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1. 下列式子是分式的是 （$\boldsymbol{}$）
A.$\dfrac{2}{a}$
B.$\dfrac{3}{4}x$
C.$\dfrac{3}{π}$
D.$\dfrac{2m+n}{5}$
A.$\dfrac{2}{a}$
B.$\dfrac{3}{4}x$
C.$\dfrac{3}{π}$
D.$\dfrac{2m+n}{5}$
答案
A
解析
【分析】
判断一个式子是否为分式，核心依据是分式的定义，解题思路如下：第一步先明确分式的判定条件：①式子为$\frac{A}{B}$的形式，且A、B均为整式；②分母B中必须含有字母（注意π是固定常数，不属于字母）。第二步逐一对照四个选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母（$B≠0$），则$\frac{A}{B}$为分式，据此分析各选项：
A. $\frac{2}{a}$：分母$a$是字母，满足分式的定义，是分式；
B. $\frac{3}{4}x$：可变形为$\frac{3x}{4}$，分母是常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
C. $\frac{3}{π}$：π是固定的常数（圆周率），分母不含字母，属于整式，不是分式；
D. $\frac{2m+n}{5}$：分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有A选项是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是误将圆周率π当作字母判断，解题时需牢牢抓住“分母含字母”这一分式的核心判定特征，准确区分分式和整式。
【难度系数】
0.8
判断一个式子是否为分式，核心依据是分式的定义，解题思路如下：第一步先明确分式的判定条件：①式子为$\frac{A}{B}$的形式，且A、B均为整式；②分母B中必须含有字母（注意π是固定常数，不属于字母）。第二步逐一对照四个选项，排除不符合条件的选项即可得到正确答案。
【解析】
根据分式的定义：若A、B是两个整式，且B中含有字母（$B≠0$），则$\frac{A}{B}$为分式，据此分析各选项：
A. $\frac{2}{a}$：分母$a$是字母，满足分式的定义，是分式；
B. $\frac{3}{4}x$：可变形为$\frac{3x}{4}$，分母是常数4，不含字母，属于整式，不是分式；
C. $\frac{3}{π}$：π是固定的常数（圆周率），分母不含字母，属于整式，不是分式；
D. $\frac{2m+n}{5}$：分母是常数5，不含字母，属于整式，不是分式。
综上，只有A选项是分式。
【答案】
A
【知识点】
分式的定义
【点评】
本题属于基础概念类考题，易错点是误将圆周率π当作字母判断，解题时需牢牢抓住“分母含字母”这一分式的核心判定特征，准确区分分式和整式。
【难度系数】
0.8
2. 下列各式是最简分式的是（）
答案
2. B
解析
【分析】
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时我们逐个分析每个选项，对分式的分子、分母分解因式，判断是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. $\frac{3xy}{x^2}$：分子和分母存在公因式$x$，可约分为$\frac{3y}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{a^2+b^2}{a+b}$：分子$a^2+b^2$无法分解因式，与分母$a+b$没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x-y}{y-x}$：分母可变形为$-(x-y)$，分子分母存在公因式$x-y$，可约分为$-1$，不是最简分式；
D. $\frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$：分子分解因式为$(a+1)^2$，分母分解因式为$(a+1)(a-1)$，二者存在公因式$a+1$，可约分为$\frac{a+1}{a-1}$，不是最简分式。
综上，只有B是最简分式。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式基础题型，核心是对最简分式概念的理解应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分子分母是否存在公因式。
【难度系数】
0.8
要判断最简分式，首先明确最简分式的定义：分子和分母没有公因式的分式叫做最简分式。解题时我们逐个分析每个选项，对分式的分子、分母分解因式，判断是否存在公因式，不存在公因式的即为最简分式。
【解析】
我们逐个判断选项：
A. $\frac{3xy}{x^2}$：分子和分母存在公因式$x$，可约分为$\frac{3y}{x}$，不是最简分式；
B. $\frac{a^2+b^2}{a+b}$：分子$a^2+b^2$无法分解因式，与分母$a+b$没有公因式，是最简分式；
C. $\frac{x-y}{y-x}$：分母可变形为$-(x-y)$，分子分母存在公因式$x-y$，可约分为$-1$，不是最简分式；
D. $\frac{a^2+2a+1}{a^2-1}$：分子分解因式为$(a+1)^2$，分母分解因式为$(a+1)(a-1)$，二者存在公因式$a+1$，可约分为$\frac{a+1}{a-1}$，不是最简分式。
综上，只有B是最简分式。
【答案】
B
【知识点】
最简分式的判断，因式分解，分式约分
【点评】
