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1.先化简，再求值：$\frac{x^2 + 2x +1}{x+1}$，其中$x=\sqrt{2}-1$.
答案
1. 解:原式 = $\frac{(x+1)^2}{x+1} = x+1$. 当 $x=\sqrt{2}-1$ 时,原式 = $\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$.
解析
【分析】
这是分式化简求值类题目，解题可分两步思考：第一步先化简分式，观察分子$x^2+2x+1$符合完全平方公式的结构特征，可先将分子因式分解为$(x+1)^2$，此时分子分母存在公因式$x+1$，结合已知$x$的取值可判断$x+1≠0$，因此可以约分得到最简结果；第二步将$x$的值代入化简后的整式计算，即可快速得到结果，比直接代入原式计算更简便。
【解析】
解：首先对分子因式分解，可得
原式 = $\frac{(x+1)^2}{x+1}$
由$x=\sqrt{2}-1$，可知$x+1=\sqrt{2}≠0$，因此可约去公因式$x+1$，得
原式 = $x+1$
将$x=\sqrt{2}-1$代入$x+1$，得
原式 = $\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.分式约分 3.分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是先利用因式分解将分式化为最简形式再代入求值，能有效降低计算量，避免出错，需要熟练掌握常见的因式分解方法和分式的基本性质。
【难度系数】
0.9
这是分式化简求值类题目，解题可分两步思考：第一步先化简分式，观察分子$x^2+2x+1$符合完全平方公式的结构特征，可先将分子因式分解为$(x+1)^2$，此时分子分母存在公因式$x+1$，结合已知$x$的取值可判断$x+1≠0$，因此可以约分得到最简结果；第二步将$x$的值代入化简后的整式计算，即可快速得到结果，比直接代入原式计算更简便。
【解析】
解：首先对分子因式分解，可得
原式 = $\frac{(x+1)^2}{x+1}$
由$x=\sqrt{2}-1$，可知$x+1=\sqrt{2}≠0$，因此可约去公因式$x+1$，得
原式 = $x+1$
将$x=\sqrt{2}-1$代入$x+1$，得
原式 = $\sqrt{2}-1+1=\sqrt{2}$
【答案】
$\sqrt{2}$
【知识点】
1.完全平方公式 2.分式约分 3.分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的基础题型，核心是先利用因式分解将分式化为最简形式再代入求值，能有效降低计算量，避免出错，需要熟练掌握常见的因式分解方法和分式的基本性质。
【难度系数】
0.9
2. 先化简，再求值：$(1+\dfrac{2}{x+1})· \dfrac{x^2+x}{x^2-9}$，其中$x=6.$
答案
2. 解:原式 = $\frac{x+1+2}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x+3}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)} = \frac{x}{x-3}$. 当 $x=6$ 时,原式 = $\frac{6}{6-3}=2$.
解析
【分析】
解决这道分式化简求值题，我们遵循“先化简、再代值”的原则，避免直接代入的复杂计算：第一步先处理括号内的分式加法，将1转化为分母为$(x+1)$的分式，和$\frac{2}{x+1}$通分相加；第二步将两个相乘的分式的分子、分母分别进行因式分解，把公因式直接约分；第三步得到最简分式后，代入$x=6$计算最终结果，计算前要确认代入的$x$让原分式所有分母都不为0，保证原式有意义。
【解析】
解：先对原式化简：
原式 = $\frac{x+1+2}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}$
= $\frac{x+3}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}$
约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x+3)$，得：
原式 = $\frac{x}{x-3}$
将$x=6$代入最简分式，此时分母$x-3=6-3=3≠0$，原式有意义：
原式 = $\frac{6}{6-3}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式混合运算的规范步骤，熟练掌握通分、因式分解、约分的技能是解题关键，先化简再求值的思路能有效降低计算错误率，代入数值前要注意验证原式是否有意义。
【难度系数】
0.8
解决这道分式化简求值题，我们遵循“先化简、再代值”的原则，避免直接代入的复杂计算：第一步先处理括号内的分式加法，将1转化为分母为$(x+1)$的分式，和$\frac{2}{x+1}$通分相加；第二步将两个相乘的分式的分子、分母分别进行因式分解，把公因式直接约分；第三步得到最简分式后，代入$x=6$计算最终结果，计算前要确认代入的$x$让原分式所有分母都不为0，保证原式有意义。
【解析】
解：先对原式化简：
原式 = $\frac{x+1+2}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}$
= $\frac{x+3}{x+1} · \frac{x(x+1)}{(x+3)(x-3)}$
约去分子分母的公因式$(x+1)$和$(x+3)$，得：
原式 = $\frac{x}{x-3}$
将$x=6$代入最简分式，此时分母$x-3=6-3=3≠0$，原式有意义：
原式 = $\frac{6}{6-3}=2$
