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10. (20分)(1)(青海中考)先化简,再求值:
$( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} ) ÷ ( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} )$,其中 $x=2-y$;
(2)先化简 $( \frac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 + 2a +1}$,再从不等式 $-2 ＜ a ＜ 3$ 中选择一个适当的整数,代入求值.
$( \frac{1}{y} - \frac{1}{x} ) ÷ ( \frac{x}{y} - \frac{y}{x} )$,其中 $x=2-y$;
(2)先化简 $( \frac{a^2}{a+1} - a + 1 ) ÷ \frac{a^2 -1}{a^2 + 2a +1}$,再从不等式 $-2 ＜ a ＜ 3$ 中选择一个适当的整数,代入求值.
答案
解:(1)原式$=(\frac{x}{xy} - \frac{y}{xy}) ÷ (\frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy}) = \frac{x-y}{xy} ÷ \frac{x^2 - y^2}{xy} = \frac{x-y}{xy} · \frac{xy}{(x+y)(x-y)} = \frac{1}{x+y}$. $\because x=2-y$,$\therefore x+y=2$. $\therefore$ 原式$= \frac{1}{2}$.
(2) 原式$= [ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} = \frac{a^2 -a^2 +1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} = \frac{1}{a-1}$. $\because -2＜a＜3$ 且 $a≠±1$,$\therefore a=0$ 或 $a=2$. 当$a=0$ 时,原式$= \frac{1}{0-1} = -1$. (或当$a=2$ 时,原式$= \frac{1}{2-1} = 1$)
(2) 原式$= [ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} = \frac{a^2 -a^2 +1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} = \frac{1}{a-1}$. $\because -2＜a＜3$ 且 $a≠±1$,$\therefore a=0$ 或 $a=2$. 当$a=0$ 时,原式$= \frac{1}{0-1} = -1$. (或当$a=2$ 时,原式$= \frac{1}{2-1} = 1$)
解析
【分析】
（1）第一问解题思路：先按分式混合运算顺序，先对两个括号内的分式通分，计算同分母分式的减法；再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；最后根据已知条件$x=2-y$变形得到$x+y=2$，整体代入最简式即可求值，无需单独计算$x$、$y$的具体值。
（2）第二问解题思路：先处理括号内的运算，将$-a+1$通分转化为分母为$a+1$的分式，合并后约分；再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分得到最简式；代入前先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的$a$值，再从$-2＜a＜3$的整数中选取合适的数代入计算即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{x}{xy} - \frac{y}{xy} ) ÷ ( \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} ) \\&= \frac{x-y}{xy} ÷ \frac{x^2 - y^2}{xy} \\&= \frac{x-y}{xy} · \frac{xy}{(x+y)(x-y)} \\&= \frac{1}{x+y}\end{aligned}$
由$x=2-y$可得$x+y=2$，代入得：
原式$=\frac{1}{2}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&= [ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} \\&= \frac{a^2 -a^2 +1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} \\&= \frac{1}{a-1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$a≠±1$，结合$-2＜a＜3$，可取整数$a=0$或$a=2$：
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；
(2) 化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=0$时值为$-1$（或当$a=2$时值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查了分式通分、约分、因式分解等基础运算能力，也提醒学生注意分式存在的限制条件，第一问的整体代入思想可大幅简化计算，第二问代入数值前必须先排除使分母为0的取值，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
（1）第一问解题思路：先按分式混合运算顺序，先对两个括号内的分式通分，计算同分母分式的减法；再将除法转化为乘法，对分子分母因式分解后约分得到最简结果；最后根据已知条件$x=2-y$变形得到$x+y=2$，整体代入最简式即可求值，无需单独计算$x$、$y$的具体值。
（2）第二问解题思路：先处理括号内的运算，将$-a+1$通分转化为分母为$a+1$的分式，合并后约分；再将除法转化为乘法，对分子分母的多项式因式分解后约分得到最简式；代入前先根据分式有意义的条件（分母不为0）排除不符合的$a$值，再从$-2＜a＜3$的整数中选取合适的数代入计算即可。
【解析】
(1) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&=( \frac{x}{xy} - \frac{y}{xy} ) ÷ ( \frac{x^2}{xy} - \frac{y^2}{xy} ) \\&= \frac{x-y}{xy} ÷ \frac{x^2 - y^2}{xy} \\&= \frac{x-y}{xy} · \frac{xy}{(x+y)(x-y)} \\&= \frac{1}{x+y}\end{aligned}$
由$x=2-y$可得$x+y=2$，代入得：
原式$=\frac{1}{2}$
(2) 化简原式：
$\begin{aligned}原式&= [ \frac{a^2}{a+1} - \frac{(a-1)(a+1)}{a+1} ] ÷ \frac{(a+1)(a-1)}{(a+1)^2} \\&= \frac{a^2 -a^2 +1}{a+1} · \frac{(a+1)^2}{(a+1)(a-1)} \\&= \frac{1}{a-1}\end{aligned}$
要使分式有意义，则$a≠±1$，结合$-2＜a＜3$，可取整数$a=0$或$a=2$：
当$a=0$时，原式$=\frac{1}{0-1}=-1$；当$a=2$时，原式$=\frac{1}{2-1}=1$。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；
(2) 化简结果为$\frac{1}{a-1}$，当$a=0$时值为$-1$（或当$a=2$时值为$1$）
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，整体代入求值
【点评】
本题是分式化简求值的常规题型，既考查了分式通分、约分、因式分解等基础运算能力，也提醒学生注意分式存在的限制条件，第一问的整体代入思想可大幅简化计算，第二问代入数值前必须先排除使分母为0的取值，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
11. (10分) 注重阅读理解 阅读下面的解题过程：
已知$\frac{x}{x^2 +1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由已知可得 $x≠0$,
$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=3$, 即 $x+\frac{1}{x}=3$.