本题是分式基础题型，核心是对最简分式概念的理解应用，解题的关键是熟练掌握因式分解的方法，准确判断分子分母是否存在公因式。
【难度系数】
0.8
3. 分式$\frac{x}{x+□}$中的字母同时扩大为原来的3倍，分式的值不变，则“”可能是（）
A.3
B.-3
C.y
D.$x^2$
A.3
B.-3
C.y
D.$x^2$
答案
3. C
解析
【分析】
本题可根据分式的基本性质解题：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们可以设“”中的内容为M，将分式中所有字母同时扩大为原来的3倍后得到新分式，若新分式化简后与原分式相等，该选项即为正确答案，也可逐个代入选项验证是否符合要求。
【解析】
设“”代表的内容为$M$，原分式为$\frac{x}{x+M}$，将分式中的所有字母同时扩大为原来的3倍，验证各选项：
选项A：$M=3$（常数，扩大倍数后仍为3），新分式为$\frac{3x}{3x+3}=\frac{x}{x+1}$，与原分式$\frac{x}{x+3}$不相等，不符合要求；
选项B：$M=-3$（常数，扩大倍数后仍为-3），新分式为$\frac{3x}{3x-3}=\frac{x}{x-1}$，与原分式$\frac{x}{x-3}$不相等，不符合要求；
选项C：$M=y$，字母扩大3倍后$y$变为$3y$，新分式为$\frac{3x}{3x+3y}=\frac{3x}{3(x+y)}=\frac{x}{x+y}$，与原分式相等，符合要求；
选项D：$M=x^2$，字母扩大3倍后$x^2$变为$(3x)^2=9x^2$，新分式为$\frac{3x}{3x+9x^2}=\frac{3x}{3x(1+3x)}=\frac{1}{1+3x}$（$x≠0$），与原分式$\frac{x}{x+x^2}=\frac{1}{1+x}$不相等，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题时需注意：若式子中含常数，常数不会随字母扩大倍数发生变化，含字母的项需将所有字母扩大对应倍数后再化简对比，只要准确掌握分式基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
本题可根据分式的基本性质解题：分式的分子与分母同乘（或除以）同一个不为0的整式，分式的值不变。我们可以设“”中的内容为M，将分式中所有字母同时扩大为原来的3倍后得到新分式，若新分式化简后与原分式相等，该选项即为正确答案，也可逐个代入选项验证是否符合要求。
【解析】
设“”代表的内容为$M$，原分式为$\frac{x}{x+M}$，将分式中的所有字母同时扩大为原来的3倍，验证各选项：
选项A：$M=3$（常数，扩大倍数后仍为3），新分式为$\frac{3x}{3x+3}=\frac{x}{x+1}$，与原分式$\frac{x}{x+3}$不相等，不符合要求；
选项B：$M=-3$（常数，扩大倍数后仍为-3），新分式为$\frac{3x}{3x-3}=\frac{x}{x-1}$，与原分式$\frac{x}{x-3}$不相等，不符合要求；
选项C：$M=y$，字母扩大3倍后$y$变为$3y$，新分式为$\frac{3x}{3x+3y}=\frac{3x}{3(x+y)}=\frac{x}{x+y}$，与原分式相等，符合要求；
选项D：$M=x^2$，字母扩大3倍后$x^2$变为$(3x)^2=9x^2$，新分式为$\frac{3x}{3x+9x^2}=\frac{3x}{3x(1+3x)}=\frac{1}{1+3x}$（$x≠0$），与原分式$\frac{x}{x+x^2}=\frac{1}{1+x}$不相等，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的基本性质；分式的化简
【点评】
本题是分式基本性质的基础应用题型，解题时需注意：若式子中含常数，常数不会随字母扩大倍数发生变化，含字母的项需将所有字母扩大对应倍数后再化简对比，只要准确掌握分式基本性质即可顺利解题。
【难度系数】
0.7
4. 下列计算正确的是 （）
A.$\frac{3b}{x} + \frac{b}{x} = \frac{2b}{x}$
B.$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{b-a} = 0$
C.$\frac{bc}{a^2} · \frac{2a}{b^2 c} = \frac{2}{ab}$
D.$(a^2 - a) ÷ \frac{a}{a-1} = a^2$
A.$\frac{3b}{x} + \frac{b}{x} = \frac{2b}{x}$
B.$\frac{a}{a-b} - \frac{a}{b-a} = 0$
C.$\frac{bc}{a^2} · \frac{2a}{b^2 c} = \frac{2}{ab}$
D.$(a^2 - a) ÷ \frac{a}{a-1} = a^2$
答案
4. C
解析
【分析】
本题考查分式的四则运算，解题思路是依次对每个选项按照分式运算规则计算，将计算结果与选项给出的结果对比，从而选出正确选项。计算时要注意：同分母分式加减分母不变分子相加减；处理互为相反数的分母时要注意符号变化；分式乘法先约分再计算更简便；分式除法要先转化为乘法再计算，必要时先对多项式因式分解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变，分子相加，即$\frac{3b}{x}+\frac{b}{x}=\frac{3b+b}{x}=\frac{4b}{x}≠\frac{2b}{x}$，故A错误；
B选项：先将分母统一，$b-a=-(a-b)$，因此$\frac{a}{a-b}-\frac{a}{b-a}=\frac{a}{a-b}-\frac{a}{-(a-b)}=\frac{a}{a-b}+\frac{a}{a-b}=\frac{2a}{a-b}≠0$，故B错误；
