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12.（9分）以下是小茗同学化简分式$\frac{m^2 -4}{m^2 -4m +4} ÷ (1 - \frac{2}{m-2})$的运算过程：
解:原式$=\frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{1-2}{m-2} ··· ··· ①$
$=\frac{m+2}{m-2} · (2 - m) ··· ··· ②$
$=-m -2. ··· ··· ③$
(1)上面的运算过程中,第________步开始出现错误;(填序号)
(2)请你写出正确的解答过程.
解:原式$=\frac{(m-2)(m+2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{1-2}{m-2} ··· ··· ①$
$=\frac{m+2}{m-2} · (2 - m) ··· ··· ②$
$=-m -2. ··· ··· ③$
(1)上面的运算过程中,第________步开始出现错误;(填序号)
(2)请你写出正确的解答过程.
答案
解:(1)①
(2)原式$=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2} =\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4} =\frac{m+2}{m-4}.$
(2)原式$=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2} =\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4} =\frac{m+2}{m-4}.$
解析
【分析】
本题考查分式的混合运算，分为找错和正确化简两部分。
第(1)问找错思路：处理括号内的$1-\frac{2}{m-2}$时，需先将1通分为分母是$m-2$的分式，即$1=\frac{m-2}{m-2}$，因此括号内的分子应为$(m-2)-2$，原步骤①误将分子写为$1-2$，通分过程遗漏了1乘$m-2$的部分，可判断出错步骤。
第(2)问正确解题思路：先对第一个分式的分子、分母因式分解，再正确计算括号内的分式减法，随后将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），最后约分化简得到结果即可。
【解析】
(1) 原步骤①计算括号内运算时，通分错误：$1-\frac{2}{m-2}$通分后应为$\frac{m-2-2}{m-2}$，而非$\frac{1-2}{m-2}$，因此第①步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ (\frac{m-2}{m-2}-\frac{2}{m-2})\\&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2}\\&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4}\\&=\frac{m+2}{m-4}\end{aligned}$
【答案】
(1) ①
(2) 原式$=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2} =\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4} =\frac{m+2}{m-4}.$
【知识点】
分式的混合运算，分式的通分，因式分解
【点评】
本题重点考查分式运算的规则，易错点为整式与分式加减时，整式通分漏乘对应的分母项，运算时需严格遵循先算括号内、再算乘除的顺序，约分前要准确识别公因式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
本题考查分式的混合运算，分为找错和正确化简两部分。
第(1)问找错思路：处理括号内的$1-\frac{2}{m-2}$时，需先将1通分为分母是$m-2$的分式，即$1=\frac{m-2}{m-2}$，因此括号内的分子应为$(m-2)-2$，原步骤①误将分子写为$1-2$，通分过程遗漏了1乘$m-2$的部分，可判断出错步骤。
第(2)问正确解题思路：先对第一个分式的分子、分母因式分解，再正确计算括号内的分式减法，随后将除法转化为乘法（除以一个分式等于乘它的倒数），最后约分化简得到结果即可。
【解析】
(1) 原步骤①计算括号内运算时，通分错误：$1-\frac{2}{m-2}$通分后应为$\frac{m-2-2}{m-2}$，而非$\frac{1-2}{m-2}$，因此第①步开始出现错误。
(2) 正确解答过程：
先计算括号内的减法，再将除法转化为乘法，最后约分：
$\begin{aligned}原式&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ (\frac{m-2}{m-2}-\frac{2}{m-2})\\&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2}\\&=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4}\\&=\frac{m+2}{m-4}\end{aligned}$
【答案】
(1) ①
(2) 原式$=\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} ÷ \frac{m-2-2}{m-2} =\frac{(m+2)(m-2)}{(m-2)^2} · \frac{m-2}{m-4} =\frac{m+2}{m-4}.$
【知识点】
分式的混合运算，分式的通分，因式分解
【点评】
本题重点考查分式运算的规则，易错点为整式与分式加减时，整式通分漏乘对应的分母项，运算时需严格遵循先算括号内、再算乘除的顺序，约分前要准确识别公因式，避免出现运算错误。
【难度系数】
0.7
13.（12分）先化简：$( \frac{x^2}{x-1} - x - 1 ) ÷ \frac{x^2 - x}{x^2 - 2x + 1}$，再从$-1,0,1$中选择一个你认为合适的数代入求值.