$\therefore \frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解答下列问题:
已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$, 求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
已知$\frac{x}{x^2 +1} = \frac{1}{3}$，求$\frac{x^2}{x^4 +1}$的值.
解:由已知可得 $x≠0$,
$\therefore \frac{x^2 +1}{x}=3$, 即 $x+\frac{1}{x}=3$.
$\therefore \frac{x^4 +1}{x^2}=x^2+\frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=3^2 -2=7$.
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +1}=\frac{1}{7}$.
该题的解法叫作“倒数法”.
请你利用“倒数法”解答下列问题:
已知$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$, 求$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$的值.
答案
11. 解:由已知可得 $x≠0$,$\therefore \frac{x^2 -x +1}{x}=5$. $\therefore x+\frac{1}{x}=6$. $\therefore x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 -2=34$. $\therefore \frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=x^2 + \frac{1}{x^2} +1=35$. $\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{35}$.
解析
【分析】
解题时参考题干给出的“倒数法”思路：首先判断x不为0（若x=0，已知等式左边为0，和$\frac{1}{5}$矛盾），对已知分式取倒数，拆分后可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求的分式取倒数，拆分后变形为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，利用完全平方公式的变形将$x+\frac{1}{x}$代入计算，最后将结果取倒数即可得到待求式的值。
【解析】
解：由已知可得$x≠0$，
$\therefore$ 对$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$两边取倒数，得$\frac{x^2 -x +1}{x}=5$，
拆分分式得$x - 1 + \frac{1}{x}=5$，整理得$x+\frac{1}{x}=6$。
对$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$取倒数得$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}$，拆分后得$x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$，
由完全平方公式变形可得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入$x+\frac{1}{x}=6$得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=6^2 -2=34$，
$\therefore \frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=34 + 1=35$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{35}$。
【答案】
$\frac{1}{35}$
【知识点】
倒数法求值，分式的基本性质，完全平方公式
【点评】
本题属于方法迁移类阅读理解题，解题核心是读懂例题的“倒数法”逻辑，结合分式拆分和完全平方公式的变形代入计算即可，能有效考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时参考题干给出的“倒数法”思路：首先判断x不为0（若x=0，已知等式左边为0，和$\frac{1}{5}$矛盾），对已知分式取倒数，拆分后可求出$x+\frac{1}{x}$的值；再对待求的分式取倒数，拆分后变形为含有$x^2+\frac{1}{x^2}$的形式，利用完全平方公式的变形将$x+\frac{1}{x}$代入计算，最后将结果取倒数即可得到待求式的值。
【解析】
解：由已知可得$x≠0$，
$\therefore$ 对$\frac{x}{x^2 -x +1}=\frac{1}{5}$两边取倒数，得$\frac{x^2 -x +1}{x}=5$，
拆分分式得$x - 1 + \frac{1}{x}=5$，整理得$x+\frac{1}{x}=6$。
对$\frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}$取倒数得$\frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}$，拆分后得$x^2 + 1 + \frac{1}{x^2}$，
由完全平方公式变形可得$x^2 + \frac{1}{x^2}=(x+\frac{1}{x})^2 - 2$，代入$x+\frac{1}{x}=6$得：
$x^2 + \frac{1}{x^2}=6^2 -2=34$，
$\therefore \frac{x^4 +x^2 +1}{x^2}=34 + 1=35$，
$\therefore \frac{x^2}{x^4 +x^2 +1}=\frac{1}{35}$。
【答案】
$\frac{1}{35}$
【知识点】
倒数法求值，分式的基本性质，完全平方公式
【点评】
本题属于方法迁移类阅读理解题，解题核心是读懂例题的“倒数法”逻辑，结合分式拆分和完全平方公式的变形代入计算即可，能有效考查学生的知识迁移应用能力。
【难度系数】
0.7