C选项：分式乘法运算，分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分：$\frac{bc}{a^2}·\frac{2a}{b^2c}=\frac{bc·2a}{a^2·b^2c}=\frac{2abc}{a^2b^2c}=\frac{2}{ab}$，与选项结果一致，故C正确；
D选项：先将多项式因式分解，再把除法转化为乘法计算：$(a^2-a)÷\frac{a}{a-1}=a(a-1)·\frac{a-1}{a}=(a-1)^2≠ a^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，核心是熟练掌握分式四则运算的法则，尤其要注意互为相反数的分母的符号处理、分式除法变乘法时倒数的转换，计算过程中及时约分能降低出错概率。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的四则运算，解题思路是依次对每个选项按照分式运算规则计算，将计算结果与选项给出的结果对比，从而选出正确选项。计算时要注意：同分母分式加减分母不变分子相加减；处理互为相反数的分母时要注意符号变化；分式乘法先约分再计算更简便；分式除法要先转化为乘法再计算，必要时先对多项式因式分解。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：同分母分式相加，分母不变，分子相加，即$\frac{3b}{x}+\frac{b}{x}=\frac{3b+b}{x}=\frac{4b}{x}≠\frac{2b}{x}$，故A错误；
B选项：先将分母统一，$b-a=-(a-b)$，因此$\frac{a}{a-b}-\frac{a}{b-a}=\frac{a}{a-b}-\frac{a}{-(a-b)}=\frac{a}{a-b}+\frac{a}{a-b}=\frac{2a}{a-b}≠0$，故B错误；
C选项：分式乘法运算，分子相乘作分子、分母相乘作分母，再约分：$\frac{bc}{a^2}·\frac{2a}{b^2c}=\frac{bc·2a}{a^2·b^2c}=\frac{2abc}{a^2b^2c}=\frac{2}{ab}$，与选项结果一致，故C正确；
D选项：先将多项式因式分解，再把除法转化为乘法计算：$(a^2-a)÷\frac{a}{a-1}=a(a-1)·\frac{a-1}{a}=(a-1)^2≠ a^2$，故D错误。
【答案】
C
【知识点】
分式的加减运算；分式的乘除运算；分式约分
【点评】
本题是分式运算的基础常考题，核心是熟练掌握分式四则运算的法则，尤其要注意互为相反数的分母的符号处理、分式除法变乘法时倒数的转换，计算过程中及时约分能降低出错概率。
【难度系数】
0.7
5.若$\dfrac{x^2 +1}{x-1} ÷ \dfrac{x^3 +x}{□}$的计算结果是整式，则“$□$”中的式子可能是（）
A.$\dfrac{1}{x^2 -1}$
B.$x^2 -1$
C.$x^2 -x$
D.$x-1$
A.$\dfrac{1}{x^2 -1}$
B.$x^2 -1$
C.$x^2 -x$
D.$x-1$
答案
5. C
解析
【分析】
解题时先运用分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式因式分解，约分后得到化简后的式子结构。要使计算结果为整式，说明化简后式子的分母能被“”中的式子完全抵消，即“”需要包含分母的所有因式，最后逐一验证选项即可。
【解析】
解：根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘它的倒数，原式可变形为：
$\dfrac{x^2+1}{x-1} × \dfrac{□}{x^3+x}$
对$x^3+x$提公因式因式分解得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$\dfrac{x^2+1}{x-1} × \dfrac{□}{x(x^2+1)} = \dfrac{□}{x(x-1)}$
要使结果为整式，则$\dfrac{□}{x(x-1)}$无分母，即$□$必须同时含有因式$x$和$x-1$，逐一验证选项：
选项A：代入得$\dfrac{1}{x(x-1)(x^2-1)}$，是分式，不符合要求；
选项B：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得$\dfrac{x+1}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$x^2-x=x(x-1)$，代入得$\dfrac{x(x-1)}{x(x-1)}=1$，是整式，符合要求；
选项D：代入得$\dfrac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，因式分解，整式的定义
【点评】
本题核心考查分式运算规则的应用，解题的关键是熟练掌握分式除法的转化方法，能正确对多项式因式分解，通过约分判断最终结果的类型。
【难度系数】
0.7
解题时先运用分式除法法则，将除法运算转化为乘法运算，再对分子分母中的多项式因式分解，约分后得到化简后的式子结构。要使计算结果为整式，说明化简后式子的分母能被“”中的式子完全抵消，即“”需要包含分母的所有因式，最后逐一验证选项即可。
【解析】
解：根据分式除法运算法则，除以一个分式等于乘它的倒数，原式可变形为：
$\dfrac{x^2+1}{x-1} × \dfrac{□}{x^3+x}$
对$x^3+x$提公因式因式分解得：$x^3+x=x(x^2+1)$，代入上式约分：