答案
13. 解:原式$=( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x^2-1}{x-1} ) · \frac{(x-1)^2}{x(x-1)} =\frac{1}{x-1} ·\frac{x-1}{x} =\frac{1}{x}.$
∵要使原分式有意义，
∴$x≠0,1.$
∴$x=-1.$
当$x=-1$时，原式$=-1.$
∵要使原分式有意义，
∴$x≠0,1.$
∴$x=-1.$
当$x=-1$时，原式$=-1.$
解析
【分析】
解题思路：本题属于分式化简求值类题目，可按三步思考：第一步先处理括号内的分式运算，将括号内的整式通分，转化为同分母分式的减法计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对乘式的分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的x取值，再代入符合条件的x计算最终结果。
【解析】
解：先处理括号内的运算，将$-x-1$通分为分母为$x-1$的分式，同时将除式的分子分母因式分解：
原式$=( \frac{x^2}{x-1} - \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} ) ÷ \frac{x(x-1)}{(x-1)^2}$
将除法转化为乘法：
$=( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x^2 - 1}{x-1} ) × \frac{(x-1)^2}{x(x-1)}$
计算括号内的同分母分式减法：
$=\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x-1} × \frac{x-1}{x}$
$=\frac{1}{x-1} × \frac{x-1}{x}$
约分后得最简结果：$=\frac{1}{x}$
再判断x的可取范围：要使原分式有意义，则所有分母、除数均不为0，即$x-1≠0$且$x≠0$，故$x≠0,1$。
因此选$x=-1$代入，得：原式$=\frac{1}{-1}=-1$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x}$，代入$x=-1$，值为$-1$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规考题，重点考查分式的通分、约分、混合运算规则，易错点在于通分时符号处理错误，或者忽略分式有意义的条件误选x=0或x=1代入，解题时要先确定取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.6
解题思路：本题属于分式化简求值类题目，可按三步思考：第一步先处理括号内的分式运算，将括号内的整式通分，转化为同分母分式的减法计算；第二步将除法运算转化为乘法运算，对乘式的分子分母分别因式分解后约分，得到最简结果；第三步先根据分式有意义的条件（分母不为0、除数不为0）排除不合适的x取值，再代入符合条件的x计算最终结果。
【解析】
解：先处理括号内的运算，将$-x-1$通分为分母为$x-1$的分式，同时将除式的分子分母因式分解：
原式$=( \frac{x^2}{x-1} - \frac{(x+1)(x-1)}{x-1} ) ÷ \frac{x(x-1)}{(x-1)^2}$
将除法转化为乘法：
$=( \frac{x^2}{x-1} - \frac{x^2 - 1}{x-1} ) × \frac{(x-1)^2}{x(x-1)}$
计算括号内的同分母分式减法：
$=\frac{x^2 - (x^2 - 1)}{x-1} × \frac{x-1}{x}$
$=\frac{1}{x-1} × \frac{x-1}{x}$
约分后得最简结果：$=\frac{1}{x}$
再判断x的可取范围：要使原分式有意义，则所有分母、除数均不为0，即$x-1≠0$且$x≠0$，故$x≠0,1$。
因此选$x=-1$代入，得：原式$=\frac{1}{-1}=-1$
【答案】
化简结果为$\frac{1}{x}$，代入$x=-1$，值为$-1$
【知识点】
分式的混合运算，分式有意义的条件，因式分解
【点评】
本题是分式运算的常规考题，重点考查分式的通分、约分、混合运算规则，易错点在于通分时符号处理错误，或者忽略分式有意义的条件误选x=0或x=1代入，解题时要先确定取值范围再代入计算。
【难度系数】
0.6
14. (12分)对于代数式$(\dfrac{2a+4}{a^2-4}+\dfrac{1}{2-a})÷\dfrac{1}{a-2}+a$，小明说：“其他同学任意报一个$a$的值（$a≠\pm2$），我都可以马上说出这个代数式的值。”你能说明小明快速判断的依据吗？请通过计算说明。
答案
14. 解:原式$=[ \frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2} ] · (a-2) +a =( \frac{2}{a-2} - \frac{1}{a-2} ) · (a-2) +a =\frac{1}{a-2} · (a-2) +a =1+a.$
∴任意报一个$a$的值($a≠\pm2$),小明都可以用这个数加上1,马上说出这个代数式的值.
