8

8. 一题多思 已知$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$，求$\frac{2x-5xy+2y}{x+2xy+y}$的值.
思路一:先利用分式的基本性质化简,再代入求值.观察所求的式子与已知条件,不难发现将所求的式子的分子和分母同时除以$xy$,易构造出已知条件.
思路二:先根据已知条件可得$x+y=5xy$,再整体代入计算求值即可.

8. 思路一:原式 = $\frac{\frac{2x}{xy}-\frac{5xy}{xy}+\frac{2y}{xy}}{\frac{x}{xy}+\frac{2xy}{xy}+\frac{y}{xy}} = \frac{\frac{2}{y}-5+\frac{2}{x}}{\frac{1}{y}+2+\frac{1}{x}} = \frac{2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-5}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2}$.
∵$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$,
∴原式 = $\frac{2×5-5}{5+2}=\frac{5}{7}$.
思路二:
∵$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$,
∴$\frac{x+y}{xy}=5$,即 $x+y=5xy$.
∴原式 = $\frac{2(x+y)-5xy}{x+y+2xy}=\frac{2×5xy-5xy}{5xy+2xy}=\frac{5}{7}$.

【分析】
本题已知两个未知数的倒数和，求对应分式的值，无需分别求出x、y的具体值，可通过两种思路求解：①利用分式有意义的前提x≠0、y≠0，将所求分式的分子、分母同时除以xy，直接构造出已知的$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}$的结构，代入数值计算即可；②先将已知条件通分变形，得到x+y与xy的等量关系，再把所求分式的分子、分母整理为含x+y和xy的形式，整体代入后约去xy即可求出结果。
【解析】
思路一：
原式 = $\frac{\frac{2x}{xy}-\frac{5xy}{xy}+\frac{2y}{xy}}{\frac{x}{xy}+\frac{2xy}{xy}+\frac{y}{xy}} = \frac{\frac{2}{y}-5+\frac{2}{x}}{\frac{1}{y}+2+\frac{1}{x}} = \frac{2(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})-5}{(\frac{1}{x}+\frac{1}{y})+2}$
∵$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$
∴原式 = $\frac{2×5-5}{5+2}=\frac{5}{7}$
思路二：
∵$\frac{1}{x}+\frac{1}{y}=5$
∴$\frac{x+y}{xy}=5$，即 $x+y=5xy$
∴原式 = $\frac{2(x+y)-5xy}{x+y+2xy}=\frac{2×5xy-5xy}{5xy+2xy}=\frac{5xy}{7xy}=\frac{5}{7}$
【答案】
$\frac{5}{7}$
【知识点】
分式的基本性质，整体代入求值，分式通分
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，两种解法都运用了整体思想，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考查对分式性质的灵活运用能力和转化思维。
【难度系数】
0.7

9. 已知 $x+\dfrac{2}{x}=6$，求 $x^2+\dfrac{4}{x^2}$ 的值.

9. 解:
∵$x+\frac{2}{x}=6$,
∴$(x+\frac{2}{x})^2=36$,即 $x^2+4+\frac{4}{x^2}=36$.
∴$x^2+\frac{4}{x^2}=32$.

【分析】
观察已知等式和待求式的结构特征：已知是$x$与$\frac{2}{x}$的和，待求式是$x^2$与$(\frac{2}{x})^2$的和，二者符合完全平方公式的结构关联。我们可以将已知等式两边同时平方，利用完全平方公式展开后，中间的交叉项计算后是常数，移项即可直接得到待求式的值，无需单独求解$x$，用整体代入的思想计算更简便。
【解析】
解：$\because x+\dfrac{2}{x}=6$，
$\therefore$ 等式两边同时平方得：$(x+\dfrac{2}{x})^2=6^2=36$，
根据完全平方公式展开得：$x^2 + 2· x· \dfrac{2}{x} + (\dfrac{2}{x})^2 = 36$，
化简得：$x^2 + 4 + \dfrac{4}{x^2} = 36$，
移项计算得：$x^2 + \dfrac{4}{x^2} = 36 - 4 = 32$。
【答案】
$32$
【知识点】
完全平方公式，分式化简求值，整体代入思想
【点评】
本题是分式求值的典型基础题型，解题核心是准确识别已知式和待求式的结构关联，灵活运用完全平方公式变形，结合整体代入思想简化计算，规避了求解$x$的复杂过程。
【难度系数】
0.8