$\dfrac{x^2+1}{x-1} × \dfrac{□}{x(x^2+1)} = \dfrac{□}{x(x-1)}$
要使结果为整式，则$\dfrac{□}{x(x-1)}$无分母，即$□$必须同时含有因式$x$和$x-1$，逐一验证选项：
选项A：代入得$\dfrac{1}{x(x-1)(x^2-1)}$，是分式，不符合要求；
选项B：$x^2-1=(x+1)(x-1)$，代入得$\dfrac{x+1}{x}$，是分式，不符合要求；
选项C：$x^2-x=x(x-1)$，代入得$\dfrac{x(x-1)}{x(x-1)}=1$，是整式，符合要求；
选项D：代入得$\dfrac{1}{x}$，是分式，不符合要求。
【答案】
C
【知识点】
分式的除法运算，因式分解，整式的定义
【点评】
本题核心考查分式运算规则的应用，解题的关键是熟练掌握分式除法的转化方法，能正确对多项式因式分解，通过约分判断最终结果的类型。
【难度系数】
0.7
6. 已知 $ m=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}, n=\frac{y}{x}-\frac{x}{y} $，那么 $ m^2 - n^2 $ 的值为（）
A.4
B.−4
C.2
D.0
A.4
B.−4
C.2
D.0
答案
6. A
解析
【分析】
拿到题目要求计算$m^2 - n^2$，首先可以联想到整式乘法中的平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，用这个公式能避免直接展开平方的复杂计算，大幅简化运算步骤。我们可以先将$m^2-n^2$因式分解为$(m+n)(m-n)$，再分别代入$m$、$n$的表达式计算$m+n$和$m-n$，最后将两个结果相乘约分即可得到答案；如果没第一时间想到平方差公式，直接展开$m^2$和$n^2$再相减也能得出结果，只是计算量稍大。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
根据平方差公式可得：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
将$m=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，$n=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}$代入计算：
$m+n=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})=\frac{2y}{x}$
$m-n=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})-(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})=\frac{2x}{y}$
因此$m^2 - n^2=\frac{2y}{x} × \frac{2x}{y}=4$
方法二：直接展开计算
根据完全平方公式展开得：
$m^2=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})^2=\frac{y^2}{x^2}+2+\frac{x^2}{y^2}$
$n^2=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})^2=\frac{y^2}{x^2}-2+\frac{x^2}{y^2}$
两式相减得：
$m^2-n^2=(\frac{y^2}{x^2}+2+\frac{x^2}{y^2})-(\frac{y^2}{x^2}-2+\frac{x^2}{y^2})=4$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，分式加减运算，分式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式和分式运算的综合基础题，巧用平方差公式可以简化计算过程，减少出错概率，解题时要灵活运用学过的乘法公式简化运算，同时要熟练掌握分式运算的约分规则。
【难度系数】
0.8
拿到题目要求计算$m^2 - n^2$，首先可以联想到整式乘法中的平方差公式$a^2-b^2=(a+b)(a-b)$，用这个公式能避免直接展开平方的复杂计算，大幅简化运算步骤。我们可以先将$m^2-n^2$因式分解为$(m+n)(m-n)$，再分别代入$m$、$n$的表达式计算$m+n$和$m-n$，最后将两个结果相乘约分即可得到答案；如果没第一时间想到平方差公式，直接展开$m^2$和$n^2$再相减也能得出结果，只是计算量稍大。
【解析】
方法一：利用平方差公式计算
根据平方差公式可得：$m^2 - n^2=(m+n)(m-n)$
将$m=\frac{y}{x}+\frac{x}{y}$，$n=\frac{y}{x}-\frac{x}{y}$代入计算：
$m+n=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})+(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})=\frac{2y}{x}$
$m-n=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})-(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})=\frac{2x}{y}$
因此$m^2 - n^2=\frac{2y}{x} × \frac{2x}{y}=4$
方法二：直接展开计算
根据完全平方公式展开得：