∴任意报一个$a$的值($a≠\pm2$),小明都可以用这个数加上1,马上说出这个代数式的值.
解析
【分析】
要解释小明快速判断的依据，我们只需先将这个复杂的分式代数式化简，观察化简后结果和$a$的关系即可。解题思路如下：第一步先处理括号内的分式，先对第一个分式的分子、分母因式分解，再利用$2-a=-(a-2)$将括号内两个分式的分母统一，通分计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘这个数的倒数）；第三步按运算顺序逐步计算得到最简结果，即可找到规律。
【解析】
解：对原式化简如下：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2} ] · (a-2) +a \\&=( \frac{2}{a-2} - \frac{1}{a-2} ) · (a-2) +a \\&=\frac{1}{a-2} · (a-2) +a \\&=1+a\end{aligned}$
【答案】
该代数式化简后结果为$a+1$，因此任意报一个$a$的值（$a≠\pm2$），小明都可以用这个数加上1，马上说出这个代数式的值。
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题核心是通过分式化简将复杂代数式转化为最简形式，无需代入具体数值就能找到代数式的值与参数$a$的直接关系，解题时要注意分式有意义的条件，需保证所有分母不为0。
【难度系数】
0.7
要解释小明快速判断的依据，我们只需先将这个复杂的分式代数式化简，观察化简后结果和$a$的关系即可。解题思路如下：第一步先处理括号内的分式，先对第一个分式的分子、分母因式分解，再利用$2-a=-(a-2)$将括号内两个分式的分母统一，通分计算括号内的结果；第二步将除法运算转化为乘法运算（除以一个数等于乘这个数的倒数）；第三步按运算顺序逐步计算得到最简结果，即可找到规律。
【解析】
解：对原式化简如下：
$\begin{aligned}原式&=[ \frac{2(a+2)}{(a+2)(a-2)} - \frac{1}{a-2} ] · (a-2) +a \\&=( \frac{2}{a-2} - \frac{1}{a-2} ) · (a-2) +a \\&=\frac{1}{a-2} · (a-2) +a \\&=1+a\end{aligned}$
【答案】
该代数式化简后结果为$a+1$，因此任意报一个$a$的值（$a≠\pm2$），小明都可以用这个数加上1，马上说出这个代数式的值。
【知识点】
分式的混合运算，因式分解，分式的基本性质
【点评】
本题核心是通过分式化简将复杂代数式转化为最简形式，无需代入具体数值就能找到代数式的值与参数$a$的直接关系，解题时要注意分式有意义的条件，需保证所有分母不为0。
【难度系数】
0.7
15.(12分)甲、乙两地相距s km，新修的高速公路开通后，两地距离不变，在甲、乙两地间行驶的长途客运车的平均速度提高了50％.已知原来的平均车速为x km/h，请解答下列问题：
(1)长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花时间的多少倍？
(2)新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了多少小时？
(1)长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花时间的多少倍？
(2)新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了多少小时？
答案
15. 解:(1)由题意,得长途客运车原来所花的时间是$\frac{s}{x}$ h, 新修的高速公路开通后所花的时间是$\frac{s}{(1+50\%)x} =\frac{s}{1.5x}$ h, 则$\frac{s}{x} ÷ \frac{s}{1.5x} = \frac{s}{x} · \frac{1.5x}{s} =1.5.$
答:长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍.
(2) $\frac{s}{x} - \frac{s}{1.5x} =\frac{1.5s-s}{1.5x} =\frac{0.5s}{1.5x} =\frac{s}{3x}$(h).