【答案】
$2$
【知识点】
分式化简求值、因式分解、分式约分
【点评】
本题属于分式运算的基础题型，核心考察分式混合运算的规范步骤，熟练掌握通分、因式分解、约分的技能是解题关键，先化简再求值的思路能有效降低计算错误率，代入数值前要注意验证原式是否有意义。
【难度系数】
0.8
（二）化简后选定使式子有意义的值代入求值
3. 先化简：$( \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2 - 2x} ) ÷ \dfrac{x+2}{x^2}$，然后从$-2 ≤ x ＜ \sqrt{7}$中选一个你认为合适的整数作为$x$的值代入求值。
3. 先化简：$( \dfrac{x}{x-2} - \dfrac{4}{x^2 - 2x} ) ÷ \dfrac{x+2}{x^2}$，然后从$-2 ≤ x ＜ \sqrt{7}$中选一个你认为合适的整数作为$x$的值代入求值。
答案
3. 解:原式 = $[\frac{x^2}{x(x-2)} - \frac{4}{x(x-2)}] · \frac{x^2}{x+2} = \frac{x^2-4}{x(x-2)} · \frac{x^2}{x+2} = \frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)} · \frac{x^2}{x+2} = x$.
∵要使分式有意义,
∴$x≠0$ 且 $x≠±2$.
∵$-2≤x＜\sqrt{7}$,且 $x$ 为整数,
∴$x=-1$ 或 $x=1$. 当$x=-1$ 时,原式 $=-1$. (或当 $x=1$ 时,原式 $=1$)
∵要使分式有意义,
∴$x≠0$ 且 $x≠±2$.
∵$-2≤x＜\sqrt{7}$,且 $x$ 为整数,
∴$x=-1$ 或 $x=1$. 当$x=-1$ 时,原式 $=-1$. (或当 $x=1$ 时,原式 $=1$)
解析
【分析】
解决本题可按三步思考：第一步先化简分式，先对括号内第二个分式的分母因式分解，找到最简公分母后对括号内的分式通分合并；再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解、约分得到最简结果。第二步确定x的合法取值：要保证原分式所有分母不为0、除数不为0，排除使分式无意义的x值。第三步在给定的整数范围内选取符合条件的x，代入最简结果计算即可。
【解析】
解：化简原式过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x(x-2)}]÷\frac{x+2}{x^2}\\&=[\frac{x^2}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x-2)}]·\frac{x^2}{x+2}\\&=\frac{x^2-4}{x(x-2)}·\frac{x^2}{x+2}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}·\frac{x^2}{x+2}\\&=x\end{aligned}$
要使分式有意义，则各分母及除数均不为0，即$x(x-2)≠0$，$x^2≠0$，$x+2≠0$，解得$x≠0$且$x≠\pm2$。
已知$-2≤ x＜\sqrt{7}$（$\sqrt{7}\approx2.65$），且x为整数，因此可选$x=-1$或$x=1$。
当$x=1$时，原式$=1$（或当$x=-1$时，原式$=-1$）。
【答案】
化简结果为$x$，当$x=1$时，值为1（或当$x=-1$时，值为-1）
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查通分、约分、因式分解的运算能力，解题易错点为选取x的值时忽略分式有意义的限制条件，误选0、±2导致结果无意义。
【难度系数】
0.7
解决本题可按三步思考：第一步先化简分式，先对括号内第二个分式的分母因式分解，找到最简公分母后对括号内的分式通分合并；再将除法运算转化为乘法运算，通过因式分解、约分得到最简结果。第二步确定x的合法取值：要保证原分式所有分母不为0、除数不为0，排除使分式无意义的x值。第三步在给定的整数范围内选取符合条件的x，代入最简结果计算即可。
【解析】
解：化简原式过程如下：
$\begin{aligned}\mathrm{原式}&=[\frac{x}{x-2}-\frac{4}{x(x-2)}]÷\frac{x+2}{x^2}\\&=[\frac{x^2}{x(x-2)}-\frac{4}{x(x-2)}]·\frac{x^2}{x+2}\\&=\frac{x^2-4}{x(x-2)}·\frac{x^2}{x+2}\\&=\frac{(x+2)(x-2)}{x(x-2)}·\frac{x^2}{x+2}\\&=x\end{aligned}$
要使分式有意义，则各分母及除数均不为0，即$x(x-2)≠0$，$x^2≠0$，$x+2≠0$，解得$x≠0$且$x≠\pm2$。
已知$-2≤ x＜\sqrt{7}$（$\sqrt{7}\approx2.65$），且x为整数，因此可选$x=-1$或$x=1$。
当$x=1$时，原式$=1$（或当$x=-1$时，原式$=-1$）。
【答案】
化简结果为$x$，当$x=1$时，值为1（或当$x=-1$时，值为-1）
【知识点】
分式的混合运算、分式有意义的条件、因式分解
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，重点考查通分、约分、因式分解的运算能力，解题易错点为选取x的值时忽略分式有意义的限制条件，误选0、±2导致结果无意义。
【难度系数】
0.7
4. 先化简：$\dfrac{x-3}{x^2 -1} ÷ \dfrac{x-3}{x^2 +2x +1} - ( \dfrac{1}{x-1} +1 )$，再从$-1,0,1,2,3$中选取一个合适的数代入求值.