$m^2=(\frac{y}{x}+\frac{x}{y})^2=\frac{y^2}{x^2}+2+\frac{x^2}{y^2}$
$n^2=(\frac{y}{x}-\frac{x}{y})^2=\frac{y^2}{x^2}-2+\frac{x^2}{y^2}$
两式相减得：
$m^2-n^2=(\frac{y^2}{x^2}+2+\frac{x^2}{y^2})-(\frac{y^2}{x^2}-2+\frac{x^2}{y^2})=4$
【答案】
A
【知识点】
平方差公式，分式加减运算，分式乘除运算
【点评】
本题是乘法公式和分式运算的综合基础题，巧用平方差公式可以简化计算过程，减少出错概率，解题时要灵活运用学过的乘法公式简化运算，同时要熟练掌握分式运算的约分规则。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题4分,共16分)
7.若分式$\dfrac{|m|-2}{m+2}$的值为0,则$m$的值为
7.若分式$\dfrac{|m|-2}{m+2}$的值为0,则$m$的值为
2
.答案
7. 2
解析
【分析】
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0必须同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出m的所有可能取值，再代入分母验证，排除会使分母为0的m值，剩余的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$|m|-2=0$
解绝对值方程可得：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
2. 分母不等于0：$m+2≠0$
解得：$m≠-2$。
结合两个条件，排除$m=-2$，因此$m$的取值为2。
【答案】
2
【知识点】
分式值为零的条件，绝对值方程求解
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，易错点是部分同学仅考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，从而得到错误答案，解题时要注意两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
要解决分式值为0的问题，首先需要明确分式值为0必须同时满足两个核心条件：一是分子的取值为0，二是分母的取值不能为0，两个条件缺一不可。解题时先根据分子为0列出方程求出m的所有可能取值，再代入分母验证，排除会使分母为0的m值，剩余的就是正确结果。
【解析】
若分式的值为0，需同时满足以下两个条件：
1. 分子等于0：$|m|-2=0$
解绝对值方程可得：$|m|=2$，即$m=2$或$m=-2$。
2. 分母不等于0：$m+2≠0$
解得：$m≠-2$。
结合两个条件，排除$m=-2$，因此$m$的取值为2。
【答案】
2
【知识点】
分式值为零的条件，绝对值方程求解
【点评】
本题属于分式章节的基础题型，易错点是部分同学仅考虑分子为0的要求，忽略分母不能为0的限制，从而得到错误答案，解题时要注意两个条件需同时成立。
【难度系数】
0.7
8.若$\frac{M}{a^2 - b^2} - \frac{2ab - b^2}{a^2 - b^2} = \frac{a - b}{a + b}$，则$M=$
$a^2$
。答案
8. $a^2$
解析
【分析】
本题是分式运算中求未知分子的问题，解题思路如下：首先观察等式左边是两个同分母分式相减，可先根据同分母分式减法法则将左边合并为一个分式；再利用分式的基本性质，把等式右边的分式化为和左边分母相同的形式；最后根据分母不为0时，相等的同分母分式分子相等，列等式求解M即可，计算时注意去括号的符号规则。
【解析】
首先根据同分母分式减法法则（分母不变，分子相减），合并等式左边的分式：
左边$=\frac{M - (2ab - b^2)}{a^2 - b^2}$
再将等式右边的分式通分，由平方差公式得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，给$\frac{a-b}{a+b}$的分子、分母同时乘$(a-b)$（分式有意义时$a+b≠0,a-b≠0$，符合分式基本性质）：
右边$=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$
因为左右两边分式相等且分母相同（分母不为0），因此分子相等：
$M - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$
去括号得：$M - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
化简后解得：$M=a^2$
【答案】
$a^2$
【知识点】
分式的加减运算；分式的基本性质；平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心是利用同分母分式相等时分子相等的性质建立等式求解，易错点为去括号时符号出错，熟练掌握分式基本运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
本题是分式运算中求未知分子的问题，解题思路如下：首先观察等式左边是两个同分母分式相减，可先根据同分母分式减法法则将左边合并为一个分式；再利用分式的基本性质，把等式右边的分式化为和左边分母相同的形式；最后根据分母不为0时，相等的同分母分式分子相等，列等式求解M即可，计算时注意去括号的符号规则。
【解析】
首先根据同分母分式减法法则（分母不变，分子相减），合并等式左边的分式：