答:新修的高速公路开通后,所花时间比原来缩短了$\frac{s}{3x}$ h.
答:长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花的时间的1.5倍.
(2) $\frac{s}{x} - \frac{s}{1.5x} =\frac{1.5s-s}{1.5x} =\frac{0.5s}{1.5x} =\frac{s}{3x}$(h).
答:新修的高速公路开通后,所花时间比原来缩短了$\frac{s}{3x}$ h.
解析
【分析】
本题是分式在行程问题中的实际应用，核心解题依据是“时间=路程÷速度”的基本数量关系。
解决第(1)问时，首先分别用含s、x的代数式表示出原来的行驶时间和高速开通后的行驶时间，再用原来的时间除以开通后的时间，通过分式除法运算即可得到倍数关系。
解决第(2)问时，用原来的行驶时间减去高速开通后的行驶时间，通过分式减法运算、约分化简，即可得到缩短的时长。
【解析】
解：(1) 根据“时间=路程÷速度”可得：
原来长途客运车行驶的时间为 $\frac{s}{x}$ h；
高速开通后平均速度提高50%，新的平均速度为 $(1+50\%)x=1.5x$ km/h，因此开通后行驶时间为 $\frac{s}{1.5x}$ h。
求原来时间是开通后时间的多少倍，用除法计算：
$\frac{s}{x} ÷ \frac{s}{1.5x} = \frac{s}{x} × \frac{1.5x}{s} = 1.5$
答：长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花时间的1.5倍。
(2) 求缩短的时间，用原来的时间减去开通后的时间：
$\frac{s}{x} - \frac{s}{1.5x} = \frac{1.5s}{1.5x} - \frac{s}{1.5x} = \frac{1.5s - s}{1.5x} = \frac{0.5s}{1.5x} = \frac{s}{3x}$ (h)
答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了 $\frac{s}{3x}$ h。
【答案】
(1) 1.5倍；
(2) $\frac{s}{3x}$ h
【知识点】
分式的运算；行程问题数量关系；列代数式
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的应用，解题的关键是正确梳理行程问题中路程、速度、时间三者的关系，准确列出代数式，再按照分式的运算法则计算化简即可，注重对基础运算能力和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
本题是分式在行程问题中的实际应用，核心解题依据是“时间=路程÷速度”的基本数量关系。
解决第(1)问时，首先分别用含s、x的代数式表示出原来的行驶时间和高速开通后的行驶时间，再用原来的时间除以开通后的时间，通过分式除法运算即可得到倍数关系。
解决第(2)问时，用原来的行驶时间减去高速开通后的行驶时间，通过分式减法运算、约分化简，即可得到缩短的时长。
【解析】
解：(1) 根据“时间=路程÷速度”可得：
原来长途客运车行驶的时间为 $\frac{s}{x}$ h；
高速开通后平均速度提高50%，新的平均速度为 $(1+50\%)x=1.5x$ km/h，因此开通后行驶时间为 $\frac{s}{1.5x}$ h。
求原来时间是开通后时间的多少倍，用除法计算：
$\frac{s}{x} ÷ \frac{s}{1.5x} = \frac{s}{x} × \frac{1.5x}{s} = 1.5$
答：长途客运车原来所花的时间是新修的高速公路开通后所花时间的1.5倍。
(2) 求缩短的时间，用原来的时间减去开通后的时间：
$\frac{s}{x} - \frac{s}{1.5x} = \frac{1.5s}{1.5x} - \frac{s}{1.5x} = \frac{1.5s - s}{1.5x} = \frac{0.5s}{1.5x} = \frac{s}{3x}$ (h)
答：新修的高速公路开通后，所花时间比原来缩短了 $\frac{s}{3x}$ h。
【答案】
(1) 1.5倍；
(2) $\frac{s}{3x}$ h
【知识点】
分式的运算；行程问题数量关系；列代数式
【点评】
本题结合生活实际场景考查分式的应用，解题的关键是正确梳理行程问题中路程、速度、时间三者的关系，准确列出代数式，再按照分式的运算法则计算化简即可，注重对基础运算能力和实际应用能力的考查。
【难度系数】
0.8