10.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}$，则$\frac{2x + y - z}{3x - y + z}$的值为。

10. $\frac{3}{7}$

【分析】
遇到连等的比例式求分式值的问题，可采用设参数法求解：先设这个相等的比值为参数k，将x、y、z都用含k的代数式表示，再代入待求的分式中，分子分母的参数k会相互约去，即可算出最终结果，该方法思路清晰，不易出错。
【解析】
解：设$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}=k(k≠0)$，
则可得：$x=2k$，$y=3k$，$z=4k$，
将上述式子代入$\frac{2x + y - z}{3x - y + z}$：
分子：$2x + y - z=2×2k + 3k - 4k=4k+3k-4k=3k$，
分母：$3x - y + z=3×2k - 3k + 4k=6k-3k+4k=7k$，
因此原式$=\frac{3k}{7k}=\frac{3}{7}$（$k≠0$，可直接约去）。
【答案】
$\frac{3}{7}$
【知识点】
比例的性质；分式化简求值
【点评】
本题是分式求值的基础常见题型，重点考查连比式的处理技巧，设参数法是解决这类问题的通用方法，计算时要注意代入后整式运算的准确性，同时明确参数不为0的隐含条件，保证分式有意义。
【难度系数】
0.7

11. 已知 $\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}$，求 $\frac{x+y-z}{x+y+2z}$ 的值。

11. 解:设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$,则 $kx=y+z$①,$ky=z+x$②,$kz=x+y$③. ①+②+③,得 $k(x+y+z)=2(x+y+z)$,即 $(k-2)(x+y+z)=0$.
∴$k=2$ 或 $x+y+z=0$. 当$k=2$时,由③得,$x+y=2z$.
∴原式 = $\frac{2z-z}{2z+2z}=\frac{1}{4}$;当 $x+y+z=0$ 时,$x+y=-z$.
∴原式 = $\frac{-z-z}{-z+2z}=-2$. 综上所述,$\frac{x+y-z}{x+y+2z}$ 的值为 $\frac{1}{4}$ 或 $-2$.

【分析】
遇到多个分式相等的问题，通常采用设参数法，设它们的比值为k，将分式关系转化为整式关系，再将得到的三个整式相加，整理后可得乘积为0的形式，此时需要分两种情况讨论：一是k-2=0即k=2，二是x+y+z=0，最后将两种情况的结论分别代入待求分式计算即可，解题时注意要保证原分式有意义。
【解析】
设$\frac{y+z}{x}=\frac{z+x}{y}=\frac{x+y}{z}=k$，则：
$kx=y+z$ ①
$ky=z+x$ ②
$kz=x+y$ ③
将①+②+③，得 $k(x+y+z)=2(x+y+z)$，移项因式分解得：
$(k-2)(x+y+z)=0$
分两种情况讨论：
1. 当$k=2$时，代入③得$x+y=2z$，代入待求分式：
$\frac{x+y-z}{x+y+2z}=\frac{2z-z}{2z+2z}=\frac{z}{4z}=\frac{1}{4}$（原分式有意义，$z≠0$可约分）
2. 当$x+y+z=0$时，变形得$x+y=-z$，代入待求分式：
$\frac{x+y-z}{x+y+2z}=\frac{-z-z}{-z+2z}=\frac{-2z}{z}=-2$（原分式有意义，$z≠0$可约分）
【答案】
$\frac{1}{4}$或$-2$
【知识点】
分式化简求值，参数法解题，分类讨论思想
【点评】
本题是分式化简求值的常考题型，核心解题技巧是遇到连等分式时引入参数将分式转化为整式运算，解题时需注意分情况讨论，不要遗漏$x+y+z=0$的情况，避免出现漏解的错误。
【难度系数】
0.6