左边$=\frac{M - (2ab - b^2)}{a^2 - b^2}$
再将等式右边的分式通分，由平方差公式得$a^2 - b^2=(a+b)(a-b)$，给$\frac{a-b}{a+b}$的分子、分母同时乘$(a-b)$（分式有意义时$a+b≠0,a-b≠0$，符合分式基本性质）：
右边$=\frac{(a-b)^2}{(a+b)(a-b)}=\frac{a^2 - 2ab + b^2}{a^2 - b^2}$
因为左右两边分式相等且分母相同（分母不为0），因此分子相等：
$M - (2ab - b^2) = a^2 - 2ab + b^2$
去括号得：$M - 2ab + b^2 = a^2 - 2ab + b^2$
化简后解得：$M=a^2$
【答案】
$a^2$
【知识点】
分式的加减运算；分式的基本性质；平方差公式
【点评】
本题属于分式运算的基础常考题，核心是利用同分母分式相等时分子相等的性质建立等式求解，易错点为去括号时符号出错，熟练掌握分式基本运算法则即可快速解答。
【难度系数】
0.7
9.已知$\frac{x+y}{xy}=5$，则分式$\frac{3x+5xy+3y}{x-3xy+y}$的值为
10
。答案
9. 10
解析
【分析】
解题时首先观察已知等式和待求分式的结构特征，发现待求分式的分子、分母都可以整理成含$x+y$和$xy$的形式，因此可以先从已知条件推出$x+y$与$xy$的数量关系，再将$x+y$作为整体代入待求分式，约分化简后即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：由$\frac{x+y}{xy}=5$可知$xy≠0$，变形可得：
$x+y=5xy$
对待求分式整理变形：
$\frac{3x+5xy+3y}{x-3xy+y}=\frac{3(x+y)+5xy}{(x+y)-3xy}$
将$x+y=5xy$代入上式：
原式$=\frac{3×5xy + 5xy}{5xy - 3xy}=\frac{15xy+5xy}{2xy}=\frac{20xy}{2xy}$
$\because xy≠0$，约分可得：
原式$=10$
【答案】
10
【知识点】
分式基本性质，分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用整体代换的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考察对分式变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察已知等式和待求分式的结构特征，发现待求分式的分子、分母都可以整理成含$x+y$和$xy$的形式，因此可以先从已知条件推出$x+y$与$xy$的数量关系，再将$x+y$作为整体代入待求分式，约分化简后即可求出结果，无需单独求解$x$、$y$的具体值。
【解析】
解：由$\frac{x+y}{xy}=5$可知$xy≠0$，变形可得：
$x+y=5xy$
对待求分式整理变形：
$\frac{3x+5xy+3y}{x-3xy+y}=\frac{3(x+y)+5xy}{(x+y)-3xy}$
将$x+y=5xy$代入上式：
原式$=\frac{3×5xy + 5xy}{5xy - 3xy}=\frac{15xy+5xy}{2xy}=\frac{20xy}{2xy}$
$\because xy≠0$，约分可得：
原式$=10$
【答案】
10
【知识点】
分式基本性质，分式化简求值，整体代入法
【点评】
本题是分式求值的典型题型，核心是运用整体代换的思想简化计算，避免了单独求解未知数的繁琐，能有效考察对分式变形技巧的掌握程度。
【难度系数】
0.7
10. 在公式 $c=\frac{en}{R+nr}$ 中，$r=\frac{R}{2}$，设 $e,R$ 不变。若 $n$ 增至为 $n_1$，且 $n_1=2n$，此时 $c$ 的值为 $c_1$，则 $\frac{c_1}{c}$ 的值为
$\frac{n+2}{n+1}$
。答案
10. $\frac{n+2}{n+1}$
解析
【分析】
解题思路如下：首先将已知的$r=\frac{R}{2}$代入原公式$c=\frac{en}{R+nr}$，化简得到用$e、R、n$表示的$c$的最简式；再将$n$替换为$n_1=2n$，代入公式化简得到$c_1$的表达式；最后计算$\frac{c_1}{c}$的比值，约去相同的常量$e、R$，即可得到结果。
【解析】
第一步：将$r=\frac{R}{2}$代入$c$的表达式并化简：
$c=\frac{en}{R+nr}=\frac{en}{R+n· \frac{R}{2}}=\frac{en}{R(1+\frac{n}{2})}=\frac{en}{R· \frac{n+2}{2}}=\frac{2en}{R(n+2)}$
第二步：将$n_1=2n$、$r=\frac{R}{2}$代入公式，求$c_1$的表达式并化简：
$c_1=\frac{e· n_1}{R+n_1 r}=\frac{e· 2n}{R+2n· \frac{R}{2}}=\frac{2en}{R+nR}=\frac{2en}{R(n+1)}$
第三步：计算$\frac{c_1}{c}$：
$\frac{c_1}{c}=\frac{\frac{2en}{R(n+1)}}{\frac{2en}{R(n+2)}}=\frac{2en}{R(n+1)}× \frac{R(n+2)}{2en}=\frac{n+2}{n+1}$
【答案】
$\frac{n+2}{n+1}$
【知识点】
分式的化简；分式的运算；代数式求值
【点评】