答案
解:原式 = $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x-3}{(x+1)^2} - \frac{1+x-1}{x-1} = \frac{x-3}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)^2}{x-3} - \frac{x}{x-1} = \frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1} = \frac{1}{x-1}$.
∵要使分式有意义,
∴$x≠±1$ 且 $x≠3$.
∴$x=0$ 或 $x=2$. 当 $x=0$ 时,原式 = $\frac{1}{0-1}=-1$. (或当 $x=2$ 时,原式 = $\frac{1}{2-1}=1$)
∵要使分式有意义,
∴$x≠±1$ 且 $x≠3$.
∴$x=0$ 或 $x=2$. 当 $x=0$ 时,原式 = $\frac{1}{0-1}=-1$. (或当 $x=2$ 时,原式 = $\frac{1}{2-1}=1$)
解析
【分析】
解题时按照分式混合运算的规则逐步推导：第一步先对各分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步将除法运算转化为乘法运算，约分后得到初步结果；第三步计算括号内的分式加法，再和前面的结果做同分母分式减法，完成化简。之后要注意分式有意义的隐含条件：所有分母不能为0、作为除式的分式不能为0，据此排除不合适的x取值，再从剩余可选的数中任选一个代入化简后的式子计算即可。
【解析】
解：先对原式因式分解并按运算顺序计算：
原式 = $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x-3}{(x+1)^2} - \frac{1+x-1}{x-1}$
将除法转化为乘法，约去公因式$(x-3)$和$(x+1)$：
= $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)^2}{x-3} - \frac{x}{x-1}$
= $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
同分母分式相减，分母不变、分子相减：
= $\frac{(x+1)-x}{x-1}$ = $\frac{1}{x-1}$
要使分式有意义，则$x≠±1$且$x≠3$，因此可选$x=0$或$x=2$代入：
当$x=0$时，原式 = $\frac{1}{0-1}=-1$；当$x=2$时，原式 = $\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-1}$；当$x=0$时，值为$-1$（或当$x=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查因式分解、分式四则运算的基础能力，也设置了隐含的取值限制，需要学生细心排查无效取值，避免代入错误，对运算的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
解题时按照分式混合运算的规则逐步推导：第一步先对各分式的分子、分母因式分解，方便后续约分；第二步将除法运算转化为乘法运算，约分后得到初步结果；第三步计算括号内的分式加法，再和前面的结果做同分母分式减法，完成化简。之后要注意分式有意义的隐含条件：所有分母不能为0、作为除式的分式不能为0，据此排除不合适的x取值，再从剩余可选的数中任选一个代入化简后的式子计算即可。
【解析】
解：先对原式因式分解并按运算顺序计算：
原式 = $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} ÷ \frac{x-3}{(x+1)^2} - \frac{1+x-1}{x-1}$
将除法转化为乘法，约去公因式$(x-3)$和$(x+1)$：
= $\frac{x-3}{(x+1)(x-1)} · \frac{(x+1)^2}{x-3} - \frac{x}{x-1}$
= $\frac{x+1}{x-1} - \frac{x}{x-1}$
同分母分式相减，分母不变、分子相减：
= $\frac{(x+1)-x}{x-1}$ = $\frac{1}{x-1}$
要使分式有意义，则$x≠±1$且$x≠3$，因此可选$x=0$或$x=2$代入：
当$x=0$时，原式 = $\frac{1}{0-1}=-1$；当$x=2$时，原式 = $\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
化简结果为$\dfrac{1}{x-1}$；当$x=0$时，值为$-1$（或当$x=2$时，值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，分式化简求值
【点评】
本题是分式化简求值的典型题型，既考查因式分解、分式四则运算的基础能力，也设置了隐含的取值限制，需要学生细心排查无效取值，避免代入错误，对运算的严谨性有一定要求。
【难度系数】
0.6
5. 先化简,再求值:$( \dfrac{2}{x-3} - \dfrac{1}{x} ) · \dfrac{x^2 - 3x}{x^2 + 6x + 9}$,
其中$x$是不等式组$\begin{cases} 2x ＜ 3x -1, \\ 2 + 3(x-1) ＜ 2(x+1) \end{cases}$
的整数解.