本题考查分式的代换与化简计算，解题的关键是先代入已知条件消去变量$r$，再通过作比约去公共常量，计算过程中要注意分母化简的正确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：首先将已知的$r=\frac{R}{2}$代入原公式$c=\frac{en}{R+nr}$，化简得到用$e、R、n$表示的$c$的最简式；再将$n$替换为$n_1=2n$，代入公式化简得到$c_1$的表达式；最后计算$\frac{c_1}{c}$的比值，约去相同的常量$e、R$，即可得到结果。
【解析】
第一步：将$r=\frac{R}{2}$代入$c$的表达式并化简：
$c=\frac{en}{R+nr}=\frac{en}{R+n· \frac{R}{2}}=\frac{en}{R(1+\frac{n}{2})}=\frac{en}{R· \frac{n+2}{2}}=\frac{2en}{R(n+2)}$
第二步：将$n_1=2n$、$r=\frac{R}{2}$代入公式，求$c_1$的表达式并化简：
$c_1=\frac{e· n_1}{R+n_1 r}=\frac{e· 2n}{R+2n· \frac{R}{2}}=\frac{2en}{R+nR}=\frac{2en}{R(n+1)}$
第三步：计算$\frac{c_1}{c}$：
$\frac{c_1}{c}=\frac{\frac{2en}{R(n+1)}}{\frac{2en}{R(n+2)}}=\frac{2en}{R(n+1)}× \frac{R(n+2)}{2en}=\frac{n+2}{n+1}$
【答案】
$\frac{n+2}{n+1}$
【知识点】
分式的化简；分式的运算；代数式求值
【点评】
本题考查分式的代换与化简计算，解题的关键是先代入已知条件消去变量$r$，再通过作比约去公共常量，计算过程中要注意分母化简的正确性，避免运算错误。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共60分)
11.(15分)计算:
(1) $(\dfrac{-x}{y})^2 · \dfrac{3y}{2x} ÷ \dfrac{9y}{4x^2}$
(2) $\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{6}{9 - $
$} - \dfrac{x-1}{6+2x}$;
(3) $(2 - \dfrac{x-1}{x+2}) ÷ \dfrac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 4}$
11.(15分)计算:
(1) $(\dfrac{-x}{y})^2 · \dfrac{3y}{2x} ÷ \dfrac{9y}{4x^2}$
(2) $\dfrac{1}{x-3} + \dfrac{6}{9 - $
$} - \dfrac{x-1}{6+2x}$;(3) $(2 - \dfrac{x-1}{x+2}) ÷ \dfrac{x^2 + 10x + 25}{x^2 - 4}$
答案
11. 解:(1) 原式$=\frac{x^2}{y^2} · \frac{3y}{2x} · \frac{4x^2}{9y} = \frac{2x^3}{3y^2}.$
(2) 原式$=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} = \frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)} =\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)} = -\frac{x-3}{2(x+3)}.$
(3) 原式$=\frac{2(x+2)-(x-1)}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{2x+4-x+1}{x+2} ·\frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{x+5}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{x-2}{x+5}.$
(2) 原式$=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)} = \frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)} =\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)} = -\frac{x-3}{2(x+3)}.$
(3) 原式$=\frac{2(x+2)-(x-1)}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{2x+4-x+1}{x+2} ·\frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{x+5}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2} =\frac{x-2}{x+5}.$
解析
【分析】
本题考查分式的四则运算，解题思路如下：
（1）分式乘除混合运算：先计算乘方，再将除法转化为乘法，之后对分子分母约分，最后整理得到最简结果即可。
（2）异分母分式加减运算：第一步先对各分母因式分解，$9-x^2$用平方差公式分解为$-(x+3)(x-3)$，$6+2x$提取公因式得$2(x+3)$，由此确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$；第二步将各分式通分转化为同分母分式，分子相加减时注意符号变化；第三步对分子因式分解，约去公因式得到最简结果。
（3）分式混合运算：先计算括号内的分式减法，将整数2通分为以$x+2$为分母的分式，合并后将括号外的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约去公因式得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y^2} · \frac{3y}{2x} · \frac{4x^2}{9y}$
分子分母约分后计算得：$\frac{12x^4y}{18xy^3}=\frac{2x^3}{3y^2}$。
(2) 先对分母因式分解，确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$，通分后计算：
原式$=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)} - \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$
展开合并分子得：$\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}$
对分子因式分解后约分：$\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)} = -\frac{x-3}{2(x+3)}$。
(3) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{2(x+2)-(x-1)}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
$=\frac{2x+4-x+1}{x+2} ·\frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
$=\frac{x+5}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
约去公因式得：$\frac{x-2}{x+5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2x^3}{3y^2}$；(2) $-\dfrac{x-3}{2(x+3)}$；(3) $\dfrac{x-2}{x+5}$
【知识点】
分式的四则运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式运算的规则，运算前先对分母因式分解，能帮助快速确定最简公分母或找到约分的公因式，计算时要格外注意符号变化，最终结果必须化为最简分式，同时要注意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的四则运算，解题思路如下：
（1）分式乘除混合运算：先计算乘方，再将除法转化为乘法，之后对分子分母约分，最后整理得到最简结果即可。
（2）异分母分式加减运算：第一步先对各分母因式分解，$9-x^2$用平方差公式分解为$-(x+3)(x-3)$，$6+2x$提取公因式得$2(x+3)$，由此确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$；第二步将各分式通分转化为同分母分式，分子相加减时注意符号变化；第三步对分子因式分解，约去公因式得到最简结果。
（3）分式混合运算：先计算括号内的分式减法，将整数2通分为以$x+2$为分母的分式，合并后将括号外的除法转化为乘法，再对分子分母因式分解，约去公因式得到最终结果。
【解析】
(1) 先计算乘方，再将除法转化为乘法：
原式$=\frac{x^2}{y^2} · \frac{3y}{2x} · \frac{4x^2}{9y}$
分子分母约分后计算得：$\frac{12x^4y}{18xy^3}=\frac{2x^3}{3y^2}$。
(2) 先对分母因式分解，确定最简公分母为$2(x+3)(x-3)$，通分后计算：
原式$=\frac{2(x+3)}{2(x+3)(x-3)} - \frac{12}{2(x+3)(x-3)} - \frac{(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$
$=\frac{2(x+3)-12-(x-1)(x-3)}{2(x+3)(x-3)}$
展开合并分子得：$\frac{2x+6-12-x^2+4x-3}{2(x+3)(x-3)}=\frac{-x^2+6x-9}{2(x+3)(x-3)}$
对分子因式分解后约分：$\frac{-(x-3)^2}{2(x+3)(x-3)} = -\frac{x-3}{2(x+3)}$。
(3) 先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，因式分解后约分：
原式$=\frac{2(x+2)-(x-1)}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
$=\frac{2x+4-x+1}{x+2} ·\frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
$=\frac{x+5}{x+2} · \frac{(x-2)(x+2)}{(x+5)^2}$
约去公因式得：$\frac{x-2}{x+5}$。
【答案】
(1) $\dfrac{2x^3}{3y^2}$；(2) $-\dfrac{x-3}{2(x+3)}$；(3) $\dfrac{x-2}{x+5}$
【知识点】
分式的四则运算，因式分解，分式的通分约分
【点评】
本题是分式运算的基础题型，解题核心是熟练掌握分式运算的规则，运算前先对分母因式分解，能帮助快速确定最简公分母或找到约分的公因式，计算时要格外注意符号变化，最终结果必须化为最简分式，同时要注意分式有意义的隐含限制条件。
【难度系数】
0.7