其中$x$是不等式组$\begin{cases} 2x ＜ 3x -1, \\ 2 + 3(x-1) ＜ 2(x+1) \end{cases}$
的整数解.
答案
5. 解:原式 = $[\frac{2x}{x(x-3)} - \frac{x-3}{x(x-3)}] · \frac{x(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{x+3}{x(x-3)} · \frac{x(x-3)}{(x+3)^2} = \frac{1}{x+3}$. 解不等式组 $\begin{cases} 2x＜3x-1, \\ 2+3(x-1)＜2(x+1), \end{cases}$ 得 $1＜x＜3$.
∴不等式组的整数解为 $x=2$.
∴当 $x=2$ 时,原式 = $\frac{1}{2+3}=\frac{1}{5}$.
∴不等式组的整数解为 $x=2$.
∴当 $x=2$ 时,原式 = $\frac{1}{2+3}=\frac{1}{5}$.
解析
【分析】
本题是分式化简求值结合不等式组整数解的综合题，解题可分三步推进：第一步先化简分式，先对括号内的两个分式通分（最简公分母为$x(x-3)$）计算减法，再将括号外分式的分子、分母因式分解，通过约分化为最简形式；第二步分别求解不等式组中的两个不等式，取解集的公共部分后找出符合条件的整数解；第三步验证整数解满足原分式所有分母不为0（保证分式有意义），最后代入最简分式计算结果即可。
【解析】
1. 化简分式：
原式=$[ \dfrac{2x}{x(x-3)} - \dfrac{x-3}{x(x-3)} ] · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{2x - (x-3)}{x(x-3)} · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{x+3}{x(x-3)} · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
约分后得：原式=$\dfrac{1}{x+3}$
2. 解不等式组：
解不等式$2x ＜ 3x -1$，移项得$-x ＜ -1$，解得$x＞1$；
解不等式$2 + 3(x-1) ＜ 2(x+1)$，去括号得$2+3x-3 ＜ 2x+2$，移项合并同类项得$x ＜ 3$；
因此不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ 3$，其中整数解为$x=2$。
3. 代入求值：
将$x=2$代入$\dfrac{1}{x+3}$，得$\dfrac{1}{2+3}=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算、解一元一次不等式组、因式分解
【点评】
本题属于代数基础综合题，是分式章节的常规考法，解题时要注意先化简再代值，同时要保证代入的数值使原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况，计算时要注意通分、去括号环节的符号问题。
【难度系数】
0.7
本题是分式化简求值结合不等式组整数解的综合题，解题可分三步推进：第一步先化简分式，先对括号内的两个分式通分（最简公分母为$x(x-3)$）计算减法，再将括号外分式的分子、分母因式分解，通过约分化为最简形式；第二步分别求解不等式组中的两个不等式，取解集的公共部分后找出符合条件的整数解；第三步验证整数解满足原分式所有分母不为0（保证分式有意义），最后代入最简分式计算结果即可。
【解析】
1. 化简分式：
原式=$[ \dfrac{2x}{x(x-3)} - \dfrac{x-3}{x(x-3)} ] · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{2x - (x-3)}{x(x-3)} · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
$=\dfrac{x+3}{x(x-3)} · \dfrac{x(x-3)}{(x+3)^2}$
约分后得：原式=$\dfrac{1}{x+3}$
2. 解不等式组：
解不等式$2x ＜ 3x -1$，移项得$-x ＜ -1$，解得$x＞1$；
解不等式$2 + 3(x-1) ＜ 2(x+1)$，去括号得$2+3x-3 ＜ 2x+2$，移项合并同类项得$x ＜ 3$；
因此不等式组的解集为$1 ＜ x ＜ 3$，其中整数解为$x=2$。
3. 代入求值：
将$x=2$代入$\dfrac{1}{x+3}$，得$\dfrac{1}{2+3}=\dfrac{1}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}$
【知识点】
分式混合运算、解一元一次不等式组、因式分解
【点评】
本题属于代数基础综合题，是分式章节的常规考法，解题时要注意先化简再代值，同时要保证代入的数值使原分式所有分母不为0，避免出现无意义的情况，计算时要注意通分、去括号环节的符号问题。
【难度系数】
0.7